前缀树、桶排序、排序算法总结
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1 前缀树结构(trie)、桶排序、排序总结
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1.1 前缀树结构
单个字符串中，字符从前到后的加到一颗多叉树上
字符放在路上，节点上有专属的数据项(常见的是pass和end值)
所有样本都这样添加。如果没有路就新建，如果有路就复用
沿途节点的pass值增加1.每个字符串结束时来到的节点end值增加1
一个字符串数组中，所有字符串的字符数为N,整个数组加入前缀树种的代价是O(N)
功能一：构建好前缀树之后，我们查询某个字符串在不在前缀树中，某字符串在这颗前缀树中出现了几次都是特别方便的。例如找"ab"在前缀树中存在几次，可以先看有无走向a字符的路径(如果没有，直接不存在)，再看走向b字符的路径，此时检查该节点的end标记的值，如果为0，则前缀树中不存在"ab"字符串，如果e>0则，e等于几则"ab"在前缀树种出现了几次
功能二：如果单单是功能一，那么哈希表也可以实现。现查询所有加入到前缀树的字符串，有多少个以"a"字符作为前缀，来到"a"的路径，查看p值大小，就是以"a"作为前缀的字符串数量
package class05;
import java.util.HashMap;
public class Code02_TrieTree {
public static class Node1 {
// pass表示字符从该节点的路径通过
public int pass;
// end表示该字符到此节点结束
public int end;
public Node1[] nexts;
public Node1() {
pass = 0;
end = 0;
// 每个节点下默认26条路，分别是a~z
// 0 a
// 1 b
// 2 c
// .. ..
// 25 z
// nexts[i] == null i方向的路不存在
// nexts[i] != null i方向的路存在
nexts = new Node1[26];
}
}
public static class Trie1 {
// 默认只留出头节点
private Node1 root;
public Trie1() {
root = new Node1();
}
// 往该前缀树中添加字符串
public void insert(String word) {
if (word == null) {
return;
}
char[] str = word.toCharArray();
// 初始引用指向头节点
Node1 node = root;
// 头结点的pass首先++
node.pass++;
// 路径的下标
int path = 0;
for (int i = 0; i < str.length; i++) { // 从左往右遍历字符
// 当前字符减去'a'的ascii码得到需要添加的下个节点下标
path = str[i] - 'a'; // 由字符，对应成走向哪条路
// 当前方向上没有建立节点，即一开始不存在这条路，新开辟
if (node.nexts[path] == null) {
node.nexts[path] = new Node1();
}
// 引用指向当前来到的节点
node = node.nexts[path];
// 当前节点的pass++
node.pass++;
}
// 当新加的字符串所有字符处理结束，最后引用指向的当前节点就是该字符串的结尾节点，end++
node.end++;
}
// 删除该前缀树的某个字符串
public void delete(String word) {
// 首先要查一下该字符串是否加入过
if (search(word) != 0) {
// 沿途pass--
char[] chs = word.toCharArray();
Node1 node = root;
node.pass--;
int path = 0;
for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
path = chs[i] - 'a';
// 在寻找的过程中，pass为0，提前可以得知在本次删除之后，该节点以下的路径不再需要，可以直接删除。
// 那么该节点之下下个方向的节点引用置为空（JVM垃圾回收，相当于该节点下的路径被删了）
if (--node.nexts[path].pass == 0) {
node.nexts[path] = null;
return;
}
node = node.nexts[path];
}
// 最后end--
node.end--;
}
}
// 在该前缀树中查找
// word这个单词之前加入过几次
public int search(String word) {
if (word == null) {
return 0;
}
char[] chs = word.toCharArray();
Node1 node = root;
int index = 0;
for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
index = chs[i] - 'a';
// 寻找该字符串的路径中如果提前找不到path，就是未加入过，0次
if (node.nexts[index] == null) {
return 0;
}
node = node.nexts[index];
}
// 如果顺利把word字符串在前缀树中走完路径，那么此时的node对应的end值就是当前word在该前缀树中添加了几次
return node.end;
}
// 所有加入的字符串中，有几个是以pre这个字符串作为前缀的
public int prefixNumber(String pre) {
if (pre == null) {
return 0;
}
char[] chs = pre.toCharArray();
Node1 node = root;
int index = 0;
for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
index = chs[i] - 'a';
// 走不到最后，就没有
if (node.nexts[index] == null) {
return 0;
}
node = node.nexts[index];
}
// 顺利走到最后，返回的pass就是有多少个字符串以当前pre为前缀的
return node.pass;
}
}
/**
* 实现方式二,针对各种字符串，路径不仅仅是a~z对应的26个，用HashMap<Integer, Node2>表示ascii码值对应的node。
**/
public static class Node2 {
public int pass;
public int end;
public HashMap<Integer, Node2> nexts;
public Node2() {
pass = 0;
end = 0;
nexts = new HashMap<>();
}
}
public static class Trie2 {
private Node2 root;
public Trie2() {
root = new Node2();
}
public void insert(String word) {
if (word == null) {
return;
}
char[] chs = word.toCharArray();
Node2 node = root;
node.pass++;
int index = 0;
for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
index = (int) chs[i];
if (!node.nexts.containsKey(index)) {
node.nexts.put(index, new Node2());
}
node = node.nexts.get(index);
node.pass++;
}
node.end++;
}
public void delete(String word) {
if (search(word) != 0) {
char[] chs = word.toCharArray();
Node2 node = root;
node.pass--;
int index = 0;
for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
index = (int) chs[i];
if (--node.nexts.get(index).pass == 0) {
node.nexts.remove(index);
return;
}
node = node.nexts.get(index);
}
node.end--;
}
}
// word这个单词之前加入过几次
public int search(String word) {
if (word == null) {
return 0;
}
char[] chs = word.toCharArray();
Node2 node = root;
int index = 0;
for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
index = (int) chs[i];
if (!node.nexts.containsKey(index)) {
return 0;
}
node = node.nexts.get(index);
}
return node.end;
}
// 所有加入的字符串中，有几个是以pre这个字符串作为前缀的
public int prefixNumber(String pre) {
if (pre == null) {
return 0;
}
char[] chs = pre.toCharArray();
Node2 node = root;
int index = 0;
for (int i = 0; i < chs.length; i++) {
index = (int) chs[i];
if (!node.nexts.containsKey(index)) {
return 0;
}
node = node.nexts.get(index);
}
return node.pass;
}
}
public static class Right {
private HashMap<String, Integer> box;
public Right() {
box = new HashMap<>();
}
public void insert(String word) {
if (!box.containsKey(word)) {
box.put(word, 1);
} else {
box.put(word, box.get(word) + 1);
}
}
public void delete(String word) {
if (box.containsKey(word)) {
if (box.get(word) == 1) {
box.remove(word);
} else {
box.put(word, box.get(word) - 1);
}
}
}
public int search(String word) {
if (!box.containsKey(word)) {
return 0;
} else {
return box.get(word);
}
}
public int prefixNumber(String pre) {
int count = 0;
for (String cur : box.keySet()) {
if (cur.startsWith(pre)) {
count += box.get(cur);
}
}
return count;
}
}
// for test
public static String generateRandomString(int strLen) {
char[] ans = new char[(int) (Math.random() * strLen) + 1];
for (int i = 0; i < ans.length; i++) {
int value = (int) (Math.random() * 6);
ans[i] = (char) (97 + value);
}
return String.valueOf(ans);
}
// for test
public static String[] generateRandomStringArray(int arrLen, int strLen) {
String[] ans = new String[(int) (Math.random() * arrLen) + 1];
for (int i = 0; i < ans.length; i++) {
ans[i] = generateRandomString(strLen);
}
return ans;
}
public static void main(String[] args) {
int arrLen = 100;
int strLen = 20;
int testTimes = 100000;
for (int i = 0; i < testTimes; i++) {
String[] arr = generateRandomStringArray(arrLen, strLen);
Trie1 trie1 = new Trie1();
Trie2 trie2 = new Trie2();
Right right = new Right();
for (int j = 0; j < arr.length; j++) {
double decide = Math.random();
if (decide < 0.25) {
trie1.insert(arr[j]);
trie2.insert(arr[j]);
right.insert(arr[j]);
} else if (decide < 0.5) {
trie1.delete(arr[j]);
trie2.delete(arr[j]);
right.delete(arr[j]);
} else if (decide < 0.75) {
int ans1 = trie1.search(arr[j]);
int ans2 = trie2.search(arr[j]);
int ans3 = right.search(arr[j]);
if (ans1 != ans2 || ans2 != ans3) {
System.out.println("Oops!");
}
} else {
int ans1 = trie1.prefixNumber(arr[j]);
int ans2 = trie2.prefixNumber(arr[j]);
int ans3 = right.prefixNumber(arr[j]);
if (ans1 != ans2 || ans2 != ans3) {
System.out.println("Oops!");
}
}
}
}
System.out.println("finish!");
}
}
1.2 不基于比较的排序-桶排序
例如：一个代表员工年龄的数组，排序。数据范围有限，对每个年龄做词频统计。arr[0~200] = 0,M=200
空间换时间
1.2.1 计数排序
桶排序思想下的排序：计数排序 & 基数排序
1、 桶排序思想下的排序都是不基于比较的排序
2、 时间复杂度为O(N),二维空间复杂复杂度为O(M)
3、 应用范围有限，需要样本的数据状况满足桶的划分
缺点：与样本数据状况强相关。
1.2.2 基数排序
应用条件：十进制数据，非负
[100,17,29,13,5,27] 进行排序 =>
1、找最高位的那个数的长度，这里100的长度为3，其他数前补0，得出
[100,017,029,013,005,027]
2、 准备10个桶，对应的数字0~9号桶，每个桶是一个队列。根据样本按个位数字对应进桶，相同个位数字进入队列，再从0号桶以此倒出，队列先进先出。个位进桶再依次倒出，得出：
[100,013,005,017,027,029]
3、 再把按照个位进桶倒出的样本，再按十位进桶，再按相同规则倒出得：
[100,005,013,017,027,029]
4、再把得到的样本按百位进桶，倒出得：
[005,013,017,027,029,100]
此时达到有序！
思想：先按各位数字排序，各位数字排好序，再用十位数字的顺序去调整，再按百位次序调整。优先级依次递增，百位优先级最高，百位优先级一样默认按照上一层十位的顺序...
结论：基于比较的排序，时间复杂度的极限就是O(NlogN)，而不基于比较的排序，时间复杂度可以达到O(N)。在面试或刷题，估算排序的时间复杂度的时候，必须用基于比较的排序来估算
/**
* 计数排序
**/
package class05;
import java.util.Arrays;
public class Code03_CountSort {
// 计数排序
// only for 0~200 value
public static void countSort(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
max = Math.max(max, arr[i]);
}
int[] bucket = new int[max + 1];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
bucket[arr[i]]++;
}
int i = 0;
for (int j = 0; j < bucket.length; j++) {
while (bucket[j]-- > 0) {
arr[i++] = j;
}
}
}
// for test
public static void comparator(int[] arr) {
Arrays.sort(arr);
}
// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random());
}
return arr;
}
// for test
public static int[] copyArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return null;
}
int[] res = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
res[i] = arr[i];
}
return res;
}
// for test
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
return false;
}
if (arr1 == null && arr2 == null) {
return true;
}
if (arr1.length != arr2.length) {
return false;
}
for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
if (arr1[i] != arr2[i]) {
return false;
}
}
return true;
}
// for test
public static void printArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return;
}
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
// for test
public static void main(String[] args) {
int testTime = 500000;
int maxSize = 100;
int maxValue = 150;
boolean succeed = true;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
int[] arr2 = copyArray(arr1);
countSort(arr1);
comparator(arr2);
if (!isEqual(arr1, arr2)) {
succeed = false;
printArray(arr1);
printArray(arr2);
break;
}
}
System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
printArray(arr);
countSort(arr);
printArray(arr);
}
}
下面代码的思想：
例如原数组[101,003,202,41,302]。得到按个位的词频conut数组为[0,2,2,1,0,0,0,0,0,0]。通过conut词频累加得到conut'为[0,2,4,5,5,5,5,5,5,5],此时conut'的含义表示个位数字小于等于0的数字有0个，个位数字小于等于1的有两个，个位数字小于等于2的有4个......
得到conut'之后，对原数组[101,003,202,41,302]从右往左遍历。根据基数排序的思想，302应该是2号桶最后被倒出的，我们已经知道个位数字小于等于2的有4个，那么302就是4个中的最后一个，放在help数组的3号位置,相应的conut'小于等于2位置的词频减减变为3。同理，41是1号桶的最后一个，个位数字小于等于1的数字有两个，那么41需要放在1号位置，小于等于1位置的词频减减变为1，同理......
实质增加conut和count'结构，避免申请十个队列结构，不想炫技直接申请10个队列结构，按基数排序思想直接做没问题
实质上，基数排序的时间复杂度是O(Nlog10max(N)),log10N表示十进制的数的位数，但是我们认为基数排序的应用样本范围不大。如果要排任意位数的值，严格上就是O(Nlog10max(N))
/**
* 基数排序
**/
package class05;
import java.util.Arrays;
public class Code04_RadixSort {
// 非负数，十进制，如果负数需要深度改写这个方法
// only for no-negative value
public static void radixSort(int[] arr) {
if (arr == null || arr.length < 2) {
return;
}
radixSort(arr, 0, arr.length - 1, maxbits(arr));
}
// 计算数组样本中最大值的位数
public static int maxbits(int[] arr) {
int max = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
max = Math.max(max, arr[i]);
}
int res = 0;
while (max != 0) {
res++;
max /= 10;
}
return res;
}
// arr[l..r]排序 , digit：最大值的位数
// l..r [3, 56, 17, 100] 3
public static void radixSort(int[] arr, int L, int R, int digit) {
// 由于十进制的数，我们依10位基底
final int radix = 10;
int i = 0, j = 0;
// 有多少个数准备多少个辅助空间
int[] help = new int[R - L + 1];
for (int d = 1; d <= digit; d++) { // 有多少位就进出几次
// 10个空间
// count[0] 当前位(d位)是0的数字有多少个
// count[1] 当前位(d位)是(0和1)的数字有多少个
// count[2] 当前位(d位)是(0、1和2)的数字有多少个
// count[i] 当前位(d位)是(0~i)的数字有多少个
int[] count = new int[radix]; // count[0..9]
for (i = L; i <= R; i++) {
// 103的话 d是1表示个位 取出j=3
// 209 1 9
j = getDigit(arr[i], d);
count[j]++;
}
// conut往conut'的转化
for (i = 1; i < radix; i++) {
count[i] = count[i] + count[i - 1];
}
// i从最后位置往前看
for (i = R; i >= L; i--) {
j = getDigit(arr[i], d);
help[count[j] - 1] = arr[i];
// 词频--
count[j]--;
}
// 处理完个位十位...之后都要往原数组copy
for (i = L, j = 0; i <= R; i++, j++) {
arr[i] = help[j];
}
}
}
public static int getDigit(int x, int d) {
return ((x / ((int) Math.pow(10, d - 1))) % 10);
}
// for test
public static void comparator(int[] arr) {
Arrays.sort(arr);
}
// for test
public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {
int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random());
}
return arr;
}
// for test
public static int[] copyArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return null;
}
int[] res = new int[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
res[i] = arr[i];
}
return res;
}
// for test
public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {
if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {
return false;
}
if (arr1 == null && arr2 == null) {
return true;
}
if (arr1.length != arr2.length) {
return false;
}
for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {
if (arr1[i] != arr2[i]) {
return false;
}
}
return true;
}
// for test
public static void printArray(int[] arr) {
if (arr == null) {
return;
}
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
// for test
public static void main(String[] args) {
int testTime = 500000;
int maxSize = 100;
int maxValue = 100000;
boolean succeed = true;
for (int i = 0; i < testTime; i++) {
int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
int[] arr2 = copyArray(arr1);
radixSort(arr1);
comparator(arr2);
if (!isEqual(arr1, arr2)) {
succeed = false;
printArray(arr1);
printArray(arr2);
break;
}
}
System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");
int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);
printArray(arr);
radixSort(arr);
printArray(arr);
}
}
1.3 排序算法的稳定性
稳定性是指同样大小的样本在排序之后不会改变相对次序。基础类型稳定性没意义，用处是按引用传递后是否稳定。比如学生有班级和年龄两个属性，先按班级排序，再按年龄排序，那么如果是稳定性的排序，不会破坏之前已经按班级拍好的顺序
稳定性排序的应用场景：购物时候，先按价格排序商品，再按好评度排序，那么好评度实在价格排好序的基础上。反之不稳定排序会破坏一开始按照价格排好的次序
1.3.1 稳定的排序
1、 冒泡排序（处理相等时不交换）
2、 插入排序（相等不交换）
3、 归并排序（merge时候，相等先copy左边的）
1.3.2 不稳定的排序
1、 选择排序
2、 快速排序 （partion过程无法保证稳定）
3、 堆排序 （维持堆结构）
1.3.3 排序稳定性对比
| 排序 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 稳定性 |
|---|---|---|---|
| 选择排序 | O(N^2) | O(1) | 无 |
| 冒泡排序 | O(N^2) | O(1) | 有 |
| 插入排序 | O(N^2) | O(1) | 有 |
| 归并排序 | O(NlogN) | O(N) | 有 |
| 随机快拍 | O(NlogN) | O(logN) | 无 |
| 堆排序 | O(NlogN) | O(1) | 无 |
| 计数排序 | O(N) | O(M) | 有 |
| 堆排序 | O(N) | O(N) | 有 |
1.4 排序算法总结
- 不基于比较的排序，对样本数据有严格要求，不易改写
- 基于比较的排序，只要规定好两个样本怎么比较大小就可以直接复用
- 基于比较的排序，时间复杂度的极限是O(NlogN)
- 时间复杂度O(NlogN)、额外空间复杂度低于O(N)，且稳定的基于比较的排序是不存在的
- 为了绝对的速度选择快排（快排的常数时间低），为了节省空间选择堆排序，为了稳定性选归并
1.5 排序常见的坑点
归并排序的额为空间复杂度可以变为O(1)。“归并排序内部缓存法”，但是将会变的不稳定。不考虑稳定不如直接选择堆排序
“原地归并排序”是垃圾帖子，会让时间复杂度变成O(N ^2)。时间复杂度退到O(N ^2)不如直接选择插入排序
快速排序稳定性改进，“01 stable sort”，但是会对样本数据要求更多。对数据进行限制，不如选择桶排序
在整形数组中，请把奇数放在数组左边，偶数放在数组右边，要求所有奇数之间原始次序不变，所有偶数之间原始次序不变。要求时间复杂度O(N),额为空间复杂度O(1)。这是个01标准的partion，奇偶规则，但是快速排序的partion过程做不到稳定性。所以正常实现不了，学术论文(01 stable sort,不建议碰，比较难)中需要把数据阉割限制之后才能做到
1.6 工程上对排序的改进
稳定性考虑：值传递，直接快排，引用传递，归并排序
充分利用O(NlogN)和O(N^2)排序各自的优势：根据样本量底层基于多种排序实现，比如样本量比较小直接选择插入排序。
比如Java中系统实现的快速排序
