最长上升子序列（LIS）
（我先扯些没用的）
我这个笨孩子
学点东西好慢好慢的
我还贪玩
于是
将自己陷入了一个超级超级超级差的境地
可
我还傻乎乎的保有着天真的梦想（理想？）
所以现在我要加倍的努力努力再努力了
只能嘎油了
唉....
------------------------------------------------------------------------
- 总时间限制:
- 2000ms
- 内存限制:
- 65536kB
- 描述
- 一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。 - 输入
- 输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
- 输出
- 最长上升子序列的长度。
- 样例输入
-
7 1 7 3 5 9 4 8 - 样例输出
- 4
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - 两种算法叭
- 一种O（n2）
- 一种O（nlogn）
- 一、O（n2）
- 一种很朴素的想法
我们都知道，动态规划的一个特点就是当前解可以由上一个阶段的解推出， 由此，把我们要求的问题简化成一个更小的子问题。子问题具有相同的求解方式，只不过是规模小了而已。最长上升子序列就符合这一特性。我们要求n个数的最长上升子序列，可以求前n-1个数的最长上升子序列，再跟第n个数进行判断。求前n-1个数的最长上升子序列，可以通过求前n-2个数的最长上升子序列……直到求前1个数的最长上升子序列，此时LIS当然为1。
让我们举个例子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。
前1个数 d(1)=1 子序列为2；
前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7
前3个数 在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1
前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5
前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6
前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4
前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3
前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8
前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9
d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5
总结一下，d(i)就是找以A[i]结尾的，在A[i]之前的最长上升子序列+1，当A[i]之前没有比A[i]更小的数时，d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列。其实说的通俗点，就是每次都向前找比它小的和比它大的位置，将第一个比它大的替换掉，这样操作虽然LIS序列的具体数字可能会变，但是很明显LIS长度还是不变的，因为是替换掉了，并没有改变增加或者减少长度。但是我们通过这种方式是无法求出最长上升子序列具体是什么的，这点和最长公共子序列不同。
状态设计：F[ i ]代表以A[ i ]结尾的LIS的长度
状态转移：F[ i ]=max{ F[ j ]+1 ，F[ i ] }(1<=j< i,A[j]< A[i])
边界处理：F[ i ]=1(1<=i<=n)
时间复杂度：O(n^2)
//O(n^2)的算法
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
int a[1005],d[1005];
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
d[i] = 1;
}
for(int i = 1;i <= n;i++)
for(int j = 1;j <= i;j++)
{
if(a[j] < a[i])
d[i] = max(d[j] + 1,d[i]);
}
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
ans = max(ans,d[i]);
}
printf("%d",ans);
return 0;
}
但是，显然，这太慢了，是过不去的
所以，引出第二种做法
二、O（nlogn）
思路：
新建一个low数组，low[i]表示长度为i的LIS结尾元素的最小值。对于一个上升子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越可能变得更长。因此，我们只需要维护low数组，对于每一个a[i]，如果a[i] > low[当前最长的LIS长度]，就把a[i]接到当前最长的LIS后面，即low[++当前最长的LIS长度]=a[i]。
那么，怎么维护low数组呢？
对于每一个a[i]，如果a[i]能接到LIS后面，就接上去；否则，就用a[i]取更新low数组。具体方法是，在low数组中找到第一个大于等于a[i]的元素low[j]，用a[i]去更新low[j]。如果从头到尾扫一遍low数组的话，时间复杂度仍是O(n^2)。我们注意到low数组内部一定是单调不降的，所有我们可以二分low数组，找出第一个大于等于a[i]的元素。二分一次low数组的时间复杂度的O(lgn)，所以总的时间复杂度是O(nlogn)。
我们再举一个例子：有以下序列A[ ]=3 1 2 6 4 5 10 7，求LIS长度。
我们定义一个B[i]来储存可能的排序序列，len为LIS长度。我们依次把A[i]有序地放进B[i]里。（为了方便，i的范围就从1~n表示第i个数）
A[1]=3，把3放进B[1]，此时B[1]=3，此时len=1，最小末尾是3
A[2]=1，因为1比3小，所以可以把B[1]中的3替换为1，此时B[1]=1，此时len=1，最小末尾是1
A[3]=2，2大于1，就把2放进B[2]=2，此时B[]={1,2}，len=2
同理，A[4]=6，把6放进B[3]=6，B[]={1,2,6}，len=3
A[5]=4，4在2和6之间，比6小，可以把B[3]替换为4，B[]={1,2,4}，len=3
A[6]=5，B[4]=5，B[]={1,2,4,5}，len=4
A[7]=10，B[5]=10，B[]={1,2,4,5,10}，len=5
A[8]=7，7在5和10之间，比10小，可以把B[5]替换为7，B[]={1,2,4,5,7}，len=5
最终我们得出LIS长度为5。但是，但是！！这里的1 2 4 5 7很明显并不是正确的最长上升子序列。是的，B序列并不表示最长上升子序列，它只表示相应最长子序列长度的排好序的最小序列。这有什么用呢？我们最后一步7替换10并没有增加最长子序列的长度，而这一步的意义，在于记录最小序列，代表了一种“最可能性”。假如后面还有两个数据8和9，那么B[6]将更新为8，B[7]将更新为9，len就变为7。读者可以自行体会它的作用。
因为在B中插入的数据是有序的，不需要移动，只需要替换，所以可以用二分查找插入的位置，那么插入n个数的时间复杂度为〇(logn)，这样我们会把这个求LIS长度的算法复杂度降为了〇(nlogn)。
有了这个思路后
再加上lower_bound函数
就OK了
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{
int n,len = 0;
int a[1005],b[1005];
memset(b,0,sizeof(b));
scanf("%d",&n);
scanf("%d",&a[1]);
b[1] = a[1];
len = 1;
for(int i = 2;i <= n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
if(a[i] > b[len])
b[++len] = a[i];
else
{
int j = lower_bound(b+1,b+len+1,a[i])-b;
b[j] = a[i];
}
}
printf("%d",len);
return 0;
}
