方差(Variance):方差是标准差(Standard deviation)的平方,而标准差的意义是数据集中各点到均值点距离的平均值。反应的是数据的离散程度。假设XX是一个随机变量,则方差可以表示为:
其中,E(X)E(X)是随机变量XX的期望。
协方差(Covariance):标准差与方差是描述一维数据的,当存在多维数据时,我们通常需要知道每个维数的变量之间是否存在关联。协方差就是衡量多维数据集中变量之间相关性的统计量。比如说,一个人的身高与他的体重的关系,这就需要用协方差来衡量。如果两个变量之间的协方差为正值,则这两个变量之间存在正相关,若为负值,则为负相关。
协方差的意义:在概率论中,两个随机变量XX与YY之间的相互关系,大致有下列3种情况:
1)当XX,YY的联合分布像图(2.1)那样时,我们可以看出,大致上有:XX越大YY也越大,XX越小YY也越小,这种情况,我们称为“正相关”。

图2.1 随机变量X与Y正相关
2)当XX,YY的联合分布像图(2.2)那样时,我们可以看出,大致上有:XX越大YY反而越小,XX越小YY反而越大,这种情况,我们称为“负相关”。

图2.2 随机变量X与Y负相关
3)当XX,YY的联合分布像图(2.3)那样时,我们可以看出,大致上有:既不是XX越大YY也越大,也不是XX越大YY反而越小,这种情况我们称为“不相关”。

图2.3 随机变量X与Y不相关
那么,怎样将这3种相关情况,用一个简单的数学表达式表达出来呢?观察上面3种情况的图可以看出:
1)在3幅图的区域(1)中,有X>E(X)X>E(X), Y−E(Y)>0Y−E(Y)>0,所以(X−E(X))(Y−E(Y))>0(X−E(X))(Y−E(Y))>0;
2)在3幅图的区域(2)中,有X<E(X)X<E(X), Y−E(Y)>0Y−E(Y)>0,所以(X−E(X))(Y−E(Y))<0(X−E(X))(Y−E(Y))<0;
3)在3幅图的区域(3)中,有X<E(X)X<E(X), Y−E(Y)<0Y−E(Y)<0,所以(X−E(X))(Y−E(Y))>0(X−E(X))(Y−E(Y))>0;
4)在3幅图的区域(4)中,有X>E(X)X>E(X), Y−E(Y)<0Y−E(Y)<0,所以(X−E(X))(Y−E(Y))<0(X−E(X))(Y−E(Y))<0。
所以很直观地看:
当XX与YY正相关时,它们的分布大部分在区域(1)和(3)中,小部分在区域(2)和(4)中,所以平均来说,有E[(X−E(X))(Y−E(Y))]>0E[(X−E(X))(Y−E(Y))]>0;
当XX与YY负相关时,它们的分布大部分在区域(2)和(4)中,小部分在区域(1)和(3)中,所以平均来说,有E[(X−E(X))(Y−E(Y))]<0E[(X−E(X))(Y−E(Y))]<0;
当XX与YY不相关时,它们的分布在区域(1)和(3)中,与(2)和(4)中的几乎一样多,所以平均来说,有E]X−E(X))(Y−E(Y)]=0E]X−E(X))(Y−E(Y)]=0。
所以,我们可以定义一个表示XX, YY相互关系的数字特征,也就是协方差:
当cov(X,Y)>0cov(X,Y)>0时,表明XX与YY正相关;
当cov(X,Y)<0cov(X,Y)<0时,表明XX与YY负相关;
当cov(X,Y)=0cov(X,Y)=0时,表明XX与YY不相关。
这就是协方差的意义。
协方差矩阵,当变量多了,超过两个变量了。那么,就用协方差矩阵来衡量多变量之间的相关性。假设XX是以nn个随机变数(其中的每个随机变数也是一个向量,当然是一个行向量)组成的列向量:
X=[X1X2⋮Xn]
其中,μi是第i个元素的期望值,i=1,2,…,n,即μi=E(Xi)。协方差矩阵的第i,j项(第i,j项是Xi,Xj的协方差)被定义为如下形式:
则协方差矩阵可以表示为:
∑=[E[(X1−μ1)(X1−μ1)]E[(X1−μ1)(X2−μ2)]⋯E[(X1−μ1)(Xn−μn)]E[(X2−μ2)(X1−μ1)]E[(X2−μ2)(X2−μ2)]⋯E[(X2−μ2)(Xn−μn)]⋮⋮⋱⋮E[(Xn−μn)(X1−μ1)]E[(Xn−μn)(X2−μ2)]⋯E[(Xn−μn)(Xn−μn)]]
那么,协方差矩阵中的元素对数据的分布有什么影响呢?
首先,我们来看看一维正态分布随机变量的分布与均值μ和σ的关系,如图(2.4)所示:
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图2.4 一维正态分布随机变量的分布与均值和方差的关系
可以看出:
1)均值决定了分布的中心点位置
2)方差决定了分布图形的形状是“胖”(圆)还是“瘦”(扁)
接下来,协方差矩阵中的元素对数据的分布影响,以二维正态分布为例,其中包含3个不同取值的均值(向量)和协方差矩阵:
1)3组数据的协方差矩阵相同,都为对角阵,对角线元素相同,如图(2.5):

图2.5

图2.6

图2.7
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图2.8
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图2.9
可以看出:
1)均值为分布的中心点位置。
2)对角线元素决定了分布图形是圆还是扁。
3)非对角线元素决定了分布图形的轴向(扁的方向)。
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