CF1055C 幸运的天数
1 CF1055C 幸运的天数
2 题目描述
时间限制 \(1s\) | 空间限制 \(256M\)
\(Bob\) 和 \(Alice\) 经常参加各种编程比赛。像许多有竞争力的程序员一样，他们有时运气好，有时运气不好。他们注意到，他们的幸运与不幸的区间是具有周期性的。对于 \(Alice\) 来说，区间 \([𝑙_𝑎,𝑟_𝑎]\) 是幸运的，区间 \([𝑟_𝑎+1,𝑙_𝑎+𝑡_𝑎−1]\) 是不幸的，区间 \([l_a+𝑡_𝑎,r_a+𝑡_𝑎]\) 又是幸运的。换句话说，\(\forall k \in N\)，区间 \([l_a + k*t_a, 𝑟_𝑎+𝑘*𝑡_𝑎]\) 对于 \(Alice\) 来说是幸运的。
\(Bob\) 的幸运区间也是类似，不过用 \(𝑙_𝑏、𝑟_𝑏、𝑡_𝑏\) 表示。 因此，\(\forall k \in N\)，区间 \([l_b + k*t_b,𝑟_b+𝑘*𝑡_b]\) 对于 \(Bob\) 来说是幸运的。
\(Alice\) 和 \(Bob\) 想一起参加团队比赛，所以他们想找出他们两个同时幸运的最大区间。
3 题解
根据裴蜀定理，我们每次可以将 \(l_a\) 和 \(l_b\) 之间的距离增大 \(k*gcd(t_a, t_b)\) 个单位距离（\(k \in Z\)）。这是因为 \(t_a * x - t_b * y = k * gcd(t_a, t_b) (k \in Z)\)，这里的 \(x\) 表示 \(Alice\) 的区间往右移动的次数，\(y\) 就表示 \(Bob\) 的区间往右移动的次数。因此，如果 \(|l_a - l_b|\) 是 \(gcd(t_a, t_b)\) 的整倍数，那么在某个位置两个开心的天数的起点一定对齐，我们只需要计算 \(min(r_a - l_a + 1, r_b -l_b + 1)\) 即可。
如果不是整倍数，那么最优答案一定是这两种之一：\(Alice\) 的开心区间的起点小于 \(Bob\) 的开心区间的起点且二者的差小于 \(gcd(t_a, t_b)\)，\(Bob\) 的开心区间的起点大于 \(Bob\) 的开心区间的起点且二者的差小于 \(gcd(t_a, t_b)\)。
容易看出，第一种情况中 \(Alice\) 的开心区间的起点可以通过将 \(Alice\) 的开心区间在第二种情况下的起点向左移动 \(gcd(t_a, t_b)\) 来得到，而 \(Bob\) 的区间完全不用移动。我们接下来考虑如何满足第二种情况。我们可以先进行判断，如果 \(l_a < l_b\)，则将这两个人的所有指标互换，保证 \(l_a\) 一定大于等于 \(l_b\)。然后，我们将 \(Alice\) 的区间向左整体移动 \(\lfloor \frac{l_a - l_b}{gcd(t_a, t_b)} \rfloor * gcd(t_a, t_b)\) 个单位，\(Bob\) 的区间保持不变，这时 \(Alice\) 和 \(Bob\) 的区间关系便满足第二种情况。这时答案便是 \(min(r_a, r_b) - max(l_a, l_b) + 1\)。我们再将 \(Alice\) 的区间向左整体移动 \(gcd(t_a, t_b)\) 个单位，\(Bob\) 的区间继续保持不变，此时两区间的关系满足第一种情况，答案为 \(min(r_a, r_b) - max(l_a, l_b) + 1\)。最终我们输出的就是以上这两种情况的最大值，即
二者的最大值。
4 代码（空格警告）：
#include <iostream>
using namespace std;
int la, ra, ta;
int lb, rb, tb;
int Gcd, dis, len1, len2, r, ans;
int gcd(int a, int b)
{
if (b == 0) return a;
return gcd(b, a%b);
}
int main()
{
cin >> la >> ra >> ta;
cin >> lb >> rb >> tb;
len1 = ra - la + 1;
len2 = rb - lb + 1;
if(la < lb)
{
swap(la, lb);
swap(ta, tb);
swap(ra, rb);
}
Gcd = gcd(ta, tb);
dis = la - lb;
r = dis / Gcd;
if (dis % Gcd == 0) cout << min(len1, len2);
else
{
la -= (r * Gcd);
ra -= (r * Gcd);
ans = max(ans, min(ra, rb) - max(la, lb) + 1);
la -= Gcd;
ra -= Gcd;
ans = max(ans, min(ra, rb) - max(la, lb) + 1);
cout << ans;
}
return 0;
}
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