2022高考全国乙卷理科数学选择第12题

已知定义域为 $R$ 的函数 $f(x), g(x)$，满足 $f(x) + g(2 - x) = 5$，$g(x) - f(x - 4) = 7$，若 $y = g(x)$ 的图像关于直线 $x = 2$ 对称，$g(2) = 4$，则 $\sum_{k = 1}^{22} f(k) =$

$A$. $-21$

$B$. $-22$

$C$. $-23$

$D$. $-24$

将 $x_1 = -1, x_2 = 3$ 代入两式，得：$f(-1) + g(3) = 5, g(3) - f(-1) = 7$。解出 $f(-1) = -1, g(3) = 6$。
因为 $f(x) = 5 - g(2 - x)$，所以 $g(x) - 5 + g(6 - x) = 7, g(x) + g(6 - x) = 12$。
又因为 $g(2) = 4, g(3) = 6$，所以 $g(4) = 12 - g(2) = 8, g(1) = g(3), g(5) = 12 - g(1) = 6, g(6) = 4$。
此时大概可以猜出规律：$g(x)$ 在整数处函数值为 $4, 6, 8, 6$ 的循环，每个循环的和为 $24$。
$\sum_{k = 1}^{22} f(k) = \sum_{k = 1}^{22} (5 - g(2 - k)) = 110 - \sum_{k = 1}^{22} g(2 + k)$。
$g(6)$ 开始为一个完整循环，$g(3) + g(4) + g(5) = 20$，循环次数为 $\lfloor \dfrac{(24 - 6 + 1)}{4} \rfloor = 4$，故此部分的和为 $24 \times 4$，最后剩余 $3$ 个数，一定是 $4, 6, 8$，和为 $18$。
以上总和为 $20 + 24 \times 4 + 18 = 134$。
故 $\sum_{k = 1}^{22} f(k) = 110 - 134 = -24$。
故选 $D$。