数据结构入门级技巧

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\(1.\) 线段树合并对于子树查一类问题的应用：
由于子树查问题的询问之间往往具有信息包含关系，所以我们可以考虑将询问离线下来，通过一次 \(dfs\) 将所有子树的信息全部求出来，并在途中回答询问。由于线段树合并过程中线段树代表的就是整个子树内的内容，所以类似于子树颜色众数之类的问题也是可以解决的。

\(2.\) 区间某数出现次数的实现方式：
虽然主席树可以做到在线 \(O(n \log_2 n) - O(\log_2 n)\)，空间复杂度 \(O(n \log_2 n)\)，但是查询效率、预处理时间、空间没有一项特别拔尖。我们可以考虑用 \(vector\) 记录每一个数的所有出现位置，然后查询时直接在对应的 \(vector\) 上二分即可，在线 \(O(n) - O(\log_2 n)\) 且空间复杂度 \(O(n)\)。考虑如何更快地回答查询：我们用分块预处理出 \(cnt_{i, j}\)，前 \(i\) 块中 \(j\) 的出现次数。这样对于整块，我们可以直接 \(O(1)\) 查询，而对于散块内部的个数，我们再次在 \(vector\) 上二分求出个数，这个算法在线，预处理 \(O(n \sqrt{n})\)，空间 \(O(n \sqrt{n})\)，但是时间变成了 \(O(\log_2{\sqrt{n}})\)，近似于大常数 \(O(1)\)。考虑将线段树改为 \(\sqrt{n}\) 叉的，也就是分块。此时类似于主席树一样，将每次的修改都记录下来，可以做到 \(O(\sqrt{n})\) 插入 \(+\) 可持久化，\(O(1)\) 查询，在线 \(O(n \sqrt{n}) - O(1)\)，空间复杂度为 \(O(n \sqrt{n})\)。

\(3.\) 分块对于修改简单，查询复杂题目的应用：
如果修改只是单点修改，但是查询比较非常规，可以考虑对于每一块维护较为复杂的信息，然后单点修改时直接 \(O(\sqrt{n})\) 暴力重构块。

\(4.\) 位运算：
维护位运算信息时，如果固定左端点，总共的 \(and, or\) 等信息的可能种数只有 \(\log_2 V\) 种（\(V\) 代表值域）。此时我们就可以暴力二分出所有不同值的区间，进行信息的维护。
\(update:\) 其实 \(gcd\) 也只有 \(\log_2 V\) 种取值，因为 \(gcd\) 每次变小一定是除以一个至少为 \(2\) 的正整数。

\(5.\) \(st\) 表的应用：
所有满足可以 \(pushup\)，两个相同信息作用后不变的信息都是可以用 \(st\) 表维护的。例如区间 \(gcd\)，区间按位与，区间按位或，区间 \(lca\) 等。

\(6.\) 第 \(k\) 小值：
第 \(k\) 小值可以通过一个 \(\log_2 V\) 的代价二分答案而转化为区间小于 \(x\) 的值的个数，便于维护。

\(7.\) 字符串相关题目：
遇到字符串上区间修改区间查询等问题时，可以考虑建字符集个线段树来处理问题，一般会将问题简化很多。而正解绝大多数情况下都是要依赖字符集大小的，不然这道题可以直接搬到序列上。

\(8.\) 线段树合并的应用：
线段树合并可以在过程中每一次合并后新开一个节点，这样即使是强制在线也可以直接在查询时在对应位置查询，空间消耗也不是特别大。

\(9.\) 树上问题：
当树上问题只涉及对 \(x\) 子树查询的时候，换根是假的，因为新的根如果是 \(x\) 的祖先或者其祖先的其他子树内的点，那么显然子树不变，如果是 \(x\) 那么显然子树是整棵树，如果在 \(x\) 的子树中那么子树就是整棵树刨掉一部分子树，对应在 \(dfs\) 序上就是两段区间。