CF963B 树的删除
1 CF963B 树的删除
2 题目描述
给你一棵树(一个有 \(n\) 个顶点和 \(n-1\) 边的图，在这个图中，可以只使用它的边从任何其他顶点到达任何顶点)。
如果这个顶点具有偶数度，则顶点可以被删除。如果删除掉一个顶点，连接到它的所有边也会被删除。
如果可能，给出删除给定树中所有顶点的顺序。
3 题解
解决这道题的切入点在于树：这道题完全可以出在正常的图上，我们为啥非得要在树上解决问题呢？我们发现，给出树后，我们在图的任意部分处理时，只要确定了节点数，一定能确定出边的数量。
由这一点出发，我们发现：任意子树可以通过节点数的奇偶性分成两种，奇树和偶树。如果整个树是一颗偶树的话，边数为奇数。由于每次只能删除偶数条边，我们肯定不能将整个树删除。如果一个子树是奇树的话，那么这个树一定由三部分构成：若干个偶树，根节点，偶数个奇树。删除时，我们必须先删除偶树，因为如果我们先删除奇树，会导致根节点被删除：奇树可能会退化成一个点的形式，要想删除这个点就必须删除根节点。而偶数在删除完毕后可能会退化成两个点形式，这时删除其中与根节点有连线的点（有 \(2\) 条 连线，为偶数条，可以删除），可以完整地将偶树删除。（注意：这里可以删除偶树，主要是借助了根节点与偶树的连边，这就是为什么单独的一个偶树无法被删除，偶子树却可以被删除）在删除完偶子树后，与根结点相连的边便只有偶数条了（每个奇子树贡献一条）。因此，我们可以把根节点删除，剩下的偶数个奇树就可以单独根据上述过程删除了。
如果我们遍历到的子树是偶子树，我们采取的删法一样，但证明过程略有不同。偶树肯定也是由三部分组成的：若干个偶树，根节点，奇数个奇树。我们在删除完偶树后，发现此时奇数个奇子树会与根节点有奇数条连线，不满足连线为偶数条这一条件。但是，我们在上面说过，如果我们删除的是偶树，那么需要借助的是根节点的帮助：加上与更上一级的根节点的连线后，根节点的连线条数成功变为偶数条，可以删除！为什么我们在上面删除奇树时就没有与更上一级的根节点的连线呢？这是因为，我们是先删除的根节点再删除的奇子树。在删除奇子树是根节点已经不复存在了。
综上所述：我们只用按照偶子树，根节点，奇子树的方法删除即可完美删除掉可以被删除的树。
4 代码（空格警告）：
#include <iostream>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 2e5+10;
int n, p;
int tot;
int head[2*N], ver[2*N], last[2*N], sz[N];
void add(int x, int y)
{
ver[++tot] = y;
last[tot] = head[x];
head[x] = tot;
}
void init(int x, int fa)
{
for (int i = head[x]; i; i = last[i])
{
int y = ver[i];
if (fa == y) continue;
init(y, x);
sz[x] += sz[y];
}
}
void dfs(int x, int fa)
{
queue<int> even, odd;
for (int i = head[x]; i; i = last[i])
{
int y = ver[i];
if (y == fa) continue;
if (sz[y] % 2 == 0) even.push(y);
else odd.push(y);
}
while (even.size())
{
dfs(even.front(), x);
even.pop();
}
cout << x << endl;
while (odd.size())
{
dfs(odd.front(), x);
odd.pop();
}
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> p;
if (!p) continue;
add(i, p);
add(p, i);
}
for (int i = 1; i <= n; i++) sz[i] = 1;
if (n % 2 == 0)
{
cout << "NO";
return 0;
}
else cout << "YES" << '\n';
init(1, -1);
dfs(1, -1);
return 0;
}
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