通俗理解齐次变换矩阵复合变换的时候变换顺序不可逆——上

这个很多人都会直接说：“就是不可逆啊，你拿两个矩阵乘以下，在换个顺序乘以下，它们的结果就是不一样的。”是啊，但是为什么它们的结果是不一样的呢？小虎曾经在机器人学课堂上问过老师，老师含糊其词，想拿上面那句话唬我狂小虎，说这是线性代数的知识，但是小虎上的线性代数课也只给出“矩阵和矩阵相乘不满足乘法交换律(cummutative property)”的结论。

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齐次变换矩阵复合变换不可逆分析
当绕y轴旋转90°处在第（2）步时
当绕y轴旋转90°处在第（3）步时
说明

齐次变换矩阵复合变换不可逆分析

先给出结论：
对于在相对坐标系下的固定点P，当相对坐标系相对于固定/绝对坐标系作同一运动的时候，如果该运动所处的顺序不同，那么P点相对于固定/绝对坐标系的运动效果是不一样的，而我们观察的往往是物体（比如这个点）相对于固定/绝对坐标系的运动。

拿一个题目作为例子好啦。
固连在坐标系（𝑛,𝑜,𝑎）上的点P(7,3,2)T 经历如下变换，求出变换后该点相对于固定参考坐标系的坐标。

当绕y轴旋转90°处在第（2）步时

（1）绕z轴旋转90°；
（2）接着绕y轴旋转90°；
（3）接着再平移[4,-3,7]；
我就拿例子中绕y轴旋转90°这个运动来说明。
第一个步骤结束后，P坐标为
$P (- 3, 7, 2)$

（1）结束后，我们来看看P在绝对坐标系中的位置：
$\pmb{P_{noa}''}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 1 & 0& 0\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} -3\\ 7\\ 2 \\ 1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\ 7\\ 3\\ 1\\ \end{bmatrix}$
$P^{'} (2, 7, 3)$

两个步骤中P的相对位置变换为
$\Delta_1= (2,7,3)-(-3,7,2)=(5,0,1)$

当绕y轴旋转90°处在第（3）步时

倒转一下（2）和（3）的顺序
（1）绕z轴旋转90°；
（2）接着再平移[4,-3,7]；
（3）接着绕y轴旋转90°；

(2)结束后，P在绝对坐标系中坐标如下（计算过程略）
$P (1, 4, 9)$

(3)结束后，我们来看看P在绝对坐标系中的位置：
$\pmb{P_{noa}'''}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1& 0\\ 0 & 1 & 0& 0\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} 1\\ 4\\ 9 \\ 1\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9\\ 4\\ -1\\ 1\\ \end{bmatrix}$
$P (9, 4, - 1)$
两个步骤中P的相对位置变换为
$\Delta_2= (9,4,-1)-(1,4,9)=(8,0,-10)$

可以看到 $\Delta_1\neq \Delta_2$ ，可以推测再平移[4,-3,7] 步骤的 $\Delta_3$ 和 $\Delta_4$ 也是不一样的，而且正是由于 $\Delta_1+\Delta_3\neq \Delta_2+\Delta_4$ ，最终交换顺序才导致结果不同。也就是P在不同顺序下进行接着绕y轴旋转90°相对于绝对坐标系位移是不一样的，对于再平移[4,-3,7]这个移动也是如此。
P可以时相对坐标系上的任意一点，特殊地，当P初始坐标为 $(0, 0, 0)$ 时，P就是相对坐标系的坐标原点，结果也是类似的。