LCA--倍增法
一般来求LCA有3种方法
1.倍增
2.RMQ+欧拉序
3.tarjan（离线）
本文将倍增求lca
这个算法是很常见很常见的
也是较好理解的
（我也不明白假期学长讲的时候我为什么死活都不明白
自闭qwq
对不起学长qwq
明明学长讲的是最好的qwq
想学长了qwq）
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一、基础概念
LCA定义：
LCA（Lowest Common Ancestors），即最近公共祖先，是指在有根树中，找出某两个结点u和v最近的公共祖先。
如图，结点4，6的公共祖先有1、2，但最近的公共祖先是2，即Lca(4,6) = 2
显然遇到这个问题
首先会想到暴力
再一算
时间复杂度"仅仅"是O(n)而已啦
可是如果有q次询问呢
比如说洛谷板子题
n和q（这里的q即板子题中的m都是5 * 105的级别的
那么n*q就是一个不小的数了
那么暴力一定是过不了的了
那么就只能优化优化了
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倍增法：
注意到u，v走到最近公共祖先w之前，u，v所在结点不相同。
而到达最近公共祖先w后，再往上走仍是u，v的公共祖先，即u，v走到同一个结点，这具有二分性质。
于是可以预处理出一个2k的表，
fa[k][u]表示u往上走2k步走到的结点，令根结点深度为0，则2k>depth[u]时，令fa[k][u]=-1(不合法情况的处理）
不妨假设depth[u] < depth[v]
①将v往上走d = depth[v] - depth[u]步，此时u，v所在结点深度相同，该过程可用二进制优化。
由于d是确定值，将d看成2的次方的和值，d = 2k1 + 2k2 + ... + 2km，利用fa数组，如v = fa[k1][v]，v = fa[k2][v]加速。
②若此时u = v，说明Lca(u,v)已找到
③利用fa数组加速u，v一起往上走到最近公共祖先w的过程。
令d = depth[u] - depth[w]，虽然d是个未知值，但依然可以看成2的次方的和。
从高位到低位枚举d的二进制位，设最低位为第0位，若枚举到第k位，有fa[k][u] != fa[k][v]，则令u = fa[k][u]，v = fa[k][v]。
最后
最近公共祖先w = fa[0][u] = fa[0][v]，即u和v的父亲
如何预处理？
k=0时，fa[k][u]为u在有根树中的父亲，令根结点fa[k][root]=-1。
k>0时，fa[k][u]=fa[k-1][fa[k-1][u]]。树的高度最多为n，k是logn级别。
时间复杂度？
预处理O(nlogn)
单次查询O(logn)
来个板子题也很好理解呀（传送门）
上面提到过的
罗姑上也有板子题
但是我最近是由hdu的oj写的
正好还有那个的代码就直接拿过来了
#include<cstdio> #include<iostream> #include<cstring> #define maxn 40000 using namespace std; struct EDGE { int nxt,to,v; }edge[maxn*2+5]; //链式前向星（可以用结构体，也可以用独立的数组） //注意这里结构体的大小，下面会说的 int T,n,root,cnt,m; //T次模拟，cnt为边的个数（边的编号），n个点的树，m次询问，root是树的根（有的lca中没有给出根节点的标号，需要自己找，这里就没给） int head[maxn+5],dep[maxn+5],dis[maxn+5]; //head也是属于链前中的内容，写在这里因为[]中为点的标号，所以它的大小就是节点数的大小 //dep存每个节点的深度，dis存每个节点到根节点的深度 int f[maxn+5][25];//前面的[i]为i节点 ，后面的[j]为从i节点往上跳2^j个节点 bool vis[maxn+5];//用来找根节点特意开的一个数组 void add(int x,int y,int z)//加边（用链式前向星存边） { edge[++cnt].to=y; edge[cnt].v=z; edge[cnt].nxt=head[x]; head[x]=cnt; } void dfs(int u,int fa) { dep[u]=dep[fa]+1;//深度加一 for(int i=0; i<=22; i++)//预处理，处理出u节点蹦2^i个节点所到达的节点编号 { f[u][i+1]=f[f[u][i]][i]; } for(int i=head[u]; i; i=edge[i].nxt)//遍历他的出边（dfs） { if(edge[i].to==fa) { continue; }//（因为正反都加边了）如果这个边指向的点是u节点的父节点，不dfs这个 dis[edge[i].to]=dis[u]+edge[i].v;//距离 f[edge[i].to][0]=u;//父节点 dfs(edge[i].to,u); } } int LCA(int x,int y) { if(dep[x]<dep[y]) { swap(x,y); }//使x是最深的那个点 for(int i=22; i>=0; i--) { if(dep[f[x][i]]>=dep[y])//如果蹦的话x的深度仍比y的深度深，那就蹦，否则不蹦 { x=f[x][i]; } if(x==y)//如果x蹦到了y，那么此时的x（也就是y）就是lca { return x; } } //此时x和y的深度相同，但不是同一个节点 for(int i=22; i>=0; i--) { if(f[x][i]!=f[y][i])//如果x和y蹦完了到了相同的节点，那么蹦到的节点一定大于或等于lca {//所以只有蹦到了不同的节点，才可以蹦（这样才能保证没蹦超出lca） x=f[x][i]; y=f[y][i]; } } return f[x][0];//离真正的lca只差一步（此时不管蹦多少都超，所以前面的循环只能使x是离lca只差一层的节点） } int main() { scanf("%d",&T); while(T--)//T次模拟（每次询问都是用新的树，因此要把之前的数组全部清空） { memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(edge,0,sizeof(edge)); memset(f,0,sizeof(f)); memset(dep,0,sizeof(dep)); memset(head,0,sizeof(head)); memset(dis,0,sizeof(dis)); cnt=0; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1; i<=n-1; i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); vis[y]=1; add(x,y,z); add(y,x,z);//因为不知道x和y谁是爸爸，所以就正反都加边 ，所以结构体的大小要开两倍 } for(int i=1; i<=n; i++) { if(vis[i]==0) { root=i; break; } }//没有被标记过的是根节点 dfs(root,0); for(int i=1; i<=m; i++) { int a,b; scanf("%d%d",&a,&b); printf("%d\n",dis[a]+dis[b]-2*dis[LCA(a,b)]); } } return 0; }
