扩展欧几里得

直线上的点

求直线 ax + by + c = 0 上有多少个整点( x , y ) 满足 x ∈ [ x1 , x2] , y ∈ [ y1 , y2 ] 。

 

扩展欧几里得算法

ax + by = gcd（a，b）

求（x，y）

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
    if(!b)
        d = a , x = 1 , y = 0 ;
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y -= x * (a / b) ;
    }
}

 

一组解为（u , v）

任取另外一组解为（n , m）

那么 au + bv = an + bm;

变形得 a(u - n) = b(m - v)

假设g = gcd（a，b）

方程左右两边同时除以g

得a`(u - n) = b`(m - v)

其中 a` = a / g  ,  b`= b / g;

注意，此时a` 和 b` 互质

因此 u - n 一定是 b` 得整数倍

设它为 kb`，

计算得 m - v = ka`

 

因此可以得出如下结论

• 设 a,b,c 为任意整数。若方程ax + by = c的一组整数解为（x，y），则它的任意整数解都可以写成（x + kb` ， y - ka`）；其中a`=a/gcd(a,b) , b`=b/gcd(a,b) ，k取任意整数。

于是得出如如下结论

• 设 a,b,c 为任意整数，g= gcd（a,b）,方程 ax + by = g的一组解是（x，y）
• 则当c是g的倍数时，ax+by=c的一组解是（xc/g，yc/g）；
• 当c不是g的倍数时，无整数解。