数据结构入门级技巧

实时更新，遇到好玩的数据结构trick都会放到这里

$1.$ 线段树合并对于子树查一类问题的应用：
由于子树查问题的询问之间往往具有信息包含关系，所以我们可以考虑将询问离线下来，通过一次 $dfs$ 将所有子树的信息全部求出来，并在途中回答询问。由于线段树合并过程中线段树代表的就是整个子树内的内容，所以类似于子树颜色众数之类的问题也是可以解决的。

$2.$ 区间某数出现次数的实现方式：
虽然主席树可以做到在线 $O(n \log_2 n) - O(\log_2 n)$，空间复杂度 $O(n \log_2 n)$，但是查询效率、预处理时间、空间没有一项特别拔尖。我们可以考虑用 $vector$ 记录每一个数的所有出现位置，然后查询时直接在对应的 $vector$ 上二分即可，在线 $O(n) - O(\log_2 n)$ 且空间复杂度 $O(n)$。考虑如何更快地回答查询：我们用分块预处理出 $cnt_{i, j}$，前 $i$ 块中 $j$ 的出现次数。这样对于整块，我们可以直接 $O(1)$ 查询，而对于散块内部的个数，我们再次在 $vector$ 上二分求出个数，这个算法在线，预处理 $O(n \sqrt{n})$，空间 $O(n \sqrt{n})$，但是时间变成了 $O(\log_2{\sqrt{n}})$，近似于大常数 $O(1)$。考虑将线段树改为 $\sqrt{n}$ 叉的，也就是分块。此时类似于主席树一样，将每次的修改都记录下来，可以做到 $O(\sqrt{n})$ 插入 $+$ 可持久化，$O(1)$ 查询，在线 $O(n \sqrt{n}) - O(1)$，空间复杂度为 $O(n \sqrt{n})$。

$3.$ 分块对于修改简单，查询复杂题目的应用：
如果修改只是单点修改，但是查询比较非常规，可以考虑对于每一块维护较为复杂的信息，然后单点修改时直接 $O(\sqrt{n})$ 暴力重构块。

$4.$ 位运算：
维护位运算信息时，如果固定左端点，总共的 $and, or$ 等信息的可能种数只有 $\log_2 V$ 种（$V$ 代表值域）。此时我们就可以暴力二分出所有不同值的区间，进行信息的维护。
$update:$ 其实 $gcd$ 也只有 $\log_2 V$ 种取值，因为 $gcd$ 每次变小一定是除以一个至少为 $2$ 的正整数。

$5.$ $st$ 表的应用：
所有满足可以 $pushup$，两个相同信息作用后不变的信息都是可以用 $st$ 表维护的。例如区间 $gcd$，区间按位与，区间按位或，区间 $lca$ 等。

$6.$ 第 $k$ 小值：
第 $k$ 小值可以通过一个 $\log_2 V$ 的代价二分答案而转化为区间小于 $x$ 的值的个数，便于维护。

$7.$ 字符串相关题目：
遇到字符串上区间修改区间查询等问题时，可以考虑建字符集个线段树来处理问题，一般会将问题简化很多。而正解绝大多数情况下都是要依赖字符集大小的，不然这道题可以直接搬到序列上。

$8.$ 线段树合并的应用：
线段树合并可以在过程中每一次合并后新开一个节点，这样即使是强制在线也可以直接在查询时在对应位置查询，空间消耗也不是特别大。

$9.$ 树上问题：
当树上问题只涉及对 $x$ 子树查询的时候，换根是假的，因为新的根如果是 $x$ 的祖先或者其祖先的其他子树内的点，那么显然子树不变，如果是 $x$ 那么显然子树是整棵树，如果在 $x$ 的子树中那么子树就是整棵树刨掉一部分子树，对应在 $dfs$ 序上就是两段区间。