2022高考全国乙卷理科数学选择第12题

已知定义域为 \(R\) 的函数 \(f(x), g(x)\)，满足 \(f(x) + g(2 - x) = 5\)，\(g(x) - f(x - 4) = 7\)，若 \(y = g(x)\) 的图像关于直线 \(x = 2\) 对称，\(g(2) = 4\)，则 $\sum_{k = 1}^{22} f(k) = $

\(A\). \(-21\)

\(B\). \(-22\)

\(C\). \(-23\)

\(D\). \(-24\)

将 \(x_1 = -1, x_2 = 3\) 代入两式，得：\(f(-1) + g(3) = 5, g(3) - f(-1) = 7\)。解出 \(f(-1) = -1, g(3) = 6\)。
因为 \(f(x) = 5 - g(2 - x)\)，所以 \(g(x) - 5 + g(6 - x) = 7, g(x) + g(6 - x) = 12\)。
又因为 \(g(2) = 4, g(3) = 6\)，所以 \(g(4) = 12 - g(2) = 8, g(1) = g(3), g(5) = 12 - g(1) = 6, g(6) = 4\)。
此时大概可以猜出规律：\(g(x)\) 在整数处函数值为 \(4, 6, 8, 6\) 的循环，每个循环的和为 \(24\)。
\(\sum_{k = 1}^{22} f(k) = \sum_{k = 1}^{22} (5 - g(2 - k)) = 110 - \sum_{k = 1}^{22} g(2 + k)\)。
\(g(6)\) 开始为一个完整循环，\(g(3) + g(4) + g(5) = 20\)，循环次数为 \(\lfloor \dfrac{(24 - 6 + 1)}{4} \rfloor = 4\)，故此部分的和为 \(24 \times 4\)，最后剩余 \(3\) 个数，一定是 \(4, 6, 8\)，和为 \(18\)。
以上总和为 \(20 + 24 \times 4 + 18 = 134\)。
故 \(\sum_{k = 1}^{22} f(k) = 110 - 134 = -24\)。
故选 \(D\)。