熵、条件熵、相对熵、交叉熵和互信息

1. 信息熵(Information entropy)

熵 (Entropy) 这一词最初来源于热力学。1948年，克劳德·爱尔伍德·香农将热力学中的熵引入信息论，所以也被称为香农熵 (Shannon entropy)、信息熵 (information entropy)。

首先，我们先来理解一下信息这个概念。信息是一个很抽象的概念，百度百科将它定义为：指音讯、消息、通讯系统传输和处理的对象，泛指人类社会传播的一切内容。我们知道我们的世界是由很多的信息构成的，我们需要了解这些信息、沟通这些信息，甚至是度量和测量这些信息的大小。那信息可以被度量么？可以的！香农提出的“信息熵”概念解决了这一问题。

假设我们需要搞清楚一件事，如果这件事的发生非常非常不确定，或者我们之前对此事一无所知，那么就需要了解大量的信息。相反，如果某件事经常发生，我们已经有了较多的了解，我们就不需要太多的信息就能把它搞清楚。所以，从这个角度出发，直觉上我们可以认为，一条信息的信息量的大小和它的不确定性有关系，而我们经常使用概率来说明一个事件的不确定性。

假设我们用随机变量\(x\)来表示事件。信息量可以被看成在学习\(x\)的值的时候的“惊讶程度”。举个例子说明一下，比如，有人说广州下雪了。对于这句话，我们是十分不确定的。因为广州几十年来下雪的次数寥寥无几，发生的概率很低。为了搞清楚这件事，我们就要去看天气预报，新闻，询问在广州的朋友，而这就需要大量的信息，信息量很大。再比如，你接到了妈妈打来的电话，让你晚上回家吃饭。对于这件事，因为它很可能发生，几乎不需要引入信息，信息量很小。我们想找到一个函数\(h(x)\)来衡量事件信息量的大小。这里用\(h(x_1)\)和\(h(x_2)\)来表示上面的两个例子的信息量，那么，怎么表示\(h(x_1)\)和\(h(x_2)\)之间的大小关系呢？怎么寻找到函数\(h(x)\)呢？

从上边的例子出发，首先，直觉上看，事件\(x\)的信息量应该和它的概率分布\(p(x)\)有关，而且信息量\(h(x)\)增大，\(p(x)\)减小，而\(h(x)\)减小，则\(p(x)\)增大，可以认为是\(h(x)\)和\(\dfrac{1}{p(x)}\)之间的关系。当然，此时也可能认为是\(h(x)\)和\(-p(x)\)的关系，我们后面再说。

其次，我们考虑观察两个事件同时发生时获得的信息量，假设是两个不相关的事件，它和每个事件的信息量有什么关系呢？也就是说你听说广州下雪了，同时你接到了妈妈的电话叫你回家吃饭，这两件事应该是独立的，所以它们的信息量应该是和的关系，即\(h(x_1,x_2)= h(x_1) + h(x_2)\)。

最后，一个信息量的函数应该是大于零、等于零还是小于零呢？如果你接到了妈妈的电话，你至多也就是觉得这个电话对你来说没有任何的信息，而你的信息是不会跑到你妈妈那里的。所以这个函数应该是大于等于0的，即\(h(x) \ge 0\)。回过头来看，前面认为的\(h(x)\)和\(-p(x)\)的关系是不太合理的，因为\(p(x)\)是一个大于等于0的数。

综上，就想到了以下函数：

\[h(x) = log_2 \cfrac{1}{p(x)} \]

首先，函数满足\(p(x)\)减小，\(h(x)\)增大，而\(p(x)\)增大，则\(h(x)\)减小；

其次，因为两个事件是独立的，因此\(p(x_1,x_2)=p(x_1)p(x_2)\)。所以

\[\begin{aligned} h(x_1,x_2) &= log_2 \cfrac{1}{p(x_1)p(x_2)} \\ &=log_2 \cfrac{1}{p(x_1)}+log_2 \cfrac{1}{p(x_2)} \\ &=-(log_2(p(x_1))+log_2(p(x2))) \end{aligned}\]

最后，显然\(h(x)\)是大于等于0的。

因此，我们得到了信息量函数(information function)

\[h(x)=−log_2p(x) \tag{1} \]

其中, 对数函数底的选择是任意的，信息论中底常常选择为2，\(h(x)\)的单位为比特(bit)，而机器学习中底常常选择为自然常数，\(h(x)\)的单位为奈特(nat)。

\(h(x)\)也被称为随机变量\(x\)的自信息(self-information)，描述的是随机变量的某个事件发生所带来的信息量。如图1所示：

图1

那么，什么是熵呢？

熵(entropy)是定义为关于函数\(h(x)\)在随机变量\(X\)以\(p(x)\)为分布下的数学期望，即假设一个发送者想传输一个随机变量的值给接受者。这个过程中，他们传输的平均信息量可以通过求公式\((1)\)关于概率分布\(p(x)\)的期望得到

\[Entropy(x) = H(x) = E_x[h(x)] = -\sum_x p(x)log_2 p(x) \tag{2} \]

这个量被叫做随机变量\(x\)的熵，它是随机变量不确定性的度量，是对所有可能发生的事件产生的信息量的期望。

我们知道，如果随机变量\(X\)是离散型变量，则\(E_x[f(x)] = \sum_x p(x) f(x)\)，将其中的\(f(x)\)替换成\(h(x)\)即可得到公式\((2)\)。

现在举个例子说明这些定义的性质。考虑一个随机变量\(x\)，这个随机变量有8种可能的状态，每个状态都是等可能的。个人理解，我们就想象有这么一个空间，空间中有64个小球，共有8种颜色，每种颜色小球的个数相等，都为8个。那么这个变量的熵为

\[H(x) = -8 \times \cfrac{1}{8}log_2\cfrac{1}{8} =3 \quad bits \]

信息论中即为为了把\(x\)的值传递给接收者，我们需要传输3比特的消息。

现在考虑⼀个具有8种可能状态\(\{a, b, c, d, e, f, g, h, g\}\)的随机变量，每个状态各自的概率为\((\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{4},\cfrac{1}{8},\cfrac{1}{16},\cfrac{1}{64},\cfrac{1}{64},\cfrac{1}{64},\cfrac{1}{64})\)（Cover and Thomas, 1991）。这种情形下的熵为

\[H(x) = -\cfrac{1}{2}log_2\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{4}log_2\cfrac{1}{4}-\cfrac{1}{8}log_2\cfrac{1}{8}-\cfrac{1}{16}log_2\cfrac{1}{16}-\cfrac{4}{64}log_2\cfrac{1}{64} = 2 \quad bits \]

我们看到，⾮均匀分布⽐均匀分布的熵要⼩。

从公式可得，随机变量的取值个数越多，状态数也就越多，信息熵就越大，混乱程度就越大。当随机分布为均匀分布时，熵最大，且\(0≤H(X)≤logM\)。其中\(M\)是状态\(x_i\)的总数。

注：这里的结论及以下的微分熵相关的结论的证明可参见(Christopher M. Bishop-- Pattern Recognition and Machine Learning)

我们可以把熵的定义扩展到连续变量\(x\)的概率分布\(p(x)\)，这时把熵称作微分熵(differential entropy)

\[H(x) = -\int p(x)log_2 p(x)dx \tag{3} \]

在离散分布的情况下，最⼤熵对应于变量的所有可能状态的均匀分布。而连续变量的最⼤化微分熵的分布是⾼斯分布。

注意：

从熵的公式可以看出，\(H(x)\)是一个函数(概率分布函数)的函数。
熵只依赖于随机变量的分布，与随机变量的取值无关，所以也可以将\(X\)的熵记作\(H(p)\)。
因为\(lim_{p\rightarrow 0}p log_2 p =0\)，因此只要我们遇到一个\(x\)使得\(p(x)=0\)，那么就应该令\(p(x)log_2(p(x))=0\)。
与离散熵不同，微分熵可以为负，即存在\(H(x)<0\)的情况。

2. 条件熵(Conditional entropy)

如上述，将一维随机变量分布推广到多维随机变量分布，则可得到联合熵(joint entropy):

\[\begin{aligned} H(X,Y) &= -\sum_{x,y}p(x,y)log_2p(x,y) \\ &= -\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mp(x_i,y_i)log_2p(x_i,y_i) \end{aligned}\tag{4}\]

条件熵表示在已知随机变量\(X\)的条件下随机变量\(Y\)的不确定性，记作\(H(Y|X)\)。\(H(Y|X)\)是\(X\)给定条件下\(Y\)的条件概率分布的熵对\(X\)的数学期望：

\[\begin{aligned} H(Y|X) &= \sum_x p(x) H(Y|X=x) \\ &= -\sum_x p(x)\sum_y p(y|x)log_2p(y|x) \\ &= -\sum_x \sum_y p(x,y)log_2p(y|x) \\ &= -\sum_{x,y} p(x,y)log_2p(y|x) \end{aligned} \tag{5}\]

条件熵\(H(Y|X)\)也可以理解为联合熵\(H(X,Y)\)减去随机变量\(X\)的熵\(H(X)\)，即

\[\begin{aligned} H(Y|X) &= H(X,Y) - H(X) \\ &= -\sum_{x,y}p(x,y)log_2p(x,y) + \sum_x p(x)log_2 p(x) \\ &= -\sum_{x,y}p(x,y)log_2p(x,y) + \sum_x (\sum_{y}p(x,y))log_2 p(x)\\ &= -\sum_{x,y}p(x,y)log_2p(x,y) + \sum_{x,y}p(x,y)log_2p(x) \\ &= -\sum_{x,y}p(x,y)(log_2p(x,y) - log_2p(x)) \\ &= -\sum_{x,y}p(x,y)(\cfrac{log_2p(x,y)}{log_2p(x)}) \\ &= -\sum_{x,y} p(x,y)log_2p(y|x) \end{aligned} \tag{6}\]

表示\((X,Y)\)发生所包含的熵，减去\(X\)单独发生包含的熵，即在\(X\)发生的前提下，\(Y\)发生“新”带来的熵。

注意:

注意公式\((5)\)，这个条件熵，是指在给定某个数（某个变量为某个值）的情况下，另一个变量的熵是多少，变量的不确定性是多少。

因为条件熵中\(X\)也是一个变量，意思是在一个变量\(X\)的条件下（变量\(X\)的每个值都会取），另一个变量\(Y\)熵对\(X\)的期望。

这是最容易错的！

下面通过例子来解释一下：

假如我们有下面数据，表格1：

表格1

设随机变量\(Y=\) {嫁，不嫁}

我们可以统计出，嫁的个数为6/12 = 1/2

不嫁的个数为6/12 = 1/2

那么\(Y\)的熵，根据熵的公式来算，可以得到\(H(Y) = -\cfrac{1}{2}log_2\cfrac{1}{2} -\cfrac{1}{2}log_2\cfrac{1}{2}\)

为了引出条件熵，我们现在还有一个变量\(X\)，代表长相是帅还是不帅，当长相是不帅的时候，统计如下表格2红色所示：

表格2

可以得出，当已知不帅的条件下，满足条件的只有4个数据了，这四个数据中，不嫁的个数为1个，占1/4，嫁的个数为3个，占3/4，那么此时的\(H(Y|X=不帅) = -\cfrac{1}{4}log_2\cfrac{3}{4} -\cfrac{3}{4}log_2\cfrac{3}{4}\)，\(p(X = 不帅) = 4/12 = 1/3\)

同理我们可以得到：

当已知帅的条件下，满足条件的有8个数据了，这八个数据中，不嫁的个数为5个，占5/8，嫁的个数为3个，占3/8。那么此时的\(H(Y|X=帅) = -\cfrac{5}{8}log_2\cfrac{5}{8} -\cfrac{3}{8}log_2\cfrac{3}{8}\)，\(p(X = 帅) = 8/12 = 2/3\)

计算结果

有了上面的铺垫之后，我们终于可以计算我们的条件熵了，我们现在需要求：

\[H(Y|X = 长相) \]

也就是说，我们想要求出当已知长相的条件下的条件熵。根据公式我们可以知道，长相可以取帅与不帅两种，条件熵是另一个变量\(Y\)熵对\(X\)（条件）的期望。

公式为：

\[H(Y|X) = \sum_x p(x) H(Y|X=x) \]

其中，\(H(Y|X=长相) = p(X =帅) \times H(Y|X=帅) + p(X =不帅) \times H(Y|X=不帅)\)

然后将上面已经求得的答案带入即可求出条件熵！

这里比较容易发生的错误就是忽略了\(X\)也是可以取多个值，然后对其求期望！！

总结一下，其实条件熵意思是按一个新的变量的每个值对原变量进行分类，比如上面这个题把嫁与不嫁按帅，不帅分成了俩类。然后在每一个小类里面，都计算一个小熵，然后每一个小熵乘以各个类别的概率，然后求和。我们用另一个变量对原变量分类后，原变量的不确定性就会减小了，因为新增了X的信息，可以感受一下。不确定程度减少了多少就是信息的增益。

3. 相对熵(Relative entropy)和交叉熵(Cross entropy)

我们现在开始把熵关联到机器学习问题中。考虑某个未知的分布\(p(x)\)，假定我们已经使⽤⼀个近似的分布\(q(x)\)对它进⾏了建模。如果我们使⽤\(q(x)\)来建⽴⼀个编码体系，⽤来把\(x\)的值传给接收者，那么，由于我们使⽤了\(q(x)\)⽽不是真实分布\(p(x)\)，因此在具体化\(x\)的值时，我们需要⼀些附加的信息。我们需要的平均的附加信息量（单位是nat）为

\[\begin{aligned} D_{KL}(p||q) &= -\int p(x)ln q(x)dx-(-\int p(x)ln p(x)dx)) \\ &= -\int p(x)ln \cfrac{q(x)}{p(x)}dx \end{aligned} \tag{7}\]

如果\(p(x)\)和\(q(x)\)是离散随机变量\(X\)中取值的两个概率分布，则

\[\begin{aligned} D_{KL}(p||q) &= -\sum_x p(x)ln \cfrac{q(x)}{p(x)} \\ &= \sum_x p(x)ln \cfrac{p(x)}{q(x)} \\ &= E_{p(x)}ln \cfrac{p(x)}{q(x)} \end{aligned} \tag{8}\]

注：这里我们把熵的定义中的对数变成⾃然对数

这个重要的量被称为分布\(p(x)\)和\(q(x)\)之间的相对熵(relative entropy)，或者Kullback-Leibler散度（Kullback-Leibler divergence），或者KL散度（Kullback and Leibler, 1951）。

相对熵的一些性质：

如果\(p(x)\)和\(q(x)\)两个分布相同，即有\(q(x) = p(x)\)对于所有\(x\)都成⽴时，相对熵等于0；
相对熵具有不对称性\(D_{KL}(p||q) \ne D_{KL}(q||p)\)。举个简单的例子：

假设随机变量\(x\)服从0-1分布，现有概率分布\(p(x)\)和\(q(x)\)。且

\[p(1) = r, \quad p(0) = 1-r \]

\[q(1) = s, \quad q(0) = 1-s \]

则

\[D_{KL}(p||q) = (1-r)log\cfrac{1-r}{1-s} + rlog\cfrac{r}{s} \]

\[D_{KL}(q||p) = (1-s)log\cfrac{1-s}{1-r} + slog\cfrac{s}{r} \]

那么，当\(r=s\)时，\(D_{KL}(p||q) = D_{KL}(q||p) = 0\)，如果\(r=0.5, s=0.25\)，则计算得到

\[D_{KL}(p||q)=0.2075 \ne D_{KL}(q||p)=0.1887 \]

\(D_{KL}(p||q) \ge 0\)，证明如下：

首先，介绍凸函数(convex function)的概念，如果一个函数具有以下的性质：每条弦都位于函数图像或其上⽅（如图2所⽰），那么我们说这个函数是凸函数。位于\(x = a\)到\(x = b\)之间的任何⼀个\(x\)值都可以写成\(\lambda{a}+(1-\lambda)b\)的形式，其中\(0 \le \lambda \le 1\)。弦上的对应点可以写成\(\lambda {f(a)} + (1 -\lambda)f(b)\)，函数的对应值为\(f(\lambda a + (1 -\lambda)b)\)。这样，凸函数的性质就可以表⽰为:

\[f(\lambda a + (1 -\lambda)b) \le \lambda {f(a)} + (1 -\lambda)f(b) \tag{9} \]

这等价于要求函数的⼆阶导数处处为正。凸函数的例⼦有\(xln x(x > 0)\)和\(x^2\) 。如果等号只在\(\lambda = 0\)和\(\lambda = 1\)处取得，我们就说这个函数是严格凸函数（strictly convex function）。如果⼀个函数具有相反的性质，即每条弦都位于函数图像或其下⽅，那么这个函数被称为凹函数（concave function）。对应地，也有严格凹函数（strictly concave function）的定义。如果\(f(x)\)是凸函数，那么\(-f(x)\)就是凹函数。

图2 凸函数f(x)的每条弦（蓝⾊表⽰）位于函数上或函数上⽅，函数⽤红⾊曲线表⽰

使⽤归纳法，我们可以根据公式\((9)\)证明凸函数\(f(x)\)满⾜

\[f(\sum_{i=1}^M \lambda_i x_i) \le \sum_{i=1}^M \lambda_i f(x_i) \tag{10} \]

其中，对于任意点集\(\{x_i\}\)，都有\(\lambda_i \ge 0\)且\(\sum_i \lambda_i=1\)。上述公式的结果被称为Jensen不等式(Jensen's inequality)。如果我们把\(\lambda_i\)看成取值为\(\{x_i\}\)的离散变量\(x\)的概率分布，那么上面的公式可以写成

\[f(E[x]) \le E[f(x)] \tag{11} \]

其中，\(E[\cdot]\)表示期望。对于连续变量，Jensen不等式的形式为

\[f(\int xp(x)dx) \le \int f(x)p(x)dx \tag{12} \]

所以，

\[\begin{aligned} D_{KL}(p||q) &= -\sum_x p(x)ln \cfrac{q(x)}{p(x)} \\ &= -E_{p(x)}[ln\cfrac{q(x)}{p(x)}] \\ &\ge -ln(E_{p(x)}[\cfrac{q(x)}{p(x)}]) \\ &= -ln \sum_x p(x)\cfrac{q(x)}{p(x)} \\ &= -ln \sum_x q(x) \end{aligned}\]

因为\(\sum_x q(x) =1\)，所以\(D_{KL}(p||q) \ge 0\)。推导过程中，我们使⽤了\(ln x\)是凸函数的事实，以及归⼀化条件\(\sum_x q(x) =1\)。实际上，\(ln x\)是严格凸函数，因此只有\(q(x) = p(x)\)对于所有\(x\)都成⽴时，等号才成⽴。上面公式的意义就是求\(p(x)\)和\(q(x)\)之间的对数差在\(p(x)\)上的期望值。因此我们可以把Kullback-Leibler散度看做两个分布\(p(x)\)和\(q(x)\)之间不相似程度的度量。

比如TD-IDF算法就可以理解为相对熵的应用：词频在整个语料库的分布与词频在具体文档中分布之间的差异性。

那么，什么是交叉熵？

假设\(p(x)\)和\(q(x)\)是关于某样本集的2个概率分布，其中\(p(x)\)为数据的真实分布，\(q(x)\)对\(p(x)\)的一个近似。按照真实分布\(p(x)\)来衡量识别一个样本的所需要的编码长度的期望，即平均编码长度（也就是熵）为\(H(x) = -\sum_x p(x)ln p(x)\)。如果我们要使用近似分布\(q(x)\)来表示真实分布\(p(x)\)的平均编码长度，则应该是：

\[H(p(x),q(x)) = -\sum_x p(x)ln q(x) \tag{13} \]

因为用\(q(x)\)来编码的样本来自分布\(p(x)\)，所以期望\(H(p(x),q(x))\)中的概率是\(p(x)\)。这里的\(H(p(x),q(x))\)我们称之为交叉熵。

比如含有4个字母(A,B,C,D)的数据集中，真实分布\(p(x)=(1/2, 1/2, 0, 0)\)，即A和B出现的概率均为1/2，C和D出现的概率都为0。计算\(H(p(x))\)为1，即只需要1位编码即可识别A和B。如果使用分布\(q(x)=(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)\)来编码则得到\(H(p(x),q(x))=2\)，即需要2位编码来识别A和B(当然还有C和D，尽管C和D并不会出现，因为真实分布\(p(x)\)中C和D出现的概率为0，这里就钦定概率为0的事件不会发生啦)。注：为了计算方便，这里是以2为底的对数

可以看到上例中根据近似分布\(q(x)\)得到的平均编码长度\(H(p(x),q(x))\)大于根据真实分布\(p(x)\)得到的平均编码长度\(H(p(x))\)。事实上，根据Gibbs inequality可知，\(H(p(x),q(x)) \ge H(p(x))\)恒成立，当\(q(x)=p(x)\)时取等号，此时交叉熵等于信息熵。

有没有发现，我们此时又回到了相对熵，即由\(q(x)\)得到的平均编码长度比由\(p(x)\)得到的平均编码长度多出的bit数(对数底数为2时)：

\[D_{KL}(p||q) = H(p(x),q(x))-H(p(x)) =-\sum_x p(x)ln \cfrac{q(x)}{p(x)} \tag{14} \]

机器学习的目的就是希望\(q(x)\)尽可能地逼近甚至等于\(p(x)\)，从而使得相对熵接近最小值0。由于真实的概率分布是固定的(在机器学习中，训练数据分布是固定的)，相对熵公式\((7)\)的后半部分就成了一个常数。那么相对熵达到最小值的时候，也意味着交叉熵达到了最小值。对\(q(x)\)的优化就等效于求交叉熵的最小值。另外，对交叉熵求最小值，也等效于求最大似然估计（maximum likelihood estimation）。这里简单介绍一下，具体可以参考（Deep Learning -- 5.5 Maximum Likelihood Estimation.）

假设数据是通过未知分布\(p(x)\)生成的，我们要对\(p(x)\)建模。一个可行的做法是使用一些参数分布\(q(x|\theta)\)来近似这个分布。\(q(x|\theta)\)由可调节的参数\(\theta\)控制，比如说它是一个多元高斯分布。其中一种确定\(q(x|\theta)\)的方式是最小化\(p(x)\)和\(q(x|\theta)\)之间关于\(\theta\)的Kullback-Leibler散度。但是这里有一个问题就是，我们并不知道真实的\(p(x)\)。但是，我们已经观察到了服从分布\(p(x)\)的有限数量的训练点\(x_i, i=1,2,\dots,m\)。我们知道，如果我们给定有限数量的\(m\)个点，这些点满⾜某个概率分布或者概率密度函数，那么期望可以通过求和的⽅式估计，即

\[E[f] = \sum_x p(x)f(x) \approx \cfrac{1}{m}\sum_{i=1}^mf(x_i) \]

那么，关于\(p(x)\)的期望就可以通过这些点的有限加和来近似，同时，从公式\((8)\)可以看出，Kullback-Leibler散度就是求\(p\)与\(q\)之间的对数差在\(p(x)\)上的期望值。所以

\[\begin{aligned} D_{KL}(p||q) &= -\sum_x p(x)ln \cfrac{q(x|\theta)}{p(x)} \\ & \approx \cfrac{1}{m}\sum_{i=1}^m\{-lnq(x_i|\theta)+p(x_i)\} \end{aligned} \]

上述公式中，右侧第二项与\(\theta\)无关，第⼀项是使⽤训练集估计的分布\(q(x|\theta)\)下的\(\theta\)的负对数似然函数。因此我们看到，最⼩化Kullback-Leibler散度等价于最⼤化似然函数。

通常“相对熵”也可称为“交叉熵”，虽然公式上看相对熵=交叉熵-信息熵，但正如上面说的由于真实分布\(p(x)\)是固定的，\(D_{KL}(p||q)\)由\(H(p(x),q(x))\)决定。当然也有特殊情况，彼时两者须区别对待。

4. 互信息（Mutual Information）

在概率论和信息论中，两个随机变量的互信息（Mutual Information，简称MI）或转移信息（transinformation）是变量间相互依赖性的量度。

现在考虑由\(p(x,y)\)给出的两个变量\(X\)和\(Y\)组成的数据集。如果变量的集合是独⽴的，那么他们的联合分布可以分解为边缘分布的乘积\(p(x,y) = p(x)p(y)\)。如果变量不是独⽴的，那么我们可以通过考察联合概率分布与边缘概率分布乘积之间的Kullback-Leibler散度来判断它们是否“接近”于相互独⽴。此时，Kullback-Leibler散度为

\[\begin{aligned} I(X,Y) &= D_{KL}(p(x,y)||p(x)p(y)) \\ &= -\sum_{y\in Y}\sum_{x \in X}p(x,y)ln \cfrac{p(x)p(y)}{p(x,y)} \end{aligned} \tag{15}\]

其中，\(p(x,y)\)是\(X\)和\(Y\)的联合概率分布函数，而\(p(x)\)和\(p(y)\)分别是\(X\)和\(Y\)的边缘概率分布函数。

同样的，在连续型随机变量的情形下，求和被替换为二重定积分：

\[\begin{aligned} I(X,Y) &= D_{KL}(p(x,y)||p(x)p(y)) \\ &= -\int_Y\int_Xp(x,y)ln \cfrac{p(x)p(y)}{p(x,y)}dxdy \end{aligned} \tag{16}\]

这被称为变量\(X\)和变量\(Y\)之间的互信息。根据Kullback-Leibler散度的性质，我们看到\(I(X,Y) \ge 0\)，当且仅当\(X\)和\(Y\)相互独⽴时等号成⽴。使⽤概率的加和规则和乘积规则，我们看到互信息和条件熵之间的关系为

\[I(X,Y) = H(X) - H(X|Y) = H(Y) - H(Y|X) \tag{17} \]

因此我们可以把互信息看成由于知道\(Y\)值⽽造成的\(X\)的不确定性的减⼩（反之亦然）。从贝叶斯的观点来看，我们可以把\(p(x)\)看成\(x\)的先验概率分布，把\(p(x|y)\)看成我们观察到新数据\(y\)之后的后验概率分布。因此互信息表⽰⼀个新的观测\(y\)造成的\(x\)的不确定性的减⼩。

互信息的性质：

对称性：\(I(X,Y) = I(Y,X)\)
非负性：\(I(X,Y) \ge 0\)
当\(X\)，\(Y\)独立时，\(I(X,Y)=0\)
当\(X\)，\(Y\)知道一个就能推断另一个时，\(I(X,Y)=H(X)=H(Y)\)

直观上，互信息度量\(X\)和\(Y\)共享的信息。如果\(X\)和\(Y\)相互独立，则知道\(X\)不对\(Y\)提供任何信息，反之亦然，所以它们的互信息为0。在另一个极端，如果\(X\)是\(Y\)的一个确定性函数，且\(Y\)也是\(X\)的一个确定性函数，那么传递的所有信息被\(X\)和\(Y\)共享，知道\(X\)就能决定\(Y\)的值，反之亦然。因此，在此情形互信息与\(Y\)（或\(X\)）单独包含的不确定度相同，即为\(Y\)（或 \(X\)）的熵。而且，这个互信息与\(X\)的熵和\(Y\)的熵相同。（这种情形的一个非常特殊的情况是当\(X\)和\(Y\)为相同随机变量时。）