8.7-Day1T1

题目大意：

T组测试数据，每组测试数据给出一个n，求[0,n-1]所有逆元的和。（n可能不为质数）

 

题解：

我的想法：

求出每一个数的逆元，再相加。由于有n为质数的时候，所以，我将它分为两种情况：（1）n为质数是，线性求逆元（2）n不为质数时，扩展欧几里得求逆元

理论上可以拿个60分的...但我数组开大了,,,文件直接不可运行了...爆零...

正解：

算法1：

当n是质数的时候，所有数都有质数，直接输出n * (n - 1) / 2;

算法2：

当n不是质数的时候，判断一下逆元是否存在，然后累加即可；

判断存在用 gcd(i,n)=1 就可以， O(logn)；

求逆元可以利用扩展欧几里得求逆元，O(logn)

算法3：

这道题有两个性质：

性质 1：集合{[0,n-1]中存在逆元的数}==集合{[0,n-1]中存在逆元的数的逆元}

性质 2：[0,n-1]中与互质的数的和为 n*(n)/2 ；

性质 1 的正确性:

因为对逆元再求逆元得到的是本身，它们就是一一对应的了；

这样问题就转化成了求[0,n-1]中与 n 互质的数的和；

性质 2 是因为 gcd(n,i)=gcd(n,n-i)；

所以与 n 互质的数可以关于 n/2 对称的，也就是相加等于 n；

那答案为 n*(n)/2 也是显然了；

复杂度为求欧拉的复杂度，O( sqrt(n) )；

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
    int sum = 0, p = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9')
    {
        if(ch == '-')
            p = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9')
    {
        (sum *= 10) += ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return sum * p;
}
int phi(int x)
{
    int cnt = x;
    for(int i = 2; i * i <= x; i++)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            cnt /= i;
            cnt *= i - 1;
            while(x % i == 0)
                x /= i;
        }
    }
    if(x != 1)
        cnt /= x,cnt *= x - 1;
    return cnt;
}

int main()
{
    int n;
    int t = read();
    while(t--)
    {
        n = read();
        printf("%lld\n",(ll)n * phi(n) / 2);
    }
    return 0;
}