上学前的日记

写在前面的

哎自己真的太颓废了

不能再这样下去 每个人都在努力

学习总是枯燥的

没人陪就只好把每天做的东西写在这 总是要有东西约束自己的

---

有什么目标吗

微积分的书[4/7]

数学分析[0/???]

托福[7/35]

---

开始吧 别浪费时间了..

[2018.11.19]

今天开始必须要对自己狠一点了..

今天看到九老师这么严格要求自己，我还这么年轻决不能荒废啊..

现在开始 1.把vb退掉 2.不看hupu的论坛（任何一个） 3.除了中午/晚上不看zhihu/直播

把自己用的所有东西都改成英文版 不懂就去查

必须要做到

 

今天本来说好要结束微积分的第一章的

结果只做到了第7个题

明天开始尝试去看托福吧

 

[2018.11.20]

对今天的自己还是比较满意的 立的flag也都没有破掉

这个yww的题搞了一天，没有留出时间看别的书

没搞懂托福要怎么搞.. 明天问问人吧

虽然没啥毛病但是效率还是低了点..

 

[2018.11.21]

今天手差点就点到论坛那里去了..

莫名其妙过了yww的题 可能以后还要补一下洲阁筛

问了雷哥怎么学 下星期开始吧..

看到这样一段话，挺有感触的

记录一下学习的内容吧

邻域或$\delta$-邻域：以$x_0$为中心的开区间$(x_0-\delta,x_0+\delta)$

空心邻域或$\delta$-空心邻域：上面不包含$x_0$

充分与必要：

如果A->B，则A是B的充分条件（因为可以充分证明），B是A的必要条件（因为反过来B不成立A也不成立）

证明A是B的充要条件的必要性与充分性

充分性：A->B

必要性：B->A

感觉自己效率还是不高，慢慢来吧

 

[2018.11.22]

没啥好说的吧..

可能看视频时间有点多了..

今天大概是把数列极限的性质和函数极限的性质合在一起吧

任重道远

 

[2018.11.26]

..玩了三天

今天才开始干正事..

感觉脑子真的不够用啊..

要想题 做数学题 还要背单词..

可能还要再压缩一下看视频的时间吧..

 

[2018.11.27]

今天对自己还是比较满意的吧..

晚上跟师兄聊了一下，自己要学的东西还有很多，不过聊了之后就清晰很多了..

然后记录一下今天的学的东西吧

是无穷小无穷大的东西

等价的几个东西

（1）$sinx$~$x$,$tanx$~$x$

（2）$1-cosx$~$\frac{1}{2}x^2$

（3）$ln(1+x)$~$x$

（4）$e^x-1$~$x$,$a^x-1$~$xlna(a>0)$

（5）$(1+x)^a-1$~$ax$

其实这些都是泰勒展开的一项，也就是$sinx=x+o(x)$

 

[2018.12.11]

好像咕得有点久了..

只要是玩了10天.. 其中啥都没干

自己在那里想了很多关于「如果」之类的东西.. 更重要的是以后吧

想了想自己想要进姚班还真的有点困难的.. 自己需要学的东西真的还有很多..

希望一年后能够考上吧..

今天还算过得挺充实的

早上看了会书还看了小裁缝的录播..

下午睡得有点久，明天开始要定闹钟

晚上背单词自我感觉还行吧..

充实度总是要慢慢积累的..

 

[2018.12.18]

woc原来我一个星期没写了..

感觉自己状态慢慢好起来了，除了最近病的有点重

看书，对微分有新的理解，很开心

背单词还算顺利，看能不能按照计划走了..

其实来写是因为那个sb

这几年，谁对我好，谁对我不好，谁推我下悬崖，谁把我从深渊拉出来，我自己心里有b数的

如果你在跟我聊天说一些我知道的事情 还想改变的对人的看法，免了

 

[2018.12.24]

平安夜快乐！

感觉生活越来越充实了

明天最后一次作业了，做完就可以安心退役了！

我感觉得把那几个数学定理记一下不然太容易忘了，之前等价无穷小都忘了好多遍了..

费马定理：

设$x_0$是函数$f$的一个极值点，如果$f'(x_0)$存在，则$f'(x_0)=0$

proof：

这个应该就很好证了

罗尔定理：

设函数在$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，如果$f(a)=f(b)$，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$

proof：

找最大最小值，若相等则函数为常数函数，否则就费马定理解决了

柯西中值定理：

设函数$f,g$都在区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，并且在$(a,b)$中$g'(x)\ne 0$，则存在$\xi\in(a,b)$，使得

$$\dfrac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

proof：

首先$g(a)\ne g(b)$

设辅助函数$\varphi(x)=[f(x)-f(a)]-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$

可得$\varphi(a)=\varphi(b)=0$

由于罗尔定理，存在$\xi$，使得$\varphi'(\xi)=0$

然后就可以得到柯西中值定理了

拉格朗日中值定理：

柯西中值定理中$g(x)=x$的特殊情况

设$f$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，则存在$\xi\in(a,b)$，使得

$$f'(\xi)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

几何意义：存在一个点的切线斜率等于$a,b$两点连线斜率

可以改写成：

$$f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)$$

也可以改写成：

$$f(x+\Delta x)-f(x)=\Delta xf'(x+\theta x)$$

 

[2018.12.28]

每个人都有自己的底线

详细的去看我pyq

就这样 性格如此

 

[2018.12.30]

因为知道自己今晚肯定不会写，但是又有东西写

所以就下午写了

书已经看了很多了.. 后面的东西越学越难了..

有点懈怠不过还好..

记一些比较常用的泰勒展开（带皮亚诺余项的，拉格朗日其实差不多..）吧

$e^x=1+x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{3!}x^3+\cdots+\dfrac{1}{n!}x^n+o(x^n)$

$ln(1+x)=x-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{3}x^3-\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{1}{n}x^n+o(x^n)$

$(1+x)^a=1+ax+\dfrac{a(a-1)}{2!}x^2+\cdots+\dfrac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

$\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n)$

$\dfrac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n)$

要巧妙的用间接展开法来做题..

 

[2019.1.15]

好久没写过了..

已经变成数学笔记了..

柯西不等式：

$$(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leq \int_a^bf(x)^2dx\cdot\int_a^bg(x)^2dx$$

证明：

设$A=\int_a^bf(x)^2dx$，$B=\int_a^bf(x)g(x)dx$，$C=\int_a^bg(x)^2dx$

函数$(tf(x)+g(x))^2$可积，也就是

$$At^2+2Bt+C=\int_a^b(tf(x)+g(x))^2dx\geq 0$$

所以方程无解或只有一个解，也就是$B^2\leq AC$，也就是柯西不等式了

同样的$(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i)^2\leq(\sum\limits_{i=1}^na_i^2)\cdot(\sum\limits_{i=1}^nb_i^2)$

也可以用上面的证明方法

积分第一中值定理：

设$f(x)\in C[a,b]$，$g(x)\in R[a,b]$且$g(x)$在$[a,b]$上不变号，则存在$\xi\in[a,b]$使得

$$\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx$$

特别的，当$g(x)$是常数$1$时

$$\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)$$

证明：

设$g(x)\geq 0$，$M$和$m$分别为$f(x)$的最大值和最小值，有

$$m\int_a^bg(x)dx\leq \int_a^bf(x)g(x)dx\leq M\int_a^bg(x)dx$$

如果$\int_a^bg(x)dx=0$，一定成立，否则$\int_a^bg(x)dx > 0$，则

$$m\leq\dfrac{\int_a^bf(x)g(x)dx}{\int_a^bg(x)dx}\leq M$$

根据连续函数介值定理，一定有$m\leq f(\xi)\leq M$，得证