数学分析学习笔记

数学分析笔记

实数与序列

常见数集

下面给出一些集合的定义

$$\begin{aligned} \mathbb N &= \{0, 1, 2, \ldots\}\\ \mathbb Z &= \{\ldots,-1,0,1,\ldots\} \\ \mathbb Q& = \{\frac{p}{q}\vert p, q \in \mathbb Z, q\not = 0\} \end{aligned}$$

对于四则运算封闭的是 $\mathbb Q, \mathbb R, \mathbb C$

Dedekind分割

先定义一个分割

$A, B$ 为有理数集合，满足：

1. $A, B \not = \emptyset, \mathbb Q = A \cup B, A \cap B = \emptyset$
2. $\forall x\in A, y \in B, x < y$

显然有四种情况

1. $A$ 中有最大值，$B$ 中有最小值
2. $A$ 中无最大值，$B$ 中有最小值
3. $A$ 中有最大值，$B$ 中无最小值
4. $A$ 中无最大值，$B$ 中无最小值

第一种情况不会出现，所以我们只讨论后面的三种。

Dedekind 分割就是 $\{(A, B)是 \mathbb Q 的一个分割，且 A 中无最大值\}$

每一个 Dedekind 分割唯一对应一个实数，无理数对应了第四种，有理数对应了第二种。

Dedekind 分割来定义无理数的运算

定义 $x = (A_1, B_1), y = (A_2, B_2)$ ，若 $A_1 \subset A_2$ 称 $x\le y$，若 $A_1 \subset A_2$ 且 $A_1 \not = A_2$ 称 $x < y$。

性质

1. 反称性：$x\le y$ 则 $y\ge x$
2. 传递性：$x\le y$ 且 $y \le Z$，则 $x \le Z$
3. 完备性：$x, y\in \mathbb R$，则 $x\le y$ 或 $y\le x$

四则运算定义

$x + y = (A_3, B_3)$，其中 $A_3 = \{r \in \mathbb Q\vert \exists r_1 \in A_1, \exists r_2 \in A_2, \text{s.t.} r = r_1 + r_2\}$， $B_3 =\mathbb Q/A_3$

负元 $-x = (A_3, B_3)$，其中 $A_3 = \{r \in \mathbb Q\vert \exists r_1 \in B_1, r = -r_1, r_1 不是最小元\}$， $B_3 = \mathbb Q/A_3$

则减法定义为 $x - y = x + (-y)$

乘法：

$xy = (A_3, B_3)$

1. $x\ge 0, y \ge 0, A_3 = \{r \in \mathbb Q\vert r < 0 或 \exists r_1 \in A_1, \exists r_2 \in A_2, \text{s.t.} r_1 \ge 0, r_2 \ge 0, r = r_1r_2\}, B = \mathbb Q / A_3$
2. $x\ge 0, y < 0,xy = -(x(-y))$
3. $x < 0, y < 0, xy = (-x)(-y)$

逆元 $A_3 = \{r \in Q\vert r\le 0 或 \exists r_1 \in B_1 , r_1 不是 B_1最小元,r=\frac{1}{r_1}\}, B = \mathbb Q / A_3$

实数域范围内：

1. 交换律
2. 结合律
3. 单位元
4. 逆元
5. 分配律

相容性条件

1. 加法保序性 $x\le y$ 则 $x + z \le y + z$
2. 乘法保序性 $x\le y, z \ge 0$, 则 $xz\le yz$

实数确界存在定理

定义 ：$X \subset \mathbb R,x\not = \emptyset$

1. 若 $C \in \mathbb R, \text{s.t.} \forall x \in X, x \le C$ 则称 $C$ 是 $X$ 的一个上界，下界同理
2. 若 $X$ 既有上界又有下界，那么称 $X$ 是有界集
3. 称 $a$ 是 $X$ 的一个上确界，若 $\forall C$ 是 $X$ 的上界，$C \ge a$，记 $a = \sup X$ 上确界，下确界是 $\inf X$

定理：确界存在定理：有上界或者下界的非空子集，必有唯一的上确界或者下确界。

证明：非空集 $X$ 有上界，定义集合 $A_1 = \{ r \in \mathbb Q \vert \exists(A, B) \in X, \text{s.t.}r\in A\}$ 则 $x_1 = (A_1, B_1) \in R$ 并且 $\forall (A, B) \in X$ 我们有 $A\subset A_1$ 故 $x_1 = (A_1, B_1)$ 是上界，现在设 $x_0 = (A_0, B_0)$ 是 $X$ 的任一上界，根据定义，可以知道 $A_1 \subset A_0, x_1 \le x_0$ 因此 $x_1$ 是 $X$ 的唯一上确界。

实数分割

定义

1. $A, B$ 为 $R$ 的子集
2. $A,B\not = \emptyset, A \cap B = \emptyset, A\cup B = \mathbb R$
3. $\forall x\in A, y \in B, x < y$

实数连续性定理： $\mathbb R$ 的一个分割，对应唯一一个实数 $\alpha$ 并且 $\alpha$ 是 $A$ 的最大值或者是 $B$ 的最小值。

由确界定理可知，$A$ 有上确界 $\alpha$

1. $\alpha \in A$
2. $\alpha \in B$ 且 $\alpha$ 是 $B$ 中最小元

连续性推出确界存在性

证明： $x\subset \mathbb R, x \not = \emptyset$ 有上界 $c$，$x$ 有上确界。

分为两种情况讨论

1. $c\in X$
2. $c\not \in X, D = \{\beta\vert \beta 是 X 的上界\}$，$C = \mathbb R / D,\exists \alpha = (C, D)$ 要么是 $C$ 的最大值，要么是 $D$ 的最小值，在分成两种情况讨论。
   1. $\alpha$ 是 $C$ 的最大元，$X \subset C$，这个和 $\alpha\not \in D$ 矛盾。
   2. $\alpha$ 是 $D$ 的最小元，则有 $\alpha$ 为上确界

例一

证明： $x= (0, 1), \sup X = 1$ 。

$\forall x \in X, x < \frac{1 + x}{2} < 1$ 于是 $1$ 是上确界 $\Box$

例二

证明：$\sqrt 2$ 的存在性

$X = \{x \vert x ^ 2 < 2\}$ ，证明 $\left(\sup X\right) ^ 2 = 1$ 即可，记其为 $\gamma$

分成两个步骤证明：

1. $\gamma ^ 2 \ge 2$ 利用反证法，若 $\gamma ^ 2 < 2$ ，构造 $w \in (0, 1), \left(w + \gamma\right) ^ 2 < 2$ 即可。$(\gamma + w) ^ 2 < \gamma ^ 2 + 3\gamma w$ ，令 $w = \frac{2 - \gamma ^ 2}{3 \gamma}$
2. $\gamma ^ 2 \le 2$，反证法，考虑构造 $u \in (0, \gamma), (\gamma - u) ^ 2 > 2$ 即可，令 $u = \frac{r ^2 - 2}{2r}$ 即可，$\Box$

推广：$\exists \gamma\in \mathbb R, \gamma ^ n = 2$

有限或者无限小数表示实数 $\alpha$，令 $\alpha = (A, B)$， 找到 $a_0, a_1, \ldots , a_n$ 使得 $a_0.a_1\ldots a_n\in A, a_0.a_1\ldots a_n +\frac{1}{10 ^ n}\in B$ 即可。一直这么找下去。

数列及其收敛性

$\mathbb N \rightarrow \mathbb R, n\mapsto a_n$

例：$\{1, \frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n}\}$

定义

设 $\{a_n\}$ 为实数列，称 $a\in \mathbb R$ 是 $\{a_n\}$ 的极限，$\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0$，使得 $n > N$ 时，$\vert a_n - a\vert < \varepsilon$，并且称 $\{a_n\}$ 是收敛数列， $a$ 为其极限，记为 $\lim \limits_{n\to \infty} a_n = a \Leftrightarrow a_n\rightarrow a$

例一

$(1)\lim\limits _{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0, (2),\lim \limits _{n \rightarrow\infty} \frac{n ^ 2}{2 n ^ 2+ 1} = \frac{1}{2} (3)\lim \limits _{n \rightarrow\infty} \frac{1}{q ^ n} = 0, (\vert q \vert > 1)$

1. $\forall \varepsilon > 0, \exists N = \left[\frac{1}{\varepsilon}\right]$, 在 $n > N$ 时，$\vert \frac{1}{n} - 0\vert < \varepsilon$，$\Box$
2. $\vert \frac{n ^ 2}{2n ^ 2 + 1} - \frac{1}{2}\vert = \frac{1}{4n ^ 2+2}<\frac{1}{n}, N = \left[\frac{1}{\varepsilon}\right]$，当 $n > N$ 时，$\vert \frac{n ^ 2}{2 n ^ 2 + 1} - \frac{1}{2}\vert < \frac{1}{n} < \varepsilon$，$\Box$
3. 不妨设 $q > 1, q = 1 + \alpha, \forall \varepsilon > 0$，想要找到一个 $N$ 使得 $\frac{1}{(1 + \alpha) ^ n}<\frac{1}{n \alpha} < \varepsilon$，于是 $N = \left[\frac{1}{\varepsilon\alpha}\right]$，在 $n > N$ 时，有 $\frac{1}{q ^ n} = \frac{1}{(1 + \alpha) ^ n}< \frac{1}{n\alpha}<\varepsilon$，$\Box$

例二

$\lim\limits _{n\rightarrow \infty} \sqrt[n] {n} = 1$

证明：$\forall \varepsilon > 0$，想找到一个 $N$ 使得 ${n} < \left(1 + \varepsilon \right) ^ n$，则 $\frac{n(n - 1)}{2}\varepsilon^2 > n$ 故而，$\varepsilon ^ 2 > \frac{2}{n - 1}$ 则 $N = \left[\frac{2}{\varepsilon ^ 2} + 1\right]$ 在 $n > N$ 时，$\sqrt [n] {n}<1 + \varepsilon$，$\Box$

例三

$\{(-1) ^ n\}$ 发散，这个是简单的，假设存在极限 $a\ge 0$，则 $|a_{2n +1} - a|=1 + a > \varepsilon$

收敛数列的性质

收敛的有界性和唯一性

定义：$\{a_n\},\exists M > 0,\text{s.t.} \vert a_n \vert < M, \forall n \in \mathbb N$，则称 $\{a_n\}$ 是有界数列。

定理，收敛的数列有界，收敛数列的极限唯一。

证明：

$\{a_n\}$ 收敛，$\varepsilon = 1,\exists N, \text{s.t.} n > N,\vert a _n \vert < |a| + 1$，此时 $M = \max\{a_1, \ldots, a_N,\vert a\vert + 1\}$

若 $\{a_n\}$ 收敛于 $a, b$，不妨设 $a < b$，取 $\varepsilon = \frac{b - a}{2}$，$\vert a - b\vert \le \vert a - a_n\vert + \vert a_n - b\vert < \varepsilon + \varepsilon < b - a$，矛盾，$\Box$

子列

$\{b_n\}$ 是 $\{a_n\}$ 的子列，若严格单调递增数列 $\{k_n\}$ 使得 $b_n = a_{k_n}$

定理：收敛数列的子列一定收敛。

数列的四则运算，设 $\{a_n\},\{b_n\}$ 均收敛， 那么 $\{\frac{a_n}{b_n}\} = \frac{a}{b}$，即数列四则运算之后的结果就极限四则运算的结果。

这些证明都是平凡的。

例一

证明 $a_n\rightarrow a$ 则 $\lim \limits _{n\rightarrow \infty} \frac{a_1 +\ldots+a_n}{n} = a$

首先只要令 $b_n = a_n - a$ 那么只要证明 $\frac{b_1 + \ldots + b_n}{n} = 0$ 即可，$\forall \varepsilon,\exists N_1,n>N_1,\vert b_n \vert < \varepsilon,\exists N _2 \text{s.t.} \frac{b_1 + \ldots b_{n_1}}{ N_2} < \varepsilon$，在 $n > \max\{N_1, N_2\}$ 时候 $\vert\frac{b_1 + \ldots + b_n}{n} - 0\vert <\vert \frac{b_1 + \ldots + b_{N_1}}{n}\vert + \vert \frac{b_{N_1 + 1} + \ldots + b_n}{n}\vert < 2\varepsilon$ ，$\Box$

夹挤定理

设 $\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}$

1. $\exists N, \text{s.t.} n > N, a_n\le b_n \le c_n$
2. $\lim\limits _{n \rightarrow \infty} = \alpha, \lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_n = \alpha$，则 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_n = \alpha$

证明：$\forall \varepsilon > 0,\exists n > N, a - \varepsilon < a_n,b_n < b + \varepsilon ,a - \varepsilon < c_n < a + \varepsilon,\Box$

例一

设 $a > 0$，$\exists n \in \mathbb{R},\text{s.t.} n\ge a,\lim\limits _{n\rightarrow\infty} a ^ {\frac{1}{n}} = 1$ 提示 $\lim \limits_{n\rightarrow\infty} n ^ {\frac{1}{n}} = 1$

1. $a\ge 1, \exists n\in \mathbb{ N},\text{s.t.}n\ge a, 1\le a ^ {\frac{1}{n}} \le n ^ {\frac{1}{n}}$，有夹挤定理，此时收敛于 $1$
2. $a < 1, \frac{1}{a} > 1,\exists n,\text{s.t.}n >\frac{1}{a},\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a ^ {\frac{1}{n}} = \frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{a} ^ {\frac{1}{n}}}= 1$

例二

$a _n > 0,\forall n \in \mathbb {R},\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = a$ 则 $\lim\limits_{n \rightarrow\infty} \left(\prod\limits_{k = 1} ^ n a_k \right) ^ {\frac{1}{n}} = a$

证明1：

1. $a = 0$ 时，$0 \le\lim \left(\prod\limits_{k = 1} ^ n a_k \right) ^ {\frac{1}{n}}\le \frac{\sum\limits_{k = 1} ^ n a_k}{n}$，由夹挤定理 $\lim\limits_{n \rightarrow\infty} \left(\prod\limits_{k = 1} ^ n a_k \right) ^ {\frac{1}{n}} = 0$
2. $\frac{n}{\sum\limits_{i =1} ^ n \frac{1}{a _i}}\le\lim\limits_{n \rightarrow\infty} \left(\prod\limits_{k = 1} ^ n a_k \right) ^ {\frac{1}{n}} \le \frac{\sum\limits_{k = 1} ^ n a_k}{n}$ 由夹挤定理可得

证明2：

$a > 0$，由极限定义 $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \text{s.t.} n > N, 0 \le a - \frac{\varepsilon}{2} < a_n < a + \frac{\varepsilon}{2}$

$$\begin{aligned} \lim\limits_{n \rightarrow\infty} \left(\prod\limits_{k = 1} ^ n a_k \right) ^ {\frac{1}{n}}&\le& \left(\prod\limits_{k = 1} ^ N a_k\right) ^ {\frac{1}{n}}\left(a + \frac{\varepsilon}{2}\right)^{\frac{n - N}{n}} \\ &=&\left(\frac{\prod\limits_{k = 1} ^ N a_k}{\left(a + \frac{\varepsilon}{2}\right) ^ N}\right) ^ {\frac{1}{n}}\left(a + \frac{\varepsilon}{2}\right) \end{aligned}$$

由于 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a ^ {\frac{1}{n}} = 1$

$\lim \limits _{n\rightarrow\infty}\left(\frac{\prod\limits_{k = 1} ^ N a_k}{\left(a + \frac{\varepsilon}{2}\right) ^ N}\right) ^ {\frac{1}{n}}\left(a + \frac{\varepsilon}{2}\right) = a + \frac{\varepsilon}{2}$

$\exists N_1 \in \mathbb{N},\text{s.t.} n > N_1, \left(\frac{\prod\limits_{k = 1} ^ N a_k}{\left(a + \frac{\varepsilon}{2}\right) ^ N}\right) ^ {\frac{1}{n}}\left(a + \frac{\varepsilon}{2}\right) < a + \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}$

$\exists N_2 = \max(N, N_1),n > N_2,\lim\limits_{n \rightarrow\infty} \left(\prod\limits_{k = 1} ^ n a_k \right) ^ {\frac{1}{n}} < a + \varepsilon$

减号部分是同理的。

$a = 0$，上面不需要证明 $a - \frac{\varepsilon}{2}$ 部分即可

$\Box$

例三

$a_n = \frac{\sum\limits_{k = 1} ^ n k!}{n!}$ 则 $\lim \limits _{n\rightarrow \infty} a_n = 1$

证明：

$1\le a_n \le 1+\frac{(n-2) (n-2)! + (n-1)!}{n!}<1 + \frac{2}{n}$

由夹挤定理可证明极限为 $1$

$\Box$

例四

求解 $\lim \limits_{n\rightarrow \infty} \left( \sqrt[2]{n ^ 2 + n} - n\right) ^ {\frac{1}{n}}$

因为 $\frac{1}{3}< \left( \sqrt[2]{n ^ 2 + n} - n\right) ^ {\frac{1}{n}} < \frac{1}{2}$

保序性

• $\{a_n\}\rightarrow a, b > a, \exists N, n > N, \text{s.t.} a_n < b$
• $\{a_n\}\rightarrow a,\{b_n\}\rightarrow b, b > a, \exists N, n > N, \text{s.t.} a_n < b_n$
• ${a_n} \rightarrow a, b_n \rightarrow b, \exists N, \text{s.t.} n > N, a_n < b_n$ 则 $a\le b$

数列极限的推广

设 $\{a_n\}，\forall A > 0, \exists N, \text{s.t.} n > N, a_n > A$ 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n = +\infty$

若 $\vert\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\vert = +\infty$ 记为 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n = \infty$

若 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n = \infty$, $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n = b(b > 0)$, 则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_nb_n = \infty$

单调数列

定义： $\{a_n\}$，满足 $a_n \le a_{n + 1}, \forall n \in \mathbb N$，则称其为单调递增数列，没有等于号就是严格单调递增数列）

定理：(weierstrass 单调收敛定理)：有界单调数列一定收敛

证明：$X = \{a_1, a_2, \ldots,a_n\}$ 由确界存在定理 $X$ 有上确界 $\alpha$，$\forall \varepsilon > 0, \exists N, \text{s.t.s},\alpha - \varepsilon < a_N$, 则 $n > N$ 时，$\alpha - \varepsilon < a_N \le a_n \le \alpha \le \alpha + \varepsilon$

$\Box$

该定理和确界定理等价。

例一

$a_n = \frac{\sum\limits_{k = 1} ^ n k!}{n!},\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = 1$

例二

$a_n = \sum\limits_{k = 1} ^ n \frac{1}{k}$，考察 $\{a_n\}$ 的收敛性

证明：考虑这么如下情况 $\sum\limits_{k = 2 ^ {n - 1} + 1} ^ {2 ^ n}\frac{1}{k} > 2 ^ {n - 1} \times \frac{1}{2 ^ n} = \frac{1}{2}$，而 $a_{2 ^ n} = \sum_{i = 1} ^ n\sum_{k = 2 ^ {i - 1} + 1 }^{2 ^ i} \frac{1}{k} >\frac{n}{2}$
于是，$\{a_n\}$ 不收敛

$\Box$

例三

考察数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = b, a_{n + 1} = (a _n - a) ^ 2 + a_n$

试问满足什么条件能让 $a$ 收敛

$a_{n + 1} - a_n = (a_n - a) ^ 2 \ge 0$，所以 $a_n$ 单调增，设极限存在为 $\alpha$

对于 $a_{n + 1} = (a_n - a) ^ 2 + a_n$ 两边取极限，$\alpha = (\alpha - a) ^ 2 + \alpha\Rightarrow \alpha = a$

1. $a\ge b, a_2 = (a_1 - a) ^ 2 + b \le a\Rightarrow (a - b) ^ 2 \le a - b\Rightarrow a - 1 \le b$
   假设 $a_n \le a \leftrightarrow a - 1 \le a_{n - 1}$

定理

设闭区间 $[a_n, b_n], n = 1, 2 ,\ldots$ 满足：

1. $[a_1, b_1]\supset [a_2, b_2]\supset\ldots\supset[a_n, b_n]\supset$
2. $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n - a_n) = 0$

则 $\exists ! \gamma \in \mathbb R, \text{s.t.},\gamma \in \bigcap\limits_{n = 1} ^ {\infty} [a_n, b_n]$

证明:

$a_1\le a_2\le \ldots \le a_n \le \ldots < b_1$

$\{a_n\}$ 单调增有上界，同理 ${b_n}$ 单调减有下界，故都收敛，设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n = \gamma$。

要证明 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} b_n = \gamma$

$\forall \varepsilon > 0$，由 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n = \gamma$，$\exists N_1, \text{s.t.} n > N_1, \vert a_n - \gamma\vert < \varepsilon$

由于 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n - a_n) = 0$ 则 $\exists N_2, \text{s.t.} n > N_2, \vert a_n - b_n\vert < \varepsilon$

则 $N = \max(N_1, N_2),\text{s.t.} n > N, \vert a_n - \gamma\vert < 2\varepsilon$

注：$(0, \frac{1}{n}), n\ge 1, \bigcap\limits_{n = 1} ^ \infty \left(0, \frac{1}{n}\right) = \emptyset$

自然对数底数 e

定义

$e_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right) ^ n\\S_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3}!+\ldots$

$e_n = 1 \cdot (1 + \frac{1}{n}) ^ n \le \left(\frac{n + 2}{n + 1}\right)^{n +1} = e_{n + 1}$

故 $\{e_n\}$ 单调递增

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} e_n \le \left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+n(\frac{1}{n}+1)}{n+2}\right) ^ {n + 2}=1$

所以 $e_n \le 4$，故 $e_n$ 有上界

$\text{i.e.} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$

$S_n < S_{n + 1} < 1 + 1 + (1 - \frac{1}{2})+\ldots+(\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n}) = 3-\frac{1}{n}<3$

$\{S_n\}$ 收敛，下面证明 $S = e$

$$\begin{aligned} e_n &= \left(1 + \frac{1}{n}\right) ^ {n} \\ &=\sum\limits_{k = 0} ^ n\binom{n}{k} \frac{1}{n ^ k}\\ &= \sum\limits_{k = 0} ^ n\frac{1}{k!} \frac{n!}{(n - k)!n ^ {k}} < S_n \end{aligned}$$

由极限保序性 $e \le S$，下面证明 $S \le e$

由上式 $n > l$ 时候，对于固定的 $l$

$$e_n > \sum\limits_{k = 0} ^ l\frac{1}{k!} \frac{n!}{(n - k)!n ^ {k}}$$

令 $n\rightarrow + \infty,e\ge \sum\limits_{k = 0} ^ l\frac{1}{k!}$，于是 $\text{i.e.} e \ge S_l$ 令 $l \rightarrow \infty$ 故有 $e\ge S$

$\Box$

我们令 $e = \sum_{k = 0} ^ n \frac{1}{k!} +\frac{\alpha_n}{nn!}$，我们可以估计出 $\alpha_n$ 的范围，显然有 $\alpha_n > \frac{n}{n + 1}$，我们再证明：

$$\begin{aligned} 0&<s_{n + m} - s_n\\ &=\sum_{k = n + 1} ^ {n + m} \frac{1}{k!}\\ &=\frac{1}{(n + 1)!}\left[1+ \frac{1}{n + 2} + \ldots+\frac{1}{(n + 2)\ldots(n + m)}\right] \\ &<\frac{1}{(n + 1)!}[1 + \frac{1}{n + 1} + \left(\frac{1}{n + 1}\right) ^ 2+\ldots+\left(\frac{1}{n + 1}\right)^{m-1}]\\ &<\frac{1}{(n + 1)!} \cdot\frac{1}{1-\frac{1}{n + 1}} = \frac{1}{n!n} \end{aligned}$$

再令 $m\rightarrow \infty$，我们可以得到 $0<e - s_n < \frac{1}{n!n}$

而与 $\frac{1}{q + 1} < \frac{\alpha_q}{q} < \frac{1}{q}$ 矛盾。

例一

$\lim\limits _{n\rightarrow\infty} \frac{n}{(n!) ^ \frac{1}{n}} = e$

解：设 $a_n = \frac{n ^ n}{n!}$，$\frac{a_{n + 1}}{a_n} = (\frac{n + 1}{n}) ^ {\frac{1}{n}}$

所以 $\lim \limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_n} = e$，则由夹挤定理的例二，有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_n ^ {\frac{1}{n}} =e$

例二

求解

$$\begin{aligned} &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right) ^ n \\ &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(\frac{1}{\frac{n}{n - 1}}\right) ^ n \\ &=\frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n - 1}\right) ^ {n -1}\left(1 +\frac{1}{n - 1}\right)} \\ &=e ^ {-1} \end{aligned}$$

例三

求解

$$\begin{aligned} \left(1 + \frac{k}{n}\right) ^ n \le \left(1+\frac{k}{n + 1}\right) ^ {n + 1} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \left(1 + \frac{k}{n}\right) ^ n \le \left(1 + \frac{1}{n}\right) ^ {kn} < e ^ k \end{aligned}$$

有子列 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right) ^{nk} = e ^ k$

因为其本身有界收敛，则 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right) ^ n = e ^ k$

Cauthy 列与 Cauthy 收敛定理

Cauthy 列定义：设 $\{a_n\}$ 是数列，$\forall \varepsilon > 0, \exists N$，当 $n, m > N$ 时，$\vert a_m - a_n \vert < \varepsilon$

定理： $\{a_n\}$ 是收敛 $\Leftrightarrow$ $\{a_n\}$ 是Cauthy 列

例一

$\{\frac{1}{n}\}$ 是 Cauthy 列

例二

$a_n = \sum\limits_{k = 1} ^ n \frac{1}{k}$，他不是 Cauthy 列

有限覆盖定理

定义：$X \subset \mathbb R, \{I_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ 为开集簇

若 $X$ 满足 $X \subset \bigcup\limits_{\lambda\in \Lambda}I_{\lambda}$ 称 $\{I_{\lambda}\}_{\lambda \in \Lambda}$ 为 $X$ 的开覆盖

若 $\exists \lambda_1 , \ldots, \lambda_n,\text{s.t.} X \subset \bigcup\limits _{R = 1} ^n I_{\lambda _R}$

定理：任何闭区间的开覆盖都有有限子覆盖

假设不存在区间 $I_1 = [a, b]$ 不存在区间子覆盖。

那么，对于 $\left[a, \frac{a + b}{2}\right]$ 或者是区间 $\left[\frac{a + b}{2}, b\right]$ 肯定有一个区间不能被有限覆盖，设其为 $I_2$，那么一定有一串区间

$$I_1 \supset I_2\supset \ldots \supset I_n$$

其中 $\vert I_n \vert = \frac{1}{2 ^ n}(b - a)$

那么通过闭区间套定理，得到 $\exists\gamma \in \bigcap\limits_{i = 1} ^ {\infty} I_n$，$\gamma \in [a, b] \subset S,\exists I _{\lambda_0} = (\alpha, \beta),\text{s.t.} \gamma \in (\alpha, \beta)$

记 $\delta = \min\{\gamma - \alpha, \beta - \gamma\}$，$\exists m, \gamma \in I_m,\vert I_m \vert = \frac{1}{2 ^ m}(b - a) < \frac{1}{2}\gamma$，故存在一个区间包含 $I_m$，矛盾，故有限覆盖定理得证。

Cauthy收敛定理

数列 $\{a_n\}$ 收敛 $\Leftrightarrow$ 数列 $\{a_n\}$ 为 Cauthy 列

紧致集的定义：任何开覆盖都有有限子覆盖的集合称为紧致集

极限点的定义：称 $\alpha \in \mathbb R$ 是 $X\subset \mathbb R$ 的一个极限点，如果 $\forall \delta > 0$，在 $B_\delta\left(\alpha\right) = (\alpha - \delta, \alpha + \delta)$ 中有 $X$ 的无穷多项。在 $B_\delta (\check{\alpha}) = B_\delta(\alpha)/\{\alpha\}$ 为去心邻域。

BW(Bolzano-Weierstrass)定理

定义：任何有界数列都有收敛子列

设 $\{a_n\}$ 是有界数列，$X = \{a_1, \ldots, a_n,\ldots\}$，由于 $\{a_n\}$ 有界，则 $\exists [a, b],\text{s.t.},X\subset [a,b]$

claim: $[a, b]$ 存在 $X$ 的极限点

反证法：$\forall x \in [a, b], \exists \delta(x), \text{s.t.} B_{\delta(x)}$ 只包含 $X$，$\bigcup_{x\in[a,b]} B_{\delta(x)}$ 为 $(a, b)$ 开覆盖，由有限覆盖定理可知，$\exists [a, b]$ 的有限子覆盖 $B_{\delta(x_1)},B_{\delta(x_2)},\ldots, B_{\delta(x_n)}$，由于其含有有限多个 $X$ 中的点，但是 $X$ 包含无穷多个点，矛盾。

设 $x\in [a, b]$ 为 $X$ 的极限点，$\forall n, \exists a_{k_n}\in X,\text{s.t.}, a_{k_n} \in B_{\frac{1}{n}}(\check{x})$，且 $k_n$ 单调递增，知道 $a_{k_n}$ 收敛

Cauthy 收敛定理的证明

$\Rightarrow$ 若 $\{a_n\}$ 收敛，则 $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \text{s.t.} n > N, \vert a - a_n\vert<\varepsilon$，则 $n, m>N, \vert a_n - a_m\vert < 2 \varepsilon$ 证明完毕。

$\Leftarrow$，设 Cauthy列 $\{a_n\}$，$\forall \varepsilon > 0, \exists N, \text{s.t.} \vert a_n - a_m\vert < \frac{\varepsilon}{2}$

显然 Cauthy 列是有界数列，根据 $B-W$ 定理必然存在收敛子列，$\vert a_{k_n} - a\vert < \frac{\varepsilon}{2},k_n > N,\vert a_n - a\vert < \vert a_n - a_{k_n}\vert + \vert a_{k_n} - a\vert < \varepsilon$

则收敛，$\Box$

无穷级数

设 $\{a_n\}$ 为数列，称 $\sum\limits _{ n = 1} ^{\infty} a_n$ 为无穷级数，并且称 $S_n = \sum\limits_{k = 1} ^ na_k$ 为无穷级数的部分和，如果 $\{S_n\}$ 收敛至 $S$，则称无穷级数收敛，记作 $S = \sum\limits_{n = 1} ^ \infty a_n$。

若无穷级数收敛，$\forall \varepsilon >0, \exists N, \text{s.t.}n> N, \vert \sum\limits_{k = n} ^ m a_k \vert<\varepsilon,\forall m \ge n$，这是柯西收敛准则。

若存在正项级数 $\sum\limits_{n = 1} ^ \infty M_n$ 满足 $\vert a_n \vert\le M_n$，若 $M$ 收敛，那么 $a$ 收敛

例一

$\sum\limits_{n = 1} ^ \infty\frac{1}{n}$ 发散

例二

$\sum\limits_{n = 1} ^ \infty \frac{1}{n ^2}$ 收敛

$\frac{1}{n ^ 2}<\frac{1}{n(n - 1)}$，则原数列单调，并且有界，则收敛。

数列的上极限和下极限

例一

$\{a_n\},a_n = (-1) ^ n + \frac{(-1) ^ n}{n}$

$a_{2n}\rightarrow 1, a_{2n - 1} \rightarrow -1$

例二

$\{\sin \frac{n\pi}{4}\},n\in \mathbb N$

例三

$\{1, 2, 1, 3, 1, 4, 1, 5,\ldots\}$

$a_{2n - 1} = 1, a_{2n} = n + 1$

子列也有极限

定义，给定 $\{a_n\},\mathbb R_{\infty} = \mathbb R \cup \{\pm \infty\}$

$E = \{x \in \mathbb R_{\infty}\vert 数列\{a_n\} 中存在子列 ,\text{s.t.}\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_{k_n} = x\}$

$E$ 中元素是 $\{a_n\}$ 的部分极限

称 $a_{*} = \inf E, a^{*} = \sup E$

分别是 $\{a_n\}$ 的上极限或者下极限

记

$a_* = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf a_n$

$a^* = \lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sup a_n$

定理 ： $a_* \in E, a^*\in E$

只需要证明 $a_* \in E$

1. $a_* = -\infty$ 此时 $E$ 没有下界，若存在 $M$ $\text{s.t.} E \in [M, +\infty]$，从而 $E \ge M$ 此时于无下界矛盾，则 $E$ 无下界，$\forall A,\exists a_{kn},\text{s.t.} a_{k_n} < -A$，则 $\lim _{a_{k_n}} = -\infty$
2. $a_* \in \mathbb R,\forall n, \exists x_n \in E, x_n \in [a_*, a_* + \frac{1}{n}), \exists\{a_n\}$ 的子列 $\text{s.t.}a_{k_n}, a_{k_{n}}$，从而 $\lim \limits_{n\rightarrow\infty}a_{k_n} = a_*$
3. $a_* = +\infty$ 则 $\lim \limits_{n\rightarrow\infty}a_n = +\infty$，事实上，如果 $\exists M > 0, \exists$ 子列 $\{a_{k_n}\} \le M$ 故 ${a_{k_n}}$ 存在子列 $\{a_{k_{n_j}}\}$ 收敛到 $\gamma \in (\infty, M]$，与 $a_{*} = +\infty$

$\Box$

注： 若 $a_* \in \mathbb R$

1. $\forall \varepsilon > 0, \exists N, \text{s.t.} n > N, a_* - \varepsilon \le a_n$
2. $\forall \varepsilon > 0, \exists \{a_{k_n}\}, N, k_n > N, \text{s.t.} a_{k_n}\le a_* + \varepsilon$

在 $a^*$ 是同理的

记 $\sup _n = \sup\{a_k\vert k \ge n\}$ $\inf$ 同理

定理 $\lim \limits_{n\rightarrow \infty}{\inf a_n} = a_*$

1. $a_* = \infty$，由于存在子列 $\{a_{k_n}\}$ 趋于 $-\infty$，由于 $\inf a_{n}\le \inf a_{k_n}$，则 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} a_{k_n} = -\infty$ 则 $\lim\limits_{n\Rightarrow \infty} a_n = -\infty$
2. $a_* \in \mathbb R, \forall \varepsilon > 0,\exists N , \text{s.t.} a_n \ge a_{*} - \varepsilon,\forall n, \exists \{a_{k_n}\}, k_n > n, a_{k_n} \le a_{*} + \varepsilon$，$\inf a_n\in (a _* - \varepsilon, a_* + \varepsilon)$，从而 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \inf a_n = a_*$
3. $a_* = +\infty$ 则 $\lim \limits_{n\rightarrow\infty}a_n = +\infty$,$\forall M > 0, \exists N, \text{s.t.} n > N, a_n > M,\inf a_n \ge M\Rightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a_n = +\infty = a_*$

定理：

1. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf a_n \le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup a_n$
2. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n =a\Rightarrow\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup a_n = a$
3. $\exists N, \text{s.t.} n > N, a_n \le b_n, \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a_n \le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf b_n, \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup a_n \le \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup b_n$
4. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a_n + \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf b_n \le \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf(a_n + b_n) \le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a_n + \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup b_n$
5. $a_n, b_n \ge 0, \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a_n \cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf b_n \le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf(a_n b_n) \le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a_n \cdot \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup b_n$

命题：

1. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf(-a_n) = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup a_n$
2. 若 $a_n > 0, n\in \mathbb N, \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf\frac{1}{a_n} = \frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup a_n}$
3. 若 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = a,\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf(a_n + b_n) = a + \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf b_n$，$\sup$ 同理，证明是简单的

例子：

例一

$\{x_n\},\{y_n\}$ 满足

1. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} y_n = y$
2. $y_n = x_n + 2x _{n + 1}$

证明 $x_n$ 收敛，并且求 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n$

等式两边同时取上极限，

$y - \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf x_n = 2\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup x_n$

$y - \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup x_n = 2\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf x_n$

如果 $x_n$ 有界，$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf x_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup x_n = \frac{1}{3}y$，下面证明 $x_n$ 有界， $\exists M > 0, \text{s.t.}\vert x_1\vert\le M, \vert y_n\vert\le M$，$\vert x_{n+ 1}\vert\le = \frac{1}{2}\vert y_n - x_{n}\vert \le M$ 则数学归纳法，于是 $\{x_n\}$ 有界

例二

设 $\{a_n\}$ 是基本列，则收敛

证明：

$\forall \varepsilon > 0, \exists N > 0, \text{s.t.}n, m > N, \vert a_n - a_m\vert < \varepsilon$ 取 $m = N + 1$ 有 $a_{N + 1} - \varepsilon < a_n < a_{N + 1} + \varepsilon$，$a_{N + 1} - \varepsilon < \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a_n \le \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sup a_n \le a_{N + 1} + \varepsilon$

从而 $0\le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup a_n - \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\inf a_n \le 2 \varepsilon$ 由于 $\varepsilon$ 的任意性，有 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a_n = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup a_n$

则 $\{a_n\}$ 收敛

$\Box$

例三

设 $b_1 = 1$，$\{b_n\}$ 满足 $b_{n + 1} = 1 + \frac{1}{b_n},n\ge 1$

证明：

显然 $b_n\in [1, 2]$ 设 $\alpha = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf b_n, \beta = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup b_n$

那么有 $\alpha = 1 + \frac{1}{\beta},\beta = 1 + \frac{1}{\alpha}$，那么 $\alpha = \beta = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

例四

1. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = a$
2. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(b_n ^ 2 - a_nb _n - 6 a_n ^ 2\right) = 0$

让你证明 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup b_n \le 3 a_n$

证明：

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \left(b_n - \frac{1}{2}a_n\right) ^ 2 = \frac{25}{4} a ^ 2$，从而 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup \left(b_n - \frac{1}{2} a_n\right) \le \frac{5}{2} a_n$

然后证明完了

例五

$\{a_n\},a_n > 0$

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf \frac{a_{n + 1}}{a_n} \le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a _n ^ {\frac{1}{n}} \le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup a_n ^ {\frac{1}{n}}\le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup \frac{a_{n + 1}}{a_n}$

证明：

设 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup \frac{a_{n + 1}}{a_n} \in \mathbb R,\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \alpha$，则 $\forall \varepsilon 0, \exists N \in \mathbb N,\text{s.t.} n \ge N, \frac{a_{n + 1}}{a_n} > \alpha - \varepsilon$，则 $a_n \ge a_{n - 1} (\alpha - \varepsilon) \ge \ldots \ge a_{N} (\alpha - \varepsilon)^{n - N}$

$\text{i.e.} a_n ^ {\frac{1}{n}} >\left[\frac{a_N}{(\alpha - \varepsilon) ^ N}\right] ^ {\frac{1}{n}}(\alpha - \varepsilon)$，则 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a_{n} ^ {\frac{1}{n}}\ge (\alpha - \varepsilon) \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{a_N}{\alpha - \varepsilon}\right) ^ {\frac{1}{n}} = \alpha - \varepsilon$ 由 $\varepsilon$ 的任意性，可以知道 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf a_{n} ^ {\frac{1}{n}} \ge \alpha$，上极限是类似的。 $\Box$

Stolz-Cesaro 定理

定理：$\{a_n\},\{b_n\}$ 满足
1

1. ${b_n}$ 严格单调递增
2. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} b_n = + \infty$
3. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n - a_{n - 1}}{b_n - b_{n - 1}} = A$

则 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n}= A$
注：此处 $A$ 可以为 $\pm \infty$

证明：

分三种情况讨论
1：$A\in \mathbb R,\forall \varepsilon > 0 , \exists N, \text{s.t.} n > N, A - \varepsilon < \frac{a_n - a_{n - 1}}{b_n - b_{n - 1}} < A + \varepsilon$

从而有取 $k = N + 1, \ldots, n$

$(b_k - b_{k - 1})(A - \varepsilon) < a_{k} - a_{k - 1} < (A + \varepsilon)(b_k - b_{k - 1})$

累加

从而有 $\left(1 - \frac{b_N}{b_n}\right)(A - \varepsilon) < \frac{a_n}{b_n} - \frac{a_N}{b_n} < \left(1 - \frac{b_N}{b_n}\right)(A + \varepsilon)$ 当 $n\rightarrow \infty$，有 $A - \varepsilon\le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \inf\frac{a_n}{b_n}\le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sup \frac{a_n}{b_n }\le A + \varepsilon$ 由于 $\varepsilon$ 的任意性，$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = A$

2：$A = +\infty, \exists N, \text{s.t.} n > N, a_n - a_{n - 1} > b_n - b_{n - 1} > 0\Rightarrow a_n > a_{n - 1}$ 且 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = +\infty$

且 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{b_n - b_{n - 1}}{a_n - a_{n - 1}} = 0$ 从而有 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{b_n}{a_n} = 0$，所以 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = +\infty = A$

3：极限为负无穷的时候，由前两种可知。

逆命题不一定成立！！！

定理：

$\{a_n\}, \{b_n\}$ 满足

1. $\{b_n\}$ 严格单调
2. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = 0, \lim\limits_{n\rightarrow \infty}b_n = 0$
3. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n - a_n - 1}{b_n - b_n - 1} = A$

则 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = A$

证明：

$A = \pm\infty$ 留做练习

$A\in \mathbb R$ 时， 当 $n, m>N$ 时候，$\vert\frac{a_n - a_m}{b_n - b_m}\vert<\varepsilon$，令 $m\rightarrow \infty$ 则 $\vert \frac{a_n}{b_n} - A\vert < \varepsilon$ $\Box$

例一

给定数列 $\{a_n\}, \lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = 0$，则 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a_1 + \ldots+a_n}{n} = a$

一下证明完了。

引理：

设 $s_1,\ldots,s_n, t_1, \ldots,t_n$，令 $S_k = \sum_{i = 1} ^ k s_i$ 则有 $\sum\limits_{k = 1} ^ n s_k t_k =S_n t_n - \sum\limits_{k = 1} ^ {n - 1}{S_k (t_{k + 1} - t_k)}$

证明是显然的。

例二

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n} = \alpha$,，证明 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\ln n}\sum_{k = 1} ^ n \frac{a_k}{k} = \alpha$

令 $S_k = a_1 + \ldots +a_k, S_0 = 0$

$\begin{aligned}\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\ln n}\sum_{k = 1} ^ n \frac{a_k}{k} &\overset{\text{Abel}}{=}\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\ln n}\left(\frac{S_n}{n}-\sum\limits_{k = 1} ^ {n - 1} S_k \left(\frac{1}{k + 1} - \frac{1}{k}\right)\right)\\&\overset{}{=} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\ln n}\left(\frac{S_n}{n} +\sum\limits_{k = 1} ^ {n - 1}\frac{S_k/k}{k + 1}\right)\\ &=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\ln n}\sum\limits_{k = 1} ^ {n - 1} \frac{S_k/k}{k + 1}\\&\overset{S-C}{=} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{\frac{S_{n - 1}}{n(n - 1)}}{\ln n - \ln(n - 1)} \\&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{S_{n - 1}}{n - 1}\frac{1}{n(\ln n - \ln (n - 1))}\\&=\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{\ln \left(\frac{n}{n - 1}\right) ^ n} \\&\overset{承认}{=} \frac{1}{\ln\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left(1 + \frac{1}{n - 1}\right) ^ {n}}\\ &= \frac{1}{\ln e}\\ &= 1\end{aligned}$

实数完备性六大定理：

1. 确界存在原理
2. Weierstrass 单调收敛定理
3. Cauthy-Canter 闭区间套定理
4. Heine-Borel 有限覆盖定理
5. Bolzano-Weierstrass 列紧性定理
6. Cauthy 收敛定理

函数的连续性

集合的映射

集合：$X$，$x$ 属于 $X$，记作 $x\in X$

映射：存在集合 $X, Y$，存在某种法则 $f$，$\text{s.t.}\forall X, \exists! y \in Y$ 与之对应，称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的映射，记 $y = f(x)$，记 $f:X\rightarrow Y, x\mapsto y$，称 $X$ 为映射的定义域，$y$ 为目标域，记 $f(x) = \{ f(x)\vert \forall x \in X \}\subset Y$，称 $f(x)$ 是映射的值域。

例一

$f:\mathbb N \rightarrow \mathbb Z, n\mapsto f(n) = 2n - 5$

例二

记 $\mathbb R ^ 2 = \mathbb R \times \mathbb R,(x, t) \mapsto f(x, t) = (x - t\gamma, t)$ 称为从一个惯性系 $(x, t)$ 到另外一个惯性系 $(x',t')$ 的伽利略变换

定义：给定集合 $X, Y$，映射 $f:X\rightarrow Y$

1. 称 $f$ 为单射，若 $\forall x_1, x_2 \in X, x_1 \not = x_2, f(x_1)\not = f(x_2)$
2. 称 $f$ 为满射，若 $\forall y \in Y, \exists x, \text{s.t.} f(x) = y$
3. 若 $f$ 既是单射又是满射，则是双射。

若 $f:X\rightarrow Y$ 是单射，可以定义 $g:f(x)\subset Y \rightarrow X$，满足 $f(g(y)) = y, \forall y \in f(x)$，称 $g$ 为 $f$ 逆映射，记为 $f^{-1}$

复合映射

存在 $f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z$ 定义 $h,\text{s.t.} \forall x\in X, h(x) = g(f(x))$，称 $h$ 为 $f$ 和 $g$ 的复合映射，记为 $g\circ f$

例：$f:\mathbb R ^ 2 \rightarrow \mathbb R ^ 2, v\in \mathbb R\\(x, t)\mapsto(x',t') = (x - vt, t),g:\mathbb R ^ 2 \rightarrow R \\(x, t) \mapsto \sqrt{x ^ 2 + t ^ 2}$

$(g\circ f)(x, t) = \sqrt{(x - vt)} ^ 2 + t ^ 2$

定义：若 $f:X \rightarrow Y$ 是双射，则 $f^{-1}$，满足 $(f^{-1}\circ f)(x) = \text{id}_X,(f \circ f ^ {-1})= \text{id}_{Y}$

称 $f \circ f ^ {-1}$ 是 $X$ 上的恒同映射，称为 $\text{id}_X$，对于 $f:X\rightarrow Y, D\subset Y$，记 $f ^ {-1} (D) = \{x\in X\vert f(x)\in D\}$

集合的势

给定一个集合 $X, Y$，若存在双射 $f:X\rightarrow Y$，那么称 $X$ 和 $Y$ 是等势的，记作 $X \sim Y$，等势是一种等价关系。

1. 反身性：$X\sim X$
2. 对称性，若 $X\sim Y$，那么 $Y\sim X$
3. 传递性 $X\sim Y, Y \sim Z$，那么 $X \sim Z$

格局上述的等价关系，每个集合在一个等价类里面，集合 $X$ 在的等价类成为集合的势或者是基数，记为 $\text{Card} X$

若 $X$ 和 $Y$ 的一个子集等价，那么称 $X$ 的基数小于等于 $Y$ 的基数，记为 $\text{Card} X\le \text{Card} Y$

若 $\text{Card} X\le \text{Card} Y$ 且 $\text{Card} X\not = \text{Card} Y$，则 $\text{Card} X< \text{Card} Y$

例一

$X = \mathbb N, Y = \{2n \vert n\in X\}, f:X\rightarrow Y, n\mapsto f(x) =2n$

例二

$f:(-1, 1) \rightarrow \mathbb R, x\mapsto f(x) = \frac{x}{1 - \vert x \vert}$，从而 $\text{Card}(-1, 1) = \text{Card}(\mathbb R)$

有限集，可数集和不可数集

定义：对于集合 $X$

1. $\exists n, \text{s.t.} X \sim \{1, \ldots, n\}$，称 $x$ 为有限集
2. 若 $X\sim \mathbb N$ 则 $X$ 为可数集
3. 若 $X$ 不是上面两个，那么是不可数集
4. 若 $X$ 是有限集或者是可数集，那么称其为至多可数集。

例一

$\mathbb Z \sim \mathbb N$

例二

$[0, 1]$ 和 $(0, 1)$ 等势。

$f:[0, 1] \rightarrow (0, 1)\\ f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2} & x = 0\\ \frac{1}{n + 2} & x = \frac{1}{n}\\ x & x \not = \frac{1}{n}, x \in [0, 1], x \not = \frac{1}{n}, x\not = 0\end{cases}$

定理：

1. 可数集的无限子集仍是可数集。
2. 至多个至多可数集的并仍然是可数集
3. 有限个可数集的直积仍然是可数集

证明：

1. 设 $A$ 是可数集，$E\subset A$ 的无限子集，令 $k_1$ 为最小正数 $\text{s.t.} a_{k_1} \in E$,依次有 $k_1, \ldots, k_{s - 1} = \{a_n\}$，令 $k_s$ 为最小的大于 $k_1, \ldots, k_{s - 1}$ 的正数使得 $a_{k_s} \in E$ 给出集合 $f:E\rightarrow\mathbb N, f(a_{k_n}) = n$ 为双射，所以 $E$ 为可数集。
2. 设 $E_n$ 为可数集，$n = 1, 2, \ldots$，说明 $\bigcup\limits_{n = 1} E_n$ 也是可数集

取 $x_{11},x_{21},x_{12},x_{31},x_{22},x_{13},\ldots$ 然后剔除相同元素，取第一次出现的位置

定理 ： $\text{Card}\mathbb N<\text{Card}\mathbb R$

证明：

反证法， $f:\mathbb N \rightarrow [0, 1]\\ n \mapsto f(n) = x_n$ 的双射，将线段三等分，至少有一个区间不含有 $x_n$，逐步这么找，得到一个闭区间套，然后得到 $\gamma \not = x_1, x_2, \ldots,x_n$

Schroder_Bernstein 定理：给定集合 $A, B,\text{Card} A \le \text{Card} B, \text{Card} B\le \text{Card} A$，则 $\text{Card} A = \text{Card} B$

证明：

设 $f:A \rightarrow B$ 为单射 $g:B\rightarrow A$ 为单射，不妨设 $g(B) \not = A$，令 $A_0 = A\backslash g(B), A_1 = g(f(A_0)), A_k = g(f(A_{k-1}))$

$h(x) = \begin{cases}f(x) & x\in \bigcup\limits_{k = 0} A_k\\g^{-1}(x) & x\not\in \bigcup \limits_{k = 0} A_k\end{cases}$

想说明 $h:A\rightarrow B$ 是双射

1. $h$ 是单射，只需证明 $x_1\not\in \bigcup \limits_{k = 0} A_k, x_2\not\in \bigcup \limits_{k = 0} A_k,g ^ {-1}(x_1) \not = f(x_2)$，使用反证法，如果存在 $x_1, x_2$ 不符合此条件，那么 $g ^ {-1}(x_1) = f(x_2)$，有 $x_1 = g\circ f(x_2)$，由 $x_2\not\in \bigcup \limits_{k = 0} A_k$, $\exists m \ge 0, x _2\in A_m$，此时 $x_1\in A_{m + 1}$ 矛盾！
2. $h$ 是满射，只需证明 $g(y)\not\in \bigcup \limits_{k = 0} A_k, y\not\in f\left(\bigcup \limits_{k = 0} A_k\right)$ 即可，反证法，如果 $g(y) \in \bigcup \limits_{k = 0} ^ \infty A_k, \exists m > 0, g(y) \in A_{m + 1}, \exists x\in A_m, g(y) = g(f(x))$，由于其是单射，所以 $y = f(x)$，则 $y = f(x) \in f\left(A_m\right)\subset f\left(\bigcup \limits_{k = 0} A_k\right)$，矛盾！

从而 $h$ 是双射，所以 $\text{Card} A=\text{Card} B$

$\Box$

定义： $X$ 为非空集合，由 $X$ 的所有非空子集构成的集合为 $X$ 的幂集，记为 $P(x)$

定义 $\text{Card} X < \text{Card}P(X)$

证明：

$f:X\rightarrow P(X),x\mapsto \{x\}$，从而 $\text{Card} X \le \text{Card} P(X)$，反证法，如果存在双射 $g:X\rightarrow P(X)$，定义集合 $Y = \{x \in X\vert x\not \in g(x)\},\exists x_0 \in X, \text{s.t.} g(x_0) = Y$

1. 若 $x_0 \in Y, x_0 \not \in g(x_0) = Y$ 矛盾
2. 若 $x_0 \not \in Y, x_0 \in Y$ 矛盾

从而 $\text{Card} X < \text{Card} P(X)$

函数的概念

定义：设 $X, Y \subset \mathbb R$，$f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的一元函数，记 $y = f(x)$，下面出现的函数均为一元函数

$x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量，称 $X \times Y$ 的子集，$\Gamma _f = \{(x, y)\vert y = f(x), \forall x \in X\}$ 为函数的图像。

定义，如果 $f, g$ 均为从 $X$ 到 $Y$ 的函数，那么可以定义

1. $\alpha, \beta \in \mathbb R, (\alpha f + \beta g)(x) = \alpha f(x) + \beta g(x), \forall x \in X$
2. $(f\cdot g) (x) = f(x) \cdot g(x), \forall x \in X$
3. 若 $g(x) = 0$，$\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$

若函数 $f:X\rightarrow Y$ 为双射，则 $f ^ {-1}$ 存在，称为 $f$ 的逆函数

定义：设函数 $f:X\rightarrow Y$，称 $f$ 为单调递增函数，若 $\forall x_1, x_2\in X,f(x_1)\le f(x_2)$，如果有严格就是没有等号的情况，对于单调递减同理。

定理：如果是严格单调递增/递减函数，那么逆函数存在，记为 $f ^ {-1}$，且 $f ^ {-1}$ 也是严格单调递增/递减函数。

证明：逆函数存在是显然的，那么设 $f$ 是严格单调递增函数，那么要证明他的逆也是严格单调递增函数。

使用反证法，如果存在 $y_1, y_2\in f(X)$，并且 $y_1<y_2$，满足 $f^{y_1}\ge f^{-1}(y2)$，由于 $f$ 是双射，那么 $f\circ f ^ {-1} (y_1) \ge f \circ f ^ {-1} y_2$ 则 $y_1 \ge y_2$，矛盾！

函数的极限

设 $f$ 为定义在 $x\subset \mathbb R$ 上的函数， $a\in \mathbb R$ 的一个极限点，$A\in \mathbb R$，若 $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{s.t.} \forall x \in \mathring{U}_{X}(a, \delta) = \{x\in X\vert 0 < \vert x - a\vert < \delta\}$

均有 $\vert f(x) - A\vert < \varepsilon$，称函数 $f$ 在 $a$ 点的极限为 $A$，记为 $\lim\limits_{x\rightarrow a} = A, f(x)\rightarrow A,x\rightarrow a, x\in \mathring{U}_{X} (a, \delta)$

注：

1. $a$ 是 $X$ 的极限点，$\forall \delta > 0, \mathring{U}_{X} (a, \delta) \not = \emptyset$
2. $a$ 未必属于 $X$，$f$ 在 $a$ 点上未必有定义，即使 $f$ 在 $a$ 上有定义，$A$ 和 $f(a)$ 也未必相等

Heine 定理

若 $f$ 为定义在 $X$ 上的函数，$a$ 为 $X$ 的极限点，$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = A$ 的充分必要条件是 $\forall \{x_n\} \subset X\backslash \{a\}$ 且 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n = a, \lim\limits_{n\rightarrow \infty} f(x_n) = A$

证明：

$\Rightarrow,\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{s.t.} \vert f(x) - A\vert <\varepsilon , \forall x \in \mathring{U}_{X} (a, \delta)$ 由于 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n = a, \exists N \in \mathbb N, \text{s.t.} n > N, x_n \in \mathring{U}_{X} (a, \delta)$ 有 $\vert f(x_n) -A\vert < \varepsilon,\text{i.e.} \lim\limits_{n\rightarrow\infty} f(x_n) = A$

$\Leftarrow,$ 若$f$ 在 $a$ 点上极限不是 $A$，$\exists \varepsilon > 0, \forall n \in \mathbb N \exists x_n \in \mathring{U}_{X} \left(a, \frac{1}{n}\right), \vert f(x_n) - A\vert \ge \varepsilon$，由于 $x_n\rightarrow a, f(x_n)\rightarrow A$ 矛盾！

$\Box$

Cauthy 收敛定理

定理：设 $f$ 为定义在 $X$ 上的函数，$a$ 是 $X$ 的极限点，则

$\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = A\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{s.t.} x_1, x_2, \in \mathring{U}_X(a, \delta)$，有 $\vert f(x_1) - f(x_2) \vert < \varepsilon$

证明：

$\Rightarrow , \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{s.t.} \forall x \in \mathring{U}_X(a, \delta) \vert f(x) - A\vert < \frac{\varepsilon}{2}$

则 $\forall x_1, x_2\in \mathring{U}_X(a, \delta),\vert f(x_1) - f(x_2)\vert < \varepsilon$

$\Leftarrow$ 若 $\{x_n\} \subset X\backslash \{a\}$ 且 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} x_n = a$ 对于 $\varepsilon > 0, \exists N, \text{s.t.}n, m > N, x_n, x_m \in \mathring{U} _x (a,\delta)$，由于假设可知 $\vert f(x_n) - f(x_m)\vert < \varepsilon$，故 $\{f(x_n)\}$ 是基本列，由于数列的Cauthy收敛订立，可以知道 $\lim _{n\rightarrow \infty} f(x_n) = A$,设 $\forall \{y_n\}\subset X \backslash \{a\}$ 且 $\lim_{n\rightarrow} y_n = a$ 故 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty} f(y_n) = A$，故而任意的数列都收敛 $A$

$\Box$

极限的性质

1. $f$ 是定义在 $X$ 上的函数 $a$ 是极限点，所以 $a$ 点极限唯一
2. 若 $f$ 在 $a$ 点有极限，则 $\exists \delta > 0, x \in \mathring{U}_X(a, \delta), f(x)$ 有界

定理：设 $f, g$ 为定义上 $X$ 上的函数，$a$ 是极限点，若 $\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) = A, \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = A$

则类比数列极限四则运算会有函数的极限的四则运算

定理：保序性：设 $f, g, h$ 定义在 $X$ 上的函数，$a$ 为 $X$ 的极限点，且 $\lim\limits_{x\rightarrow a} f(x) = A, \lim\limits_{x\rightarrow a} g(x) = B$

1. 若 $A < B$，$\exists \delta > 0, \text{s.t.} \forall x \in \mathring{U}_X(a, \delta), f(x) < g(x)$
2. 若 $\exists \delta > 0, f(x) \le g(x),\forall x \in \mathring{U}_X (a, \delta)$ 则 $A \le B$
3. $f(x) \le h(x),h(x)\le g(x), \exists \delta > 0, \forall \mathring{U}_X(a, \delta)$ 且 $A = B$，则 $\lim\limits_{n\rightarrow a} h(x) = A$

定理：复合函数的极限

$f:X\rightarrow Y$ ，$x_0$ 是 $X$ 的极限点

$g:Y\rightarrow Z$, $f(x) \subset Y$, $y_0$ 为 $Y$ 的极限点

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) = y_0$，且 $\exists \delta > 0, \text{s.t.} \forall x \in \mathring{U}_X(x_0, \delta),f(x) \not = y_0,f(x)\not=y$

则 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}(g\circ f) (x) = A$

例子：$f(x) = 0$，$g(y) = \begin{cases} 1 & y = 0\\0 &y \not = 0\end{cases}$

左右极限

定义：$f$ 定义在 $X$ 上的极限，$a$ 为 $X$ 的极限点，称 $a$ 处存在左极限，若将 $X \cap (-\infty, a)$ 在 $a$ 处有极限。

记作：$\lim\limits_{x\rightarrow a^-} = A$

右边的极限是同理的

定理：$f$ 为定义在 $X$ 上的函数，$a$ 为极限点，则 $f$ 在 $a$ 处极限存在 $\Leftrightarrow$ $f$ 在 $a$ 上有左右极限，且相等。

一个重要的极限

$\lim\limits _{x\rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

证明：

画一个形得到 $\sin x < x < \tan x$，转化为 $\frac{\sin x}{x}$ 的情况下，然后夹一下即可。

指数函数

给出 $a ^ x(a > 1),x\in \mathbb R$，定义：

1. $x \in \mathbb N$，归纳方法定义，$a ^ 0 = 1$，$a ^ {n + 1} = a \times a ^ n$
2. $n \in \mathbb Z$， $n\in \mathbb N$，$a ^ {-n} = \frac{1}{a ^ n}$
3. 由于实数完备性定理，$\forall n \not in N, \exists !\gamma,\text{s.t.}\gamma ^ n = a, \text{s.t.}(a ^ {\frac{1}{n}}) ^ n = a$ , $a ^ \frac{m}{n} = \left(a ^ {\frac{1}{n}}\right) ^ m$
4. $x\in \mathbb R \backslash \mathbb Q$，$x_0$ 为有理数的极限， $\lim \limits_{x\rightarrow x_0 \in, x\in \mathbb Q} = a ^ {x_0}$ 由于 $\lim\limits_{x \rightarrow 0 ^ +} = a ^ x = 0$，$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{s.t.} \forall x \in \mathring{U} _Q (0, 2 \delta), \vert a ^ x - 1 \vert < \frac{\varepsilon}{ M}, M = \sup a ^ x, x \in \mathring{U}_Q(x_0, 1), \forall x_1, x_2 \in \mathring{U}_Q(x_0, \delta),\vert a ^ {x_1 } - a ^ {x_1}\vert = a ^ {x_1}\vert 1 - a ^ {x_1 - x_2}\vert<M \frac{\varepsilon}{M} = \varepsilon$ 由于柯西判别法，存在极限且极限为 $1$，则极限存在且存在唯一定义 $a ^ {x_0} = \lim\limits_{x\rightarrow x_0, x \in \mathbb Q} a ^ x$

定理（指数函数的性质）

设 $a > 1$，

1. $a ^ x$ 严格单调递增
2. $a ^ {x_1 + x_2} = a^{x_1} a ^ {x_2}$
3. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} a ^ x = a ^ {x_0}$
4. $\forall y > 0, \exists x \in \mathbb R, y = a ^ x$

指数函数有时候记称 $\exp_a(x)$，当 $a = e$ 时候，直接写成 $\exp(x)$

对数函数和幂函数

定义： $a>0,a\ne 1,\exp_a\R\rightarrow\R^+$ 的逆函数称为对数函数 $\log_ax,x\in\R^+$ ， $a=e$ 时记为 $\ln x$ 或 $\log x$

定理：

1. $a^{\log_ax}=x,\log_aa^x=x,\log_a1=0$
2. $\log_ax_1x_2=\log_ax_1+\log_ax_2$
3. $a>1$ 时严格单调递增， $0<a<1$ 时严格单调递减
4. $x_0>0,\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\log_ax=\log_ax_0$
5. $a,b>0,a\ne 1,\log_ab^x=x\log_ab$
6. $(a^x)^y=a^{xy}$

由2可知， $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\log_ax=\log_ax_0=\log_a\lim\limits_{x\rightarrow x_0}x$ ，称为连续性（初等函数即具有连续性的函数）

定义（幂函数）： $x^{\alpha}=e^{\alpha\ln x}$

极限过程的其它形式

定义： $X\sub\R$ 无上界， $f$ 为定义在 $X$ 上的函数， $A\in\R$ ，若 $\forall\varepsilon>0,\exists M>0,\text{s.t.} x\in X\cup[M,+\infty) ,|f(x)-A|<\varepsilon$ ，称 $x\rightarrow\infty$ 时 $f$ 的极限为 $A$ ，记 $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A$

例2

设 $a > 1$ 证明：$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty} a ^ {-x} = 0$

令 $a = 1 + \alpha > 1$，$\frac{1}{a ^ x} \le \frac{1}{a ^ {[x]}} = \frac{1}{(1 + \alpha) ^ {[x]}}\le \frac{1}{\alpha[x] + 1}\rightarrow 0$

例3

设 $a > 0$ 且 $a \not = 1$ 则 $\lim \limits_{x \rightarrow + \infty} \frac{\log _{a} x}{x} = 0$

证明：

1. $a > 1$ 的时候，令 $y = \log_a x, \lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\log_a x}{x} = \lim\limits_{y\rightarrow +\infty} \frac{y}{a ^ y} =\lim\limits_{y\rightarrow +\infty} \frac{y}{(1 + \alpha)^ y} \le \lim\limits_{y\rightarrow +\infty}\frac{y}{1 + \alpha[y] + \frac{[y][y - 1]}{2} \alpha ^ 2} \rightarrow 0$
2. $0 < a < 1$ 时，$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{\log _a x}{x} = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -\frac{\log_{\frac{1}{a}}{x}}{x} = -\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{\log_{\frac{1}{a}}{x}}{x}=0$

无穷大量和无穷小量

定义

设 $X\subset \mathbb R$，$f$ 为定义在 $X$ 上的函数，$x_0$ 为 $X$ 的极限点。

定义：$\forall A > 0,\exists \delta > 0, \text{s.t.}\forall x\in \mathring{U}_X (x_0, \delta)$，均有 $f(x)>A$，称 $x\rightarrow x_0$ 时,$f(x)$ 趋近于 $+\infty$，记作 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) = + \infty$

若 $X \subset \mathbb R$ 无上界（下界） $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$

无穷小量和无穷大量

1. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) = 0$，那么 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 为无穷小量
2. 若 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) = \infty$，那么 $f(x)$ 当 $x\rightarrow x_0$ 为无穷大量

相比较无穷小

定义 $f, g$ 满足定义，$\exists \delta > 0$, $\exists$ 定义在 $\mathring{U}_X(x_0, \delta)$ 上的函数 $\alpha(x)$ 满足

1. $f(x) = \alpha(x) g(x),\forall x \in \mathring{U}_X (x_0, \delta)$
2. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \alpha(x) = 0$

称 $f(x)$ 相对于 $g(x)$ 是无穷小量。记为 $f(x) = o(g(x))$

更高阶的量

定义 $f, g$ 满足定义，$\exists \delta > 0$, $\exists$ 定义在 $\mathring{U}_X(x_0, \delta)$ 上的函数 $\alpha(x)$ 满足:

1. $f(x) = o(g(x))$
2. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=0$

称为 $f(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 时候比 $g(x)$ 是高阶无穷小量。

定义 $f, g$ 满足定义，$\exists \delta > 0$, $\exists$ 定义在 $\mathring{U}_X(x_0, \delta)$ 上的函数 $\alpha(x)$ 满足:

1. $f(x) = o(g(x))$
2. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=+\infty,\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=+\infty$

称为 $g(x)$ 在 $x \rightarrow x_0$ 时候比 $f(x)$ 是高阶无穷大量。

比如说 $a ^ x$ 比 $x ^ a$ 高阶。

同阶无穷量

定义 $f, g$ 满足定义，$\exists \delta > 0$, $\exists$ 定义在 $\mathring{U}_X(x_0, \delta)$ 上的函数 $\alpha(x)$ 满足:

1. $\beta(x)$ 有界
2. $f(x) = \beta(x) g(x)$

记为 $f(x) = O(g(x))$，若同时有 $g(x) = O(f(x))$，那么这两个是同阶的，特别的，如果和 $\vert x - x_0 \vert ^ \alpha$ 同阶，那么称其为 $\alpha$ 阶无穷小

渐进等价

定义 $f, g$ 满足定义，$\exists \delta > 0$, $\exists$ 定义在 $\mathring{U}_X(x_0, \delta)$ 上的函数 $\alpha(x)$ 满足:

1. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \alpha(x) = 1$
2. $f(x) = \alpha(x)g(x)$

称 $f$ 在 $x\rightarrow x_0$ 的时候是渐进等价的，记为 $f(x) \sim g(x), x\rightarrow x_0$

这是一种等价关系

命题：$f, g, h$ 为 $X\rightarrow R$ 的函数，$x_0$ 是 $X$ 的极限，若

1. $f\sim g,(x\rightarrow x_0)$
2. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) h(x)$ 或者 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x) h(x)$ 有一个存在

$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) h(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x) h(x)$

1. $o(f(x)) + o(f(x)) = o(f(x)), O(f(x)) + O(f(x)) = O(f(x))$
2. $o(f(x)) + O(f(x)) = O(f(x)), o(f(x)) = O(f(x))$
3. $g\cdot o(f(x)) = o(g\cdot f(x)), g\cdot O(f(x)) = O(g\cdot f(x))$

以证明：

$e ^ x = 1 + x + \frac{1}{2!} x ^ 2 + \ldots + \frac{1}{n!} +o(x ^n)$

$\log (1 + x) = x - \frac{1}{2}x ^ 2$

连续函数

连续函数的定义

定义：$f$ 定义在 $X\subset \mathbb R$ 上的函数，$x_0 \in X,\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{s.t.} \forall x \in (x_0-\delta,x_0 + \delta)$，满足 $f(x)\in (f(x_0) - \varepsilon, f(x_0) + \varepsilon$

称 $f$ 在 $x_0$ 点连续

$f$ 在 $x_0$ 点连续也可以定义为： $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x \in X, \vert x - x_0 \vert < \delta$，满足 $\vert f(x) - f(x_0) \vert < \delta$

注：

1. 如果 $x_0$ 是极限点，$f$ 在 $x_0$ 处连续，当且进当 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)$
2. 否则如果是孤立点，那么 $\exists \delta > 0, \text{s.t.} U_X(x_0,\delta) =\{x_0\}$ 孤立点就是连续点

定义： $f$ 有定义， $x\subset \mathbb R$ 上的函数，成 $f$ 在 $X$ 上连续，当且仅当在 $X$ 上每一点连续， $C(X) = \{f \vert f为X上的连续函数\}$

连续函数的例子

1. $f(x) = c, \forall x \in \mathbb R$
2. $f(x) = x, \forall x \in \mathbb R$
3. $f(x) = \sin x,\forall x \in \mathbb R$
4. 设 $a > 0, a\not = 1$, $a ^ x$ 是连续函数，$\lim\limits_{x\rightarrow x_0} a ^ x = a ^ {x_0}$
5. $f:\mathbb N \rightarrow \mathbb R, n\mapsto f(n) = a_n$ 为连续函数

间断点和其分类

$f$ 在某个点上不连续，这个点就是间断点。

例一：$D(x) = \begin{cases}1 & x \in \mathbb Q\\ 0 & x \in \mathbb R \backslash \mathbb Q\end{cases}$

例二：$sgn(x) = \begin{cases}1 & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -1 & x < 0\end{cases}$

定义：设 $f$ 为定义在 $X$ 上的函数，$x_0$ 是 $f$ 的间断点

1. 称 $x_0$ 是第一类间断点，若 $f(x_0-),f(x_0+)$ 均存在
   1. 称 $x_0$ 为可去间断点，若 $f(x_0-)=f(x_0+) \not = f(x)$
   2. 称 $x_0$ 为跳跃间断点，若 $f(x_0-)\not = f(x_0+)$，称 $\vert f(x_0+) - f(x_0-)$ 为 $f$ 在 $x_0$ 上的跃度(jump)
2. 称 $x_0$ 为 $f$ 的第二类间断点，若 $f(x_0-),f(x_0+)$ 至少一个不存在

例子：

1. $f(x) = \frac{1}{x}, x_0 = 0$ 为 $f$ 的第二类间断点
2. $f(x) = \sin \frac{1}{x}$
3. $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x} & x \not = 0\\ 2 & x \not = 0\end{cases}$，此时 $x = 0$ 为第一类间断点

注：$f:X\rightarrow \mathbb R, g:X\rightarrow \mathbb R$

1. $f(x) = g(x), x \not = x_0$
2. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} g(x) = g(x_0)$

称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点

单调函数的间断点的性质

命题：设 $f$ 为定义在 $X$ 上的单调函数，那么

1. $f$ 的间断点只能是跳跃间断点
2. $f$ 的间断点是之多可数个

这是比较好证明的

连续函数的局部性质

命题：如果 $f$ 是定义在 $X$ 上的函数，在 $x_0$ 连续

1. $\exists \delta > 0, f$ 在 $U_(x_0, \delta)$ 上有界
2. 若 $f(x_0)>0$，则 $\exists \delta > 0, \text{s.t.}f(x) > 0, x \in U_X(x_0, \delta)$

定理：$f, g:X\rightarrow \mathbb R$，$f, g$ 在 $x_0$ 上连续，

1. $\forall \alpha, \beta \in \mathbb R, \alpha f + \beta g$ 在 $x_0$ 上连续
2. $f\cdot g$ 在 $x_0$ 上连续
3. 若 $\exists\delta > 0, \forall x \in U_X(x_0, \delta), g(x) \not = 0, \frac{f}{g}$ 在 $x_0$ 上连续

命题 $f:X\subset R\rightarrow Y \subset \mathbb R$ 在 $x_0$ 连续，$g:Y\subset R\rightarrow Z \subset \mathbb R$ 在 $x_0$ 连续，那么 $g\circ f$

左右极限函数

定义：$f$ 为定义在 $X$ 上的函数

1. 若 $f$ 限制在 $X \cap (-\infty, x_0)$ 在 $x_0$ 点连续，那么称 $f$ 在 $x_0$ 点左连续，右连续同理。
2. 介值定理，设 $f\in C([a, b])$
   1. 若 $f(a)f(b) < 0，则 $\exists c \in [a, b], \text{s.t.} f(c) = 0$
   2. 若 $f(a)\not = f(b), \forall y$ 在 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，存在 $x_0$,$\text{s.t.}f(x_0) = y$

一些例子

1. $f:[0,1]\rightarrow [0, 1]$,$\exists x, f(x) = x$
2. 奇数次多项式一定有实根

单调函数的一些性质

推论：$f\in C([a, b])$，$f$ 是单射 $\Leftrightarrow f$ 为严格单调递增函数

证明：

$\Leftarrow$：显然

$\Rightarrow$：反证法

命题：$f\in C([a, b])$，且 $f$ 单调，则 $f([a,b]) = \begin{cases} \{f(a)\} &f(a) = f(b) \\ [f(a), f(b)] & f(a) < f(b) \\ [f(b), f(a)] & f(b) < f(a)\end{cases}$

Weierstrass 最值定理

定理：若 $f\in C([a, b])$ 则一定存在 $x_1, x_2 \in [a, b],\text{s.t.}, f(x_1) = \sup\limits_{x\in [a, b]} f(x), f(x_2) = \inf\limits_{x\in [a, b]} f(x)(f(x_1) = \max\limits_{x\in [a, b]} f(x), f(x_2) = \min\limits_{x\in [a, b]} f(x))$

证明：

先证明有界性：

$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta_x > 0, \forall l \in U_{[a, b]}(x,\delta_x)$，满$\vert f(x) - f(l)\vert < \varepsilon$，由于有限覆盖定理，那么 $\vert f(x_1)- f(x_2)\vert < N \varepsilon$

第二步是反证法，如果 $M = \sup\limits_{x\in [a, b]}f(x), \forall x \in [a, b], M > f(x)$，则令 $F(x) = \frac{1}{M - f(x)}$，且有 $F \in C([a, b])$，从而 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上有上界 $\mu$，那么 $f(x) \le M - \frac{1}{\mu}$，这和 $M = \sup\limits_{x\in [a, b]} f(x)$ 矛盾，于是存在 $x_1, f(x_1) =\sup\limits_{x\in [a, b]} f(x)$，最小值情况可以类似证明

注：$\mathbb R$ 上有界闭集成为紧集，紧集上的连续函数存在最值定理

一致连续性

$f$ 在 $X$ 上连续，$x_0 \in X, \forall \varepsilon > 0, \exists \delta = \delta(x_0, \varepsilon) > 0, \text{s.t.} \forall U_{X} (x_0, \delta), \text{s.t.} \vert f(x) - f(x_0) \vert < \varepsilon$

如果在 $X$ 上一致连续，那么 $\forall x_0 \in X,\forall \varepsilon > 0, \exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0, \text{s.t.} \forall x \in U_{x}(x_0, \delta),\text{s.t.} \vert f(x) - f(x_0) \vert < \varepsilon$

$\exists \varepsilon_0 > 0, \forall n, \exists s_n, t_n \in X, \vert s_n - t_n\vert \ge \varepsilon_0$

定理(Heine-Cantor)

设 $f(x)\in C([a, b])$，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上一致连续

证明：先取有限覆盖，邻域大小是 $\frac{1}{2}\delta$，里面都是然后 $\delta =\frac{1}{2}\min\{\delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n\}$，然后对于 $\forall x_0 \in X, x\in U(x_k, \frac{1}{2} \delta_{x_k})$，然后 $\forall \vert x_1 - x_0 \vert < \delta$，那么在一个邻域里面，则 $\vert f(x_1) - f(x_0)\vert < \varepsilon$，证毕。

例题：设 $f\in C[a, +\infty)$ 且 $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}f(x) = A \in \mathbb R$，那么 $f$ 在 $[a, +\infty)$ 上一致连续

振幅

设 $f:X\rightarrow \mathbb R,x_0$ 为 $X$ 的极限点，$\delta > 0$，令 $\omega(f;x_0, \delta) = \sup\limits_{x \in U_X(x_0, \delta)}f(x) - \inf\limits_{x \in U_X(x_0, \delta)}f(x) = \sup\limits_{x, y \in U_X(x_0, \delta)}\vert f(x) - f(y) \vert$ 为 $f$ 在 $U_X(x_0, \delta)$ 上的振幅。

$\omega (f; x_0) = \lim\limits_{\delta \rightarrow 0+} \omega(f; x_0, \delta)$ 称其为 $f$ 在 $x\rightarrow x_0$ 时的振幅。

命题：$f$ 在 $x_0$ 连续的条件是 $\omega(f; x_0) = 0$，反例：$\sin\frac{1}{x}$

$M(x) = \sup\limits_{x\in [a, x]} f(x), m(x) = \inf\limits_{x\in [a, x]} f(x)$，都是连续函数

函数的上下极限

定义：$f:X\rightarrow \mathbb R,x_0$ 是 $X$ 的极限点

$E = \{a\in \mathbb R_{\infty}\vert \exists\{x_n\} \in X\backslash\{x_0\},\lim\limits_{n\rightarrow} x_n = x_0,\lim\limits_{x\rightarrow x_0} =(x) = a\}$

称 $\sup E, \inf E$ 分别是函数在 $x_0$ 的上下极限，记为 $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \sup f(x) = \sup E,\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \inf f(x) = \inf E$

定理：

1. $\sup E, \inf E\in E$
2. 若 $y > \sup E$，则 $\exists\delta > 0, \text{s.t.} _\forall x \in \mathring{U}_X (x_0, \delta), f(x) < y$
3. 若 $y <\sup E$，则 $\forall \delta > 0, \text{s.t.} \exists x_n \in \mathring{U}_X (x_0, \delta), f(x_n) < y$
4. 若 $y < \inf E$，则 $\exists\delta > 0, \text{s.t.} \forall x\in \mathring{U}_X (x_0, \delta), f(x) < y$
5. 若 $y > \inf E$，则 $\forall\delta > 0, \text{s.t.} \exists x_n \in \mathring{U}_X (x_0, \delta), f(x_n) < y$

命题：

1. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \sup f(x) = \lim\limits_{\delta \rightarrow 0 ^ +, x \in U_X (x_0, \delta)} \sup f(x)$
2. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \inf f(x) = \lim\limits_{\delta \rightarrow 0 ^ +, x \in U_X (x_0, \delta)} \inf f(x)$
3. $\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \sup f(x) - \lim\limits_{x\rightarrow x_0} \inf f(x) =\mathring{\omega}(f, x_0)$

第三章 导数

导数的定义

定义：

1. 设 $f :X\rightarrow \mathbb R$ 上的函数，$x_0$ 为 $X$ 的极限点，若 $\exists A(x_0)$，则 $f(x + l) - f(x_0) = A(x_0)h+\alpha (x, h) (*), h\rightarrow 0$，其中 $x + l \in X, \alpha(x, h) = o(h)$，我们称 $f$ 在 $l$ 处可微的
2. $\delta x = h, \delta f(x) = f(x_0 + h) - f(x_0)$ 为自变量和增量，称线性映射 $\mathbb R \rightarrow \mathbb R, h\mapsto A(x_0)h$ 为 $x_0$ 处的微分，记作 $\mathrm{d} f(x0)$，从而 $\mathrm{d} f(x_0)(h) = A(x_0)h$，则 $(*)$ 可以表示为 $f(x_0 + h) - f(x_0) = \mathrm d f(x_0) (h) + \alpha(x_0, h),h$
3. 由 $(*), A(x_0) = \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ ，称 $A(x_0)$ 为 $f$ 在 $x_0$ 处的倒数，记为 $f'(x_0)$
4. 特别的 $f(x) = x$ 时，$f'(x) = 1, \mathrm d x: \mathbb R\y_nrightarrow \mathbb R, h\mapsto \mathrm d x(h) = h$，对于一般的函数 $f$，有 $f'(x) = \frac{\mathrm{ d f(x)(h)}}{\mathrm d x(h)} = \frac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x}$，称之为微商，函数 $f$ 在 $x_0$ 点处的微分 $d f(x_0) = f'(x_0) \mathrm d x$
5. $f$ 在 $x_0$ 处可微，称 $y = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0)$，为函数 $f$ 在图像 $(x_0,f(x_0)$ 的切线，斜率是 $f'(x_0)$

注：$\mathrm d f(x):\mathbb R \rightarrow \mathbb R$，但是实际上

1. 设 $f:X \rightarrow \mathbb R$ 若 $f$ 在 $X$ 的每一点都可微分那么称 $f$ 在 $X$ 上可微，记作 $C ^ 1(X) = \{f\vert f 在 X 上可微\}$

左右导数可以类比左右极限定义

例一：

$f:X\rightarrow R$ 在 $0$ 处可微，且 $f(0) = 0$， $y_n = \sum_{k = 1} ^ n \sum_{k = 1} ^ n f(\frac{k}{n ^ 2})$

$\lim\limits_{n\rightarrow \infty} y_n = \frac{1}{2} f'(0)$

证明:

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \beta(x)x$，且在 $x \rightarrow 0, \beta(x) \rightarrow 0$

$y_n = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n}\right) f'(0) + \sum\limits_{k = 1} ^ n \beta(\frac{k}{n ^ 2}) \frac{k}{n ^ 2}$

取 $n\rightarrow \infty$ 即可。

导数四则运算

令 $f, g$ 为 $x_0$ 处可导的函数

1. $(\alpha f + \beta g)' (x_0) = \alpha f'(x_0) + \beta g'(x_0)$
2. $(f\cdot g) '(x_0) = f'(x_0)g(x_0) + f(x_0) g'x(x_0)$
3. $\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0)g(x_0) - g'(x_0) f(x_0)}{g ^ 2`(x_0)}$

复合函数的法则

定理：设 $f:X\rightarrow Y, g:Y\rightarrow \mathbb R$ 并且 $f$ 在 $x_0$ 可导，$g$ 在 $f(x_0)$ 可以导，那么 $(g\circ f) '(x_0) = g'(f(x_0)) f'(x_0)$

例：双曲函数

$\sinh (x) = \frac{e^x - e ^ {-x}}{2},\cosh x = \frac{e ^ x + e ^ {-x}}{2},\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$

$(\sinh x)' = \cosh x, (\cosh x)' = \sinh x, \tanh x = \frac{1}{\cosh ^ 2 x},\cosh ^ 2x - \sinh ^ 2 x = 1,(\coth x)' = -\frac{1}{\sinh ^ 2 x}$

逆函数

设 $X, Y\subset \mathbb R, f:X\rightarrow Y$，在 $x_0$ 点可微，且 $f'(x_0) \not = 0$，那么其逆函数 $f^{-1}$ 存在且在 $y = f(x_0)$ 处是连续，则 $f^{-1}$ 在 $y = f(x_0)$ 处可微且 $f ^ {-1}(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)}$

逆函数对应求导的例子

$\arcsin'(x) = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin ^ 2 y }}=\frac{1}{\sqrt{1 - x ^ 2}}$

高阶导数

设 $f:X\rightarrow \mathbb R$ 上可微，若 $f':X\rightarrow \mathbb{ R}$ 仍然可微，称 $f$ 二阶可微，记作 $f''(x)$ 或者是 $\frac{\mathrm{d}^2 f(x)}{d x ^ 2}$ ，如果是 $n$ 阶可微，记成 $f ^ {(n)}(x)$ 或者是 $\frac{\mathrm{d}^n f(x)}{\mathrm{d} x ^ n}$，定义，如果 $f$ 在 $X$ 上 $n$ 阶可微，且 $f ^ {(n)} (x)$ 在 $X$ 上连续，那么称 $f$ 在 $X$ 上 $n$ 阶连续可微，记作 $C ^ {n} (X)$，若无穷阶可微，那么记作 $C^{\infty}(X)$，例如 $e ^ x, \sin x$

定理(leibniz)： 设 $f, g \in C^ n(X)$，则 $*(f\cdot g) ^ {(n)} (x) = \sum\limits_{k = 0} ^ n \binom{n}{k} f ^ {(k)}(x) g ^ {(n - k)}(x)$

证明采取数学归纳法，是显然的

微分中值定理

函数的极值

定义：设 $\delta > 0, f: U (x_0, \delta) \rightarrow \mathbb R$

1. 若 $\forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), f(x) \le (f_{x_0})$，那么 $x_0$ 是极大值点，极小值点是类似的
2. 若 $\forall x \in \mathring{U}(x_0, \delta), f(x) < (f_{x_0})$，那么 $x_0$ 是严格极大值点，严格极小值点是类似的

定理(Fermat, 1688)

设 $f$ 在 $(a, b)$ 上可微，那么 $x_0 \in (a, b)$ 为极值点，则 $f'(x_0) = 0$

证明：就是找个 $h$ 左极限是大于等于 $0$，右极限是小于等于 $0$，于是极限等于 $0$，则导数是 $0$

定义：导数为 $0$ 的点是驻点

1. 可疑极值点：驻点和不可导点

中值定理（罗尔拉格朗日柯西皮亚诺）

1. 罗尔中值定理，设 $f \in C([a, b]) \cap C^{1}((a, b))$ 且 $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi\in (a, b),\text{s.t.}f'(\xi) = 0$
2. 拉格朗日中值定理，设 $f \in C([a, b]) \cap C^{1}((a, b))$，则存在 $\xi \in (a, b),\text{s.t.} f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

推论：

• 若 $f \in C ^ 1(a, b)$ 且 $f'(x)\ge 0$，则 $f$ 单调递增，小于等于 $0$ 是同理的
• 若 $f \in C ^ 1(a, b), f'(x) = 0$，则 $f(x) = C$
• 若 $f, g \in C ^ {1}(a, b)$ 满足 $f'(x) = g'(x),\forall x \in (a, b),f(x) = g(x) + C$

例

$f\in C ^ 1(a, b)$ 且 $\vert f'(x) \vert M$ 则 $f$ 在 $(a, b)$ 上一致连续。

3. 柯西中值定理：$f, g \in C([a, b])\cap C^1((a, b))$ 则 $\exists \xi \in (a, b), \text{s.t.} f'(\xi)(g(b) - g(a)) = g'(\xi)(f(b) - f(a))$ 并且 若 $g'(x) \not = 0,\forall x \in (a, b)$ 则 $\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$

$$F(x) =\begin{vmatrix} f(x) & g(x) & 1 \\ f(a) & g(a) & 1 \\ f(b) & g(b) & 1 \end{vmatrix}$$

4. 皮亚诺中值定理：

$$f, g,h\in C([a, b]) \cap C^1((a, b)), \exists \xi \in (a, b), \text{s.t.} \begin{vmatrix} f'(\xi)&g'(\xi)&h'(\xi) \\ f(a) & g(a) & h(a)\\ f(b) & g(b) & h(b) \end{vmatrix} = 0$$

证明：

$$F(x) = \begin{vmatrix} f'(\xi)&g'(\xi)&h'(\xi) \\ f(a) & g(a) & h(a)\\ f(b) & g(b) & h(b) \end{vmatrix}$$

1. $h(x) = 1$ 是柯西中值定理
2. $h \equiv 1, g(x) \equiv 1$ 是拉格朗日中值定理

例一

设 $f\in C([a, b]) \cap C^2((a, b))$ 且 $f(a) = f(b) = 0$ 则 $\forall x \in (a, b),\exists \xi \in (a, b),\text{s.t.} f(x) = \frac{1}{2}f''(\xi) (x - a)(x - b)$

例二

设 $\delta > 0, f: U(a, \delta)\rightarrow \mathbb R$，可微，在 $a$ 点二次可微，且 $f''(a) \not = 0$，当 $h\rightarrow 0$，$f(a + h) - f(a) = f'(a +\theta (h) h)h$，其中 $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\theta (h) = \frac{1}{2}$

证明：由 Lagrange 中值订立可以得到 $f(a + h) - f(a) = f'(a + \theta(h)h)h,0<\theta(h) < 1$

下面证明 $\lim\limits_{h\rightarrow 0}\theta (h) = \frac{1}{2}$，

(Darbowx)定理：$f \in C^1((a, b)), f'(x)$ 在 $(a, b)$ 上具有介值定理

用导数研究函数的性质

定理：设 $f$ 在 $(a, b)$ 上可微，在 $(a, b)$ 单调递增的充要条件是 $\forall x \in (a, b), f'(x) \ge 0$，严格单调递增的充要条件是 $\forall x \in (a, b) f'(x) \ge 0$，并且不存在一个子区间使得 $f'(x) \equiv 0$

定理：(必要条件). 设 $f$ 为定义在 $U(x_0, \delta)$ 上的函数, 其中 $\delta$ > 0. 则 $x_0$ 为 $f$ 的极值点的必要条件是: 要么 $f$ 在 $x_0$ 处不可微, 要么 $f$ 在 $x_0$ 处可微且 $f′(x_0) = 0$。

定理：设 $f$ 在 $\mathring{U}(x_0, \delta)$ 可微，且在 $x_0$ 上连续，那么我们有如下结论：

• 如果当 $x\in (x_0 - \delta, x_0)$ 时，$f'(x) > 0$ 且 $x \in (x_0, x_0 + \delta)$ 时，$f'(x) < 0$，那么 $x_0$ 是 $f$ 的一个严格极大（反之是极小）值点。
• 如果当 $x\in \mathring{U}(x_0, \delta)$ 时，$f'(x) > 0$ 或者 $f'(x) < 0$，那么不是极值点

定理：设函数 $f:U(x_0, \delta)\rightarrow R$ 在 $x_0$ 处有直到 $n$ 阶的导数，并且 $f^{(1)}(x) = \cdots = f^{(n-1)}(x) =0,f^{(n)}(x) \ne 0$

• 当 $n$ 为奇数时 $x_0$ 不是 $f$ 的极值点
• 当 $n$ 为偶数时 如果 $f^{(n)}(x0) > 0$, 则 $f$ 在 $x_0$ 处取到严格极小值; 而如果 $f^{(n)}(x_0) < 0$, 则 $f$ 在 $x_0$ 处取到严格极大值.

Young 不等式

$a, b > 0, p, q \not = 0, 1, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$

1. $p > 1 , a^{\frac{1}{p}} b^ \frac{1}{q} \le \frac{a}{p} + \frac{b}{q}$
2. $p < 1, a^{\frac{1}{p}} b^ \frac{1}{q} \ge \frac{a}{p} + \frac{b}{q}$

并且 $a = b$ 取到等式

$H\ddot older$ 不等式

$a_i \ge 0, b_i \ge 0, \frac{1}{p} + \frac{1}{q}= 1, p, q > 0$

1. $p > 1, \sum a_i b_i \le \left(\sum a_i^ p\right) ^ {\frac{1}{p}}\left(\sum b_i^ q\right) ^ {\frac{1}{q}}$
2. $p <1 , \sum a_i b_i \ge \left(\sum a_i^ p\right) ^ {\frac{1}{p}}\left(\sum b_i^ q\right) ^ {\frac{1}{q}}$

Minkowski 不等式

$a_i, b_i \ge 0$

1. $p > 1, (\sum (a_i + b_i) ^ p)^{\frac{1}{p}} \le (\sum a_i ^ p) ^ {\frac{1}{p}}+(\sum b_i ^ p) ^ {\frac{1}{p}}$
2. $p <1, (\sum (a_i + b_i) ^ p)^{\frac{1}{p}} \ge (\sum a_i ^ p) ^ {\frac{1}{p}}+(\sum b_i ^ p) ^ {\frac{1}{p}}$

凸函数

凸函数的定义

设 $f:X\subset R\rightarrow R$

若 $\forall x_1, x_2 \in X, \lambda \in (0, 1)$ 满足 $f(\lambda x_1 + (1 - \lambda) x_2) \le \lambda f(x_1) + (1 - \lambda) f(x_2)$ 称之为凸函数，类似的定义严格凸函数。

等价定义：$x < y < z, f$ 凸函数， $\Leftrightarrow \det{\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ f(x) & f(y) & f(z)\end{bmatrix}}\ge 0$

若 $-f$ 是凸函数，那么 $f$ 就是凹函数

凸函数的性质

定理 设 $f:(a, b) \rightarrow \mathbb R$ 为凸函数，则 $f\in C((a, b))$

可微凸函数的性质

定理：设 $f:(a, b)\rightarrow \mathbb R$ 可微，则 $f$ 是凸函数 $\Leftrightarrow f'(x) 是增函数$

若为严格凸函数 $\Leftrightarrow f'(x) 在 (a, b) 上严格增函数$

推论：若 $f:(a, b) \rightarrow \mathbb R$，$2$ 阶可微，

1. $f$ 为 $(a, b)$ 上凸函数 $\Leftrightarrow f''(x) \ge 0, x\in (a, b)$
2. 为严格凸函数 $\Leftrightarrow f''(x) \ge 0，f''(x) \ge 0$, 且任何子区间上 $f''(x)$ 不恒为 $0$

定理：设 $f:(a, b) \rightarrow \mathbb R$ 可微，则

1. $f$ 在 $(a, b)$ 上是凸函数 $\Leftrightarrow$ 函数图像上任意一点均在切线上方
2. 若 $f$ 在 $(a, b)$ 上严格凸 $\Leftrightarrow$ 函数图像上除了切点之外都在切线上方

注：若 $f:(a, b) \rightarrow \mathbb R$ 为凸函数，则 $\forall x_0 \in (a, b), \exists k(x_0),\text{s.t.} f(x) \ge f(x_0) + k(x_0)(x - x_0)$

称 $y = f(x_0) + k(x_0)(x - x_0)$ 为 $f$ 在 $x_0$ 上的支撑线 $(x_0, f(x_0))$ 称为支撑点

用凸函数凹函数考察不等式

例一 Jensen不等式

若 $f: (a, b) \rightarrow \mathbb R$ 上的凸函数，满足 $\lambda_i \ge 0, \sum \lambda_i =1$，则对于 $\forall x_1, \ldots, x_n \in (a, b)$

$f(\sum \lambda_i x_i) \le \sum \lambda_i f(x_i)$

1. 设 $f:(a, b)\rightarrow \mathbb R$ 是凸函数，则 $\lim\limits_{x\rightarrow a^+} f(x), \lim\limits_{x\rightarrow b^-} f(x)$ 存在，若 $f:(a, b)\rightarrow \mathbb R$ 有界且是凸函数，则 $f$ 在 $(a, b)$ 上一致连续。
2. 设 $f:(a, b)\rightarrow \mathbb R$ 是凸函数， $f$ 的不可微点至多可数个。
3. 设 $f:(a, b)\rightarrow \mathbb R$ 是凸函数，则 $\forall x \in (a, b), f'_-(x)$ 左连续，$f'_+(x)$ 右连续。

L'Hospital 法则

定理：

1. 设 $f, g:(a, b) \rightarrow \mathbb R$ 为可微函数，$a$ 可以为 $-\infty$, $b$ 可以是 $+\infty$
2. $g'(x) \not = 0, \lim\limits_{x\rightarrow a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = A$
3. $\lim\limits_{x\rightarrow a ^ +} f(x) = 0$ 且 $\lim\limits_{x\rightarrow a ^ +} g(x) = 0$ 或者 $\lim\limits_{x\rightarrow a ^ +} g(x) = \infty$

则 $\lim\limits_{\rightarrow a ^ +} = \frac{f(x)}{ g(x)} = A}

函数做图

设 $f:(a, b) \rightarrow \mathbb R$, $a = -\infty$ 或 $b = +\infty$

当 $x\rightarrow -\infty$ 或 $x\rightarrow +\infty$ 若 $f(x) = kx + o(1)$，则称其为 $y = kx + b$ 是 $f$ 在 $x\rightarrow -\infty$ 或 $x\rightarrow +\infty$ 的渐进线。

设 $f:(a, b) \rightarrow \mathbb R$，若 $\lim\limits_{x\rightarrow a ^ +} = \infty$ 或者是 $\lim\limits_{x\rightarrow b ^ -} f(x) = \infty$ 那么称 $x = a$ 或 $x = b$ 是竖直渐进线。

Taylor 公式

一元微积分的顶峰

带 Peano 余项的多项式

定义与定理

$P_n(x_0; x) = a_0 + a_1(x - x_0) + \ldots + a_n(x - x_0) ^ n$

$P^{(k)}(x_0; x) = k! a_k, k = 0, 1, \ldots, n$

于是可以知道 $a_k = \frac{P ^ {(k)} _n (x_0; x)}{k!}$，设 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，定义 $T_n(x_0; x) = \sum\limits_{k = 0} ^ n \frac{f ^ {(k)}_n(x_0)}{k!} (x - x_0) ^ k$ 称之为 $f$ 在 $x_0$ 点的 Taylor 多项式， $f(x) = T_n(x_0; x) + r_n(x_0; x)$，称 $r(x_0; x)$ 为余项。

定理：设 $f:[a, b]$ 上的函数，在 $x_0\in [a, b]$ 具有 $n$ 阶导数，当 $x\rightarrow x_0$ 时，$f(x) = T_n(x_0; x) + o((x - x_0) n)$

若 $x = 0$ 是 Maclawrin 展开。

带有 Lagrange 余项和 Cauchy 余项的 Taylor 展开式

定理： 设 $f$ 在 $[x_0, x]$ 上 $n$ 阶连续可微，且在 $(x_0, x)$ 上有 $n + 1$ 阶导数，那么

$$f(x) = \sum\limits_{k = 0} ^ n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0) ^ k+\frac{f ^ {(n + 1) (\xi)}}{(n + 1)!}(x - x_0) ^ {n + 1}$$

其中 $\xi \in (x_0, x)$

例一

$f(x) = e ^ x, f(x) = \sum \limits_{k = 0} ^ n \frac{x ^ k}{k!} + \frac{e ^ {\theta x}}{(n + 1)!}x ^ {n + 1} = \sum\limits_{k = 0} ^ {\infty} \frac{x ^ k}{k!}$

$\sin x = \sum\limits_{k = 0} ^ \infty \frac{(-1) ^ k}{(2k + 1)!}x ^ {2k + 1}$

$\cos x = \sum\limits_{k = 0} ^ n \frac{(-1) ^ k}{(2k)!} x ^ {2k} + (-1) ^ {n + 1} \frac{\cos(\theta x)}{(2n + 2)!} x ^ {2n + 2} = \sum\limits_{k = 0} ^ \infty \frac{(-1) ^ k}{(2k)!}x ^ {2k}$

Taylor 级数

定义：设 $f$ 在 $x_0$ 点无穷次可微，那么 $\sum\limits_{k = 0} \frac{f ^ {(k)} (x_0)}{k!}(x - x_0) ^ k$，一般而言函数的 Taylor 级数未必收敛到本身。

$f ^ {(n + 1)} (x) = P_{n + 1} \left(\frac{1}{x}\right) e ^ {\frac{-1}{x ^ 2}}$

$\lim\limits_{x\rightarrow 0} \frac{f ^ {(n)} (x)- f ^ {(n)}(0)} x = \lim_{x\rightarrow 0} \frac{ P _n(\frac{1}{x}) e ^ {-\frac{1}{x ^ 2}}}{x} = 0$

于是 $f ^ {(k)}(0) = 0$

若 $\vert f''(x)\vert \le M, \forall x \in [a, b], \vert f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \vert \le \frac{M}{8} (b - a) ^ 2$

Taylor 的唯一性

定理：设 $T_n(x_0; x)$ 是 $f$ 的泰勒多项式，$P_n = a_0 + a_1(x - x_0) + \cdots + a_n(x - x_0) ^ n$ 为唯一多项式，且 $T_n(x_0; x) \not = P_n (x_0, x)$ 则 $\exists \delta > 0, \text{s.t.} 0 < \vert x - x_0\vert < \delta$ 有 $\vert f(x) - T_n (x_0; x) \vert < \vert f(x) - P_n (x_0; x)\vert$

求导的逆运算

原函数的概念

定义：$I = (a, b), [a, b], (a, b], [a, b)$

设 $F, f:I \rightarrow \mathbb R, F(x)$ 可以微，$\forall x \in I$ 且 $\mathrm{ d} F(x) = f(x) \mathrm{d} x$ 称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数。

定理 ：$F_1, F_2$ 为 $f$ 在 $I$ 上的原函数，则 $F_1(x) = F_2(x) + C$ ，那么 $F_1' - F_2' = 0$

$F(x)$ 为 $f$ 在 $I$ 上的一个原函数，$\{F(x) + C\vert c \in \mathbb R\}$，定义，球一个函数 $f$ 在 $I$ 上的原函数的运算叫做不定积分，记作 $\int f(x) \mathrm{d} x$

不定积分的性质

1. $\forall \alpha, \beta \in \mathbb R, \int (\alpha f(x) + \beta g(x))\mathrm{d}x = \alpha\int (f(x))\mathrm{d}x + \beta\int (g(x))\mathrm{d}x$
2. $f, g$ 均可微

$$\int (fg)' \mathrm{d}x = \int (f'g + fg') \mathrm{d}x\\ \int (fg)' \mathrm{d}x = \int d(fg)(x) = f(x)g(x) + C \int f'g \mathrm{d}x = \int (fg)'\mathrm{d}x - \int g'f\mathrm{d}x$$

3. 换元公式

$I\stackrel {\phi} {\longrightarrow}J\stackrel {f} {\longrightarrow} \mathbb R$

其中 $I, J$ 区间 $\phi$ 可微，$F$ 是 $f$ 的一个原函数

$\int (f\circ \phi)(t) \phi'(t) \mathrm{d}t = \int (f\circ \phi)(l) \mathrm{d}\phi(l) \stackrel{x = \phi(t)}{=} \int f(x) \mathrm{d}x = F(phi(t)) + C$

几个基本公式

$$\begin{aligned} &\int 0 \mathrm{d}x = C \\ &\int x ^ {\alpha} \mathrm{d}x = \begin{cases} \frac{1}{\alpha + 1} x ^ {\alpha + 1}\\ \ln \vert x \vert \end{cases} \\ &\int e ^ x \mathrm{d}x = e ^ x + C\\ &\int a ^ x \mathrm{d}x = \frac{a ^ x}{\ln a} + C\\ &\int \sin x \mathrm{d}x = = -\cos x + C\\ &\int \cos x \mathrm{d}x = \sin x + C\\ &\int \frac{\mathrm{d}x}{1 + x ^ 2} = \arctan x + C\\ &\int \frac{\mathrm{d}x}{a ^ 2 + x ^ 2} = \frac{1}{a} \arctan x + C\\ &\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos ^ 2 x} = \tan x + C\\ &\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x ^ 2}} =\arcsin x + C &\int \frac{-\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x ^ 2}} =\arccos x + C \end{aligned}$$

注：

1. 连续函数均有原函数
2. 出等函数的导函数是初等函数，但是初等函数的不定积分不一定是初等函数

分部积分和换元形式

分部积分

$f, g$ 在 $I$ 上可微

$\int f'(x)g(x) \mathrm{d}x = f(x) g(x) - \int f(x) g'(x) \mathrm{d}x$ 称为不定积分的分部积分

或者等价的有 $\int f(x) \mathrm{d} g(x) = f(x) g(x) - \int g(x) \mathrm d f(x)$

$$\newcommand\m[2]{\int #1\mathrm{d} #2} \begin{aligned} &\int \ln x \mathrm{d}x = x\ln x - \int \frac{1}{x}x \mathrm{d}x = x\ln x - x \\ &\int x e ^ x \mathrm{d}x = x e ^ x - \int e ^ x \mathrm{d}x = x e ^ x - e ^ x\\ &\int e ^ x \sin (tx) \mathrm{d}x = \int \sin (tx) \mathrm{d e ^ x} = \sin (tx) e ^ x - t\int e ^ x \cos(tx) \mathrm{d}x = \sin (tx) e ^ x - t[e ^ x \cos (tx) + t \int e ^ x \sin (tx) \mathrm{ d}x ] \\ &\Rightarrow (1 + t ^ 2) \int e ^ x \sin (tx) \mathrm{d}x = e ^ x (\sin (tx) - t \cos (tx))\Rightarrow \int e ^ x \sin (tx) \mathrm{d}x = \frac{e ^ x}{1 + t ^ 2} (\sin (tx) - t \cos (tx)) \\ &\int \sin ^ n x = -\m{\sin ^ {n - 1}}(-\cos x) = -\sin ^{n - 1} x \cos x + \int \cos x \mathrm{d} \sin ^ {n - 1} x = -\sin ^{n - 1} x \cos x + (n - 1) \int \cos ^ x \sin ^ {n - 2} x \mathrm d x \\ &=-\sin ^ {n - 1} x\cos x + (n - 1) \int \sin ^ {n - 2} \mathrm d x - (n - 1) \int \sin ^ {n} x \mathrm d x \end{aligned}$$

于是我们得到

$\int \sin ^ n x \mathrm{d}x = - \frac{1}{n}\sin ^ {n - 1} x\cos x+ \frac{n - 1}{n} \int \sin ^ {n - 2} x \mathrm{d} x$

$n = 1$ 时，$\int \sin x \mathrm{d} x = -\cos x + C$

$n = 2$ 时，$\int \sin ^ 2 x \mathrm{d} x =-\frac{1}{2} \sin x \cos x + \frac{1}{2} x + C$

设 $a > 2$ 考虑不定积分，

$$F = \int \frac{\mathrm{ d} x}{x ^ 4 + a x ^ 2 + 1}, G = \int\frac{x ^ 2 \mathrm{d}x}{x ^ 4 + a x ^ 2 + 1}$$

我们有

$$F + G = \int \frac{\left(1 + \frac{1}{x ^ 2}\right)\mathrm{d} x}{x ^ 2 + a + \frac{1}{x ^ 2}} = \int \frac{\mathrm{d} (x - \frac{1}{x})}{x ^ 2 + a + \frac{1}{x ^ 2}} = \frac{1}{\sqrt{a + 2}} \arctan \frac{x - \frac{1}{x}}{\sqrt{a +2}} + C \\ F - G = \int \frac{\left(1 - \frac{1}{x ^ 2}\right)\mathrm{d} x}{x ^ 2 + a + \frac{1}{x ^ 2}} = \int \frac{\mathrm{d} (x +\frac{1}{x})}{x ^ 2 + a + \frac{1}{x ^ 2}} = \frac{1}{\sqrt{a -2}} \arctan \frac{x +\frac{1}{x}}{\sqrt{a - 2}} + C$$

注：连续函数有原函数，反之不一定，比如说

$$F(x) = \begin{cases} x ^ 2 \sin \frac{1}{x}& x \not = 0\\ 0 & x = 0 \end{cases} ,f(x) = \begin{cases} 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} & x\not = 0 0 & x = 0 \end{cases}$$

显然 $x = 0$ 时 $f(x)$ 在 $x = 0$ 时，不连续。

分部函数函数的积分

因式分解

$$P(x) = a_n x ^ n+\ldots + a_0 \\ Q(x) = b_n x ^ m + \ldots + b_0\\ R(x) = \frac{P(x)}{ Q(x)}$$

1. $n \ge m, R(x)$ 称为假分式
2. $n < m, R(x)$ 称为真分式

$n$ 次复系数多项式一定有根 $\leftrightarrow$ $n$ 复系数次多项式有 $n$ 个复根。

若为实系数多项式：

$Q(x) = q(x - x_1) ^ {r_1} (x - x_2) ^ {r_2} \ldots (x - x_k) ^ {r_k} (x ^ 2 + b_1x + c) ^ {s_1}\ldots (x^2 + b_l x + c_l) ^ {s_l}$

其 $q \in \mathbb R, \sum\limits_{j = 1} ^ k r + 2 \sum\limits_{j = 1} ^ l s = m, \delta_j = b_j ^ 2 - 4 c_j < 0$

一般而言

$$Q(x) = Q_1(x)(x - a) ^ m$$

那么我们有

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}\sum\limits_{k = 1} ^ m \frac{A_k}{(x - a) ^ k}$$

如果存在

$$Q(x) = Q_1(x)(x +bx + c) ^ m,b ^ 2 - 4c < 0$$

那么我们有

$$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}\sum\limits_{k = 1} ^ m \frac{A_k}{(x +bx+c) ^ k}$$

由因式分解，因该有

$$\begin{aligned} &\int \frac{\mathrm{d}x}{(x - a) ^ m} = \begin{cases} -\frac{1}{ m - 1}(x - a) ^ {-m + 1} + C & m \not = 1\\ \ln \vert x - a\vert + C & m = 1 \end{cases} \\ &\int \frac{2x \mathrm{d}x}{(x ^ 2 + a ^ 2) ^ m}= \int \frac{\mathrm{d} (x ^ 2 + a ^ 2)}{(x ^ 2 + a ^ 2) ^ m} = \begin{cases} -\frac{1}{ m - 1}(x ^ 2 + a ^ 2) ^ {-m + 1} + C & m \not = 1\\ \ln (x ^ 2 + a ^ 2)+ C & m = 1 \end{cases} \\ &\int \frac{\mathrm{d} x}{(x ^ 2 + a ^ 2) ^ m} = \frac{x}{(x ^ 2 + a ^ 2) ^ m} + 2m \int \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+a^2)^{m+1}}\\ &=\frac{x}{(x ^ 2 + a ^ 2) ^ m} + 2m\int \frac{\mathrm{d} x}{(x^2+a^2)^m} - 2ma^2\int\frac{\mathrm{d}x}{(x ^ 2 +a ^ 2) ^ {m + 1}} \end{aligned}$$

于是我们得到递推式

$$\int \frac{\mathrm{d} x}{(x ^ 2 + a ^ 2) ^ {m + 1}} =\frac{1}{2ma ^ 2} \frac{x}{(x^2+a^2)^m}+\frac{2m - 1}{2ma ^ 2} \int\frac{\mathrm{d}x}{(x ^ 2 + a ^ 2) ^ m}$$

例子

$R(x) = \frac{x ^ 2 + x - 1}{(x - 1) ^ 2 (x - 2)}$

计算不定积分 $\int R(x) \mathrm{d} x$

解：

$R(x) = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1) ^ 2} + \frac{C}{x - 2}, C = \lim\limits_{x \rightarrow 2}(x - 2) R(x) = 7, B = \lim\limits_{x\rightarrow 1} (x - 1) ^ 2 R(x) = -3, A = \lim \limits_{x\rightarrow 1}(R(x) + \frac{3}{(x - 1) ^ 2}) = -6$

$$\begin{aligned} &\int \frac{\mathrm{d}x }{x ^ 4 + 1} = \int \frac{\mathrm{d} x}{(x ^ 2 + \sqrt{2} x + 1)(x ^ 2 - \sqrt{2} x + 1)} =\int \left(\frac{x + \sqrt{2}}{2\sqrt{2}(x ^ 2 + \sqrt{2} x + 1)} - \frac{x - \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} (x ^ 2 - \sqrt{ 2} x + 1)}\right)\mathrm{d} x \\ &= \int \left(\frac{x + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}(x ^ 2 + \sqrt{2} x + 1)} - \frac{x - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{2}(x ^ 2 -\sqrt{2} x + 1)}\right) \\ &=\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\log (x ^ 2 + \sqrt{2}x + 1) - \log (x ^ 2 - \sqrt{2} x + 1)\right) + \frac{\sqrt{2}}{4}\left(\arctan(\sqrt{2}x + 1) - \arctan(\sqrt{2}x - 1)\right) + C \end{aligned}$$

可化为有理函数

形如 $\sum\limits_{i = 0}^n\sum\limits_{j = 0} ^m a_{ij} u ^ i v ^ j$ 称为二元多项式 $R(u, v) = \frac{P(u, v)}{Q(u, v)}$

使用万能公式，我们有 $t = \tan \frac{x}{2}, \sin x = \frac{2t}{1 + t ^ 2}, \cos x = \frac{1 - t ^ 2}{1 + t ^ 2}, \mathrm{d} x = \frac{2\mathrm{d}t}{1 + t ^ 2}$

$$\begin{aligned} &\int R(\cos x, \sin x) \mathrm{d}x \\ &\int R(\frac{1 - t ^ 2}{1 + t ^ 2}, \frac{2t}{1 + t ^ 2}) \frac{2 \mathrm{d} t} {1 + t ^ 2} \end{aligned}$$

$n$ 中特殊情形：

1. $R(-u, v) = -R(u, v), \exists R_1, \text{s.t.} R(u, v) = R_1(u ^ 2 , v) u$，令 $t = \sin x$, $\int R(\cos x, \sin x) \mathrm{d}x = \int R_1 (\cos ^ 2 x, \sin x) \cos x \mathrm{d}x = \int R_1(1 - t ^ 2, t)\mathrm{d}t$
2. $R(u, -v) = -R(u, v), \exists R_2, \text{s.t.} R(u, v) = R_2(u , v^2) v$，令 $t = \cos x$, $\int R(\cos x, \sin x) \mathrm{d}x = -\int R_2 (\cos x, \sin^2 x) \cos x \mathrm{d}x = \int R_1(1 - t ^ 2, t)\mathrm{d}t$
3. $R(-u, -v) = R_3(u, v), \exists R_3, \text{s.t.} R(u, v) = R_3(u ^ 2, \frac{v}{u})$，令 $t = cos x$，$\int R(\cos x, \sin x ) \mathrm{d}x =-\int R_3(t, 1 - t ^ 2) {\mathrm{d}t}$
   ]

例1

$$\int \frac{\sin ^ 5 x}{\cos ^ 4 x} \mathrm{d} x = -\int \frac{\sin ^ 4 x}{\cos ^ 4 x} \mathrm{d} \cos x\stackrel{y = \cos x}{=} -\int \frac{(1 - y ^ 2) ^ 2}{y ^ 4} \mathrm{d}y = \frac{1}{3 \cos ^ 3 x} + \frac{1}{\cos x} - \cos x + C$$

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\cos x + \sin x} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\cos ^ 2 x(1 + \tan x) ^ 2} = \int \frac{\mathrm{d} \tan x}{1 + \tan ^ 2 x} \stackrel{y = \tan x}{=} \int \frac{\mathrm{d} y}{(1 + y)^2} = \frac{-1}{1 + y} + C = -\frac{\cos x}{\sin x + \cos x} + C$$

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{2 + \cos x} \stackrel{t = \tan \frac{x}{2}}{=} \int \frac{1}{2 + \frac{1 - t ^ 2}{1 + t ^ 2}} \frac{2\mathrm{d}t}{1 + t ^ 2} = \int\frac{2\mathrm{d}t}{3 + t ^ 2} =\frac{2}{\sqrt{ 3}} \arctan \frac{t}{\sqrt{3}} + C$$

例2

$$\int R(x, \sqrt[m]{\frac{\alpha x + \beta}{\gamma x + \delta}}) \mathrm{d}x$$

其中 $\alpha \delta - \beta\gamma \not = 0$

$$\begin{aligned} t^m = \frac{\alpha x + \beta}{\gamma x + \delta} &\Leftrightarrow& x = \frac{\frac{\delta}{\alpha} t ^ m - \frac{\beta}{\alpha}}{ 1 - \frac{\gamma}{\alpha} t ^ m} = \frac{\delta t ^ m - \beta}{\alpha - \gamma t ^ m} = \phi(t)\\ \int R(x, \sqrt[m]{\frac{\alpha x + \beta}{\gamma x + \delta}})\mathrm{d}x = \int R(\phi(t), t) \phi'(t) \mathrm{d} t \end{aligned}$$

例3

$$\int \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}} \mathrm{d}x \stackrel{t ^ 2 = \frac{x - 1}{ x+ 1} \Leftrightarrow x = \frac{2}{1 - t ^ 2} - 1, \mathrm{d} x = \frac{4t \mathrm{d}t}{(1 - t ^ 2) ^ 2}}{=}\int \frac{4t ^ 2}{(1 - t ^ 2) ^ 2} \mathrm{d}t = \int \left(\frac{1}{t - 1} + \frac{1}{t + 1} + \frac{1}{(t - 1) ^ 2} + \frac{1}{(t + 1) ^ 2}\right) \mathrm{d} t = \ln |t - 1| - \ln |t + 1| - \frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1} + C$$

$$\int R(x, \sqrt{a x ^ 2 + bx + c}) \mathrm{d}x \\ ax ^ 2 + bx + c = a(x + \frac{b}{2a}) ^ 2 - \frac{b^2-4ac}{4a``}$$

此处中间有很多东西

椭圆积分

$\int R(x, y) \mathrm{d}x$ $y$ 为 $x$ 的代数函数。

$$P_0(y) x ^ n + \ldots + P_{n - 1}(x) x + P_n(y) = 0$$

此处差点东西

一般而言这种东西可以微，那么有三类

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(1 - x ^ 2)(1 - k ^ 2 x ^ 2)}} \\ 此处应有两个$$

函数的积分

积分的概念

引例

计算曲边梯形的面积

是 $f\in C([a, b]), f(x) > 0, \forall x \in [a, b]$，计算 $x = a, x = b, f(x), y = 0$ 围成的面积

1. $f = c, S = c(b - a)$
2. $f = x, A = \frac{b ^ 2 - a ^ 2}{2}$

希望对于一般的函数，也能做。

取 $\xi_i \in [x_{i - 1}, x_i]$ $\sums\limits_{i = 1} ^ n f(\xi_i)\delta_i$

我们如果令 $\lambda = \max(x_{i + 1} - x_i), \lim_{\lambda\rightarrow 0} f(\xi_i)(x_i - x{i - 1})$

积分的定义

定义：$f:[a, b]\rightarrow \mathbb R, I \in \mathbb R$ 若 $\varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \text{s.t.}$ 对于 $[a, b]$ 的任意带标记点的分割 $(P, \xi), P:a = x_0 < x_1 < \ldots < x_{i} < \ldots < x_n = b$

当 $\Vert P = \Vert = \max(x_{i} - x{i - 1}) < \delta$ 都有 $\vert \sum_{i = 1} ^ n f(\xi_i) (x_i - x_{i - 1}) - I \vert < \varepsilon$，称 $f$ 在 $[a, b]$ 上是 Rieman 可积分的，记为 $\int_a ^ b f(x) \mathrm{d}x$

注：$\lim\limits_{\Vert P \Vert\rightarrow 0} \sum\limits_{i = 1} ^ n f(\xi _i)(x_i - x_{i - 1} ) = \int ^ b _a f(x) \mathrm{d}x,\delta x_i = x_i - x_{i - 1}, S (P, \xi) = \sum\limits_{i = 1} ^ n f(\xi_i) \delta x_i$ 称为带标记点的 Rieman 和，$[a, b]$ 称为积分区间

问题：

1. 满足什么条件可以让函数可以积分

2. 如何计算？

3. $f(x) = c, \int ^ b_a f(x) \mathrm{d}x = \int ^ b_ac \mathrm{d}x = c(b - a)$

4. $f(x) = x, \int ^ b_a x\mathrm{d}x$，取 $\xi_i = \frac{x_i + x_{i - 1}}{2}$，那么原来的式子是 $=\frac{b ^ 2 - a ^ 2}{2}$，下面证明无论怎么取都对，$\vert S(P, \eta) - \frac{b ^ 2 - a ^ 2}{2}\vert = |\sum_{i = 1} ^ n (\xi_i, \eta_i) \delta x_i| \le \Vert P \Vert \sum_{i = 1} ^ n \delta x_i \rightarrow 0$

例：$D(x) = \begin{cases}1&\mathbb Q \cap[0, 1] \\ 0 & [0, 1] \backslash \mathbb Q\end{cases}$

可积函数性质

定义：$[a, b]$ 上可积函数的全体记称 $\mathcal{R}[a, b]$

定理：$[a, b]$ 上的连续函数或者单调函数一定可积（Rienman可积）

定理：(Lebesgue 定理)

$f \in \mathcal{R}[a, b] \Leftrightarrow f$ 在 $[a, b]$ 上几乎处处连续

积分的性质可以类比之前的东西

Newton-Leibniz 公式

定理：设 $f \in \mathcal{R}[a, b]$，存在 $[a, b]$ 连续且 $(a, b)$ 可微函数 $F(x), \text{s.t.} F'(x) = f(x)$ 则 $\int^b_a f(x) \mathrm{d}x - F(b) - F(a) - F(x) \vert_a ^ b$。

$$\begin{aligned} F(b) - F(a) &= \sum_{i = 1} F(x_i) - F(x_{i - 1}) \\ &= F'(\xi_i) \delta x_i\\ &=\sum_{i = 1} ^ n f(\xi_i) \delta x_i \end{aligned}$$

令 $\Vert P \Vert \rightarrow 0$，那么 $\int ^b _a f(a) = \mathrm{d} x = F(b) - F(a)$

可积函数的性质

1. 有界性，设 $f\in \mathcal{R}[a, b]$ 则 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界

这里应该补一下

2. 线性性

定理：设 $f, g \in \mathcal{R}[a, b]$ 且 $\int \alpha f + \beta g \mathrm{d}x= \alpha \int ^ b _a f(x) \mathrm{d}x + \beta \int ^ b _a g(x) \mathrm{d}x$

3. 区间可加性

定理：设 $f\in \mathcal R[a, b], c \in (a, b)$ 则 $f \vert_{[a, c]} \in \mathcal R[a, c], f\vert_{[c, b]}\mathcal{R}[c, b]$

规定：

$\int ^ b_a f(x) \mathrm{d}x = -\int ^ a_b f(x) \mathrm{d}x$

4. 绝对可以积性

定理：设 $f\in \mathcal{R}[a, b], \vert f(x) \vert \in \mathcal{R}[a, b]$ 且 $\int _a ^ b f(x) \mathrm{d}x \le \int _a ^ b \vert f(x) \vert \mathrm{d}x$

5. 保序性

定理：设 $f, g \in \mathcal{R}[a, b]$ 且 $f(x) \le g(x)$ 则 $\int ^ b _a f(x) \mathrm{d} x\le int ^ b_a g(x) \mathrm{d}x$

6. 积分中值定理

积分第一中值定理：

定理：设 $f\in C([a, b])$ 则 $\exists \xi \in [a, b],\text{s.t.} \int ^ b _a f(x) \mathrm{d} x = f(\xi) (b - a)$

带权积分中值定理：

设 $f \in C([a, b]), g \in \mathcal{R}[a, b]$ 且 $g$ 在 $[a, b]$ 上不变号，则 $\xi \in [a, b], \text{s.t.} \int ^ b_a f(x) g(x) \mathrm{d}x = f(\xi) \int ^ b _a g(x) \mathrm{d}x$

积分第二中值定理：

设 $f, g\in \mathcal{R}[a, b]$, $g$ 在 $[a, b]$ 上单调，则 $\exists \xi \in [a, b], \text{s.t.}, \int ^ b _a f(x) g(x) \mathrm{d}x = g(a) \int ^ \xi _a f(x) \mathrm{d}x + g(b) \int ^ b_\xi f(x) \mathrm{d}x$

微积分基本定理

定理

定理：设 $f\in \mathcal R[a, b]$，定义变上限积分 $F(x) =\int ^ x_a f(t) \mathrm{d}t$，则由定义有 $F(x) \in C([a, b])$

定理2：设 $f\in \mathcal R[a, b], x_0 \in [a, b]$，$f$ 在 $x_0$ 点连续，则 $F(x) = \int ^ x _a f(t) \mathrm{d}t$ 在 $x_0$ 处可导，并且 $F'(x_0) = f(x_0)$

定理3（微积分基本定理）

设 $f\in C([a, b])$，则 $f$ 在 $[a, b]$ 上有原函数 $F(x) = \int ^ x _a f(t) \mathrm{d}t$ 且 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int ^ x_a f(t) \mathrm{d}t = f(x)$

注：

1. 若 $f$ 有有限多个间断点，则 $F$ 在 $[a, b]$ 上连续，并且除有限个点外，$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int ^ x _a f(t) \mathrm{d}t = f(x)$
2. 除去有限个点外，$F'(x) = f(x)$，称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的广义原函数，
3. 若 $f$ 有限多个间断点，则 $NL$ 仍然成立

例子

例一：$\psi:[\alpha,\beta] \rightarrow[a, b]$ 可微，$f:[a, b] \rightarrow \mathbb R$ 连续，定义 $F(t) = \int ^ {\psi(t)}_a f(x) \mathrm{d}x, G(t) = \int ^ b_\psi(t) f(x) \mathrm{d}x$，则 $F'(t) = f(\psi(t))\psi'(t), G'(t) = -f(\psi(t))\psi'(t)$

例二：计算 $\lim\limits_{x\rightarrow \infty} \frac{\int ^ x_0 t ^ 2 e ^ {t ^ 2}}{x e ^ {x ^ 2}} = \frac{1}{2}$

例三：设 $f\in C([a, b])$ 且单调递增，则 $\int ^ b_a x f(x) \mathrm{d}x \ge \frac{a + b}{2} \int ^ b_a f(x) \mathrm{d}x$

分部积分和换元公式

分部积分

定理，设 $u, v\in C ^ ([a, b])$ 则 $\int ^ b_a u v'\mathrm{d}x = uv \vert ^ b _a - \int ^ b_a u'v\mathrm{d}x$，其实只需要 $u', v' \in \mathcal{R}[a, b]$ 即可

例1：

$\int ^ 2 _1 x\ln x \mathrm{d}x = \frac{x ^ 2 \ln x}{2} \vert_1 ^ 2 - \frac{1}{2} \int ^ 2 _1 {x} \mathrm{d}x$

例2：$I_n = \int ^ {\frac{\pi}{2}}_0 \cos ^ n x\mathrm{d}x = (n - 1) \int ^ {\frac{\pi}{2}}_{0}\sin ^ 2 x \cos ^ {n - 2} x \mathrm{d}x = (n - 1) I_{n - 2} - (n - 1) I_n$

积分型余次的 Taylor 公式

定理：设 $f \in C ^ {(n + 1)} ([a, x])$ 则 $f(x) = \sum\limits _{k = 0} ^ n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a) ^ k + \frac{1}{n!} \int ^ x _a f^{(n + 1)}(t) (x - t) ^ n \mathrm{d}t$

注：

$$\begin{aligned} &\int ^ x _a f ^ {(n + 1)}(t) (x - t ) ^ n \mathrm{d} t \\ &=\int ^ x _a f ^ {(n + 1)}(x - t) ^ k (x - t) ^ {n - k } \mathrm{d}t\\ &=f ^{(n + 1)} (\xi)(x - \xi) ^ k \int ^ x _a(x - t) ^ {n - k} \\ &= f ^ {(n + 1)}(\xi) (x - \xi) ^ k \frac{(x - a) ^ {n - k + 1}}{n - k + 1} \end{aligned}$$

上述公式在 $k = 0$ 时是 Lagrange 余项，在 $k = n$ 的时候是 Cauchy 余项

原来满足 Lagrange 余项或 Cauchy 余项的 Taylor 公式只需要 $f ^ {(n)}$ 在 $[a, b]$ 上连续并且在 $(a, b)$ 上可导

换元

$F:[a, b] \rightarrow \mathbb R$ 可微

$\phi:[\alpha, \beta] \rightarrow [a, b]$ 也可微

则 $\frac{\mathrm{d}F\phi(t)}{ \mathrm{d}t} = F'(\phi(t)) \phi'(t)$

其中 $F$ 为 $f$ 的原函数

定理：设 $f\in C([a, b]), \phi:[\alpha, \beta] \rightarrow [a, b]$ 可微并且 $\phi' \in \mathcal{R}[\alpha, \beta], \phi(\alpha) = a, \phi(\beta) = b$

则有 $\int ^ b_a f(x) \mathrm{d}x = \int ^ \beta_\alpha f(\phi(t)) \phi'(t) \mathrm{d}t$

注：若 $f\in \mathcal{R}[a, b]$ 即设 $\phi\in C ^\infty, f\circ \phi$ 也不一定是 Riemann 可积的

定理：设 $\phi:[\alpha, \beta]$ 可微且严格单调，$\forall f \in \mathcal{R}[a, b]$ 则有 $f(\phi(t)), \phi'(t) \in \mathcal{R}[\alpha, \beta]$ 且 $\int ^ {\phi(\beta)}_{\phi(\alpha)} f(x) \mathrm{d}x = \int ^ \beta_\alpha f(\phi(t))\phi'(t) \mathrm{d} x$

定理：设 $\phi:[\alpha, \beta]$ 可微且严格单调，$\forall f \in \mathcal{R}[a, b]$ 则有 $f(\phi(t)) \phi'(t) \in \mathcal{R}[\alpha, \beta]$ 且 $\int ^ {\phi(\beta)}_{\phi(\alpha)} f(x) \mathrm{d}x = \int ^ \beta_\alpha f(\phi(t))\phi'(t) \mathrm{d} x$

可积理论(Darbowx)

$f\in \mathcal{R}[a, b] \Rightarrow f$ 有界 必要条件

充分条件是什么？

记号

• 设 $(P, \xi)$ 为 $[a, b]$ 的一个带标记分割
• $\Delta x_i = x_i - x_{i - 1}$
• $\Delta _i = [x_{i -1}, x_i]$
• $\tilde{P}$ 为 $P$ 的加细分割，若 $\tilde{P}$ 为 $P$ 的分割增加分割点得到的分割。
• $\Delta_{ij} = [x_{i, j-1},x_{i, j}]$
• $\Delta x_{i,j}= x_{i, j} - x_{i, j - 1}$
• $\Delta_i = \bigcup\limits_{j = 1} ^ {m_i} \Delta_{ij}$
• $\Delta x_i = \sum_{j = 1} ^ {m_i} \Delta x_{i, j}$
• 振幅 $E\subset \mathbb R$ ,$f$ 为定义在 $E$ 上的函数 $\omega(f;E) = \sup_{x_1, x_2\in E}\vert f(x_1) - f(x_2) \vert$
• Riemann 求和 $S(f, P, \xi) = S(P, \xi) = \sum_{i = 1} ^ n f(\xi_i) \Delta x_i$

可积的充分条件

定理：设 $f$ 为 $[a, b]$ 有界，$\forall \varepsilon > 0, \exists > 0, \text{s.t.}$ 对于任意 $[a, b]$ 带标记点分割 $(P, \xi)$ 满足 $\Vert P\Vert < \delta$，均有 $\sum \omega (f;\Delta_i) \Delta x_i < \varepsilon$ 则 $f\in \mathcal{R}[a, b]$

问：如果 $f\in \mathcal R[a, b], \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$ 对于任意 $(P, \xi), \Vert P \Vert < \delta$ 是否有 $\sum \omega(f;\Delta _i) \Delta x_i < \varepsilon$

推论1：设 $f \i C([a, b])$ 则 $f\in \mathcal R[a, b]$

推论2：若 $f$ 有界在 $[a, b]$ 上除有限个间断点外连续 则 $f\in \mathcal{R}[a, b]$

推论3：设 $f:[a, b]\rightarrow \mathbb R$ 单调函数，则 $f\in \mathcal{R}[a, b]$。

darboux 可积

定义：设 $f:[a, b]$\rightarrow\mathbb R$ 函数，$(P,\xi)$ 为一个分割令 $m_i = \inf_{x\in \Delta _i} f(x), M_i = \sup_{x\in \Delta x_i} f(x)$

$$\underline{S}(f; P) = \sum\limits^n_{i = 1}m_i \Delta x_i\\ \overline{S}(f; P) = \sum\limits^n_{i = 1}m_i \Delta x_i$$

称上面那个是 Darboux 上和，下面那个是 Darboux 下和，

$$\underline{S}(f; P) \le S(f; P, \xi) \le \overline{S}(f, P)$$

定理：

Darboux 上下和仅依靠分割，不依赖标记点。

加细之后，下和不减，上和不增

定义，Darbowx 上下积分

$$\underline{I} = \sup_{P} \underline{S}(f; P)\\ \overline{I} = \inf_{P} \overline{S}(f; P)$$

称上面的是 Darboux 下积分，记 $\underline{\int} ^ b_a f(x) \mathrm{d}x$，称上面的是 Darboux 上积分，记 $\overline{\int} ^ b_a f(x) \mathrm{d}x$

定理 Darboux：设 $f:[a, b]\rightarrow \mathbb R$ 有界函数

$$\underline{I} = \lim\limits_{\Vert P\Vert\rightarrow 0} \underline{S} (f; P) \\ \overline{I} = \lim\limits_{\Vert P\Vert\rightarrow 0} \overline{S} (f; P)$$

设 $f:[a, b] \rightarrow \mathbb R$ 有界，那么 $f\in \mathcal{R}[a, b] \Leftrightarrow \overline{I} = \underline{I} = I$

只需要证明 $\underline{I} = \lim\limits _{\Vert P \Vert \rightarrow 0} \underline{S}(f; P)$

我们要证明 $\forall \varepsilon > 0, \exists\delta > 0,\text{s.t.} \Vert P \Vert < \delta$ 时，

$$\underline{I} - \varepsilon < \underline{S}(f; P) \le \underline{I}$$

则存在分割 $P_0$ 使得 $\underline{I} - \frac{\varepsilon}{2} < \underline{S}(f; P_0)$，使得我们记 $P_0$ 有 $k$ 个分割点，那么对于 $[a, b]$ 的任意分割 $P$ 满足：

$$\underline{S}(f; P_0 \cup P) - \underline{S} (f; P) \le k \omega(f; [a, b])\Vert P\Vert$$

因此我们得到

$$\underline{S}(f; P) \ge \underline{S}(P \cup P_0) - k \omega M \Vert P \Vert > I - \frac{\varepsilon}{2} - k M \Vert P \Vert$$

则，在 $\Vert P \Vert \rightarrow 0$ 时，$\underline{I} \ge \underline{S}(f; P) > I - \varepsilon$

如此，我们得到， $\underline{I} = \underline{S}(f; P)$

推论：(Darboux) $f:[a, b] \rightarrow \mathbb R$ 有界函数，那么 $\forall P, \lim \limits_{ \Vert P \Vert \rightarrow 0} \omega(f_i, \Delta_i) \Delta x_i = 0$

Lebesgue 定理

零测集

$\forall \varepsilon > 0, \exists \{I_\lambda\}_{\lambda \in \Lambda},\text{s.t.} E \subset \bigcup\limits_{i \in \Lambda} I_i, \sum\limits_{i \in \Lambda} \vert I_i\vert < \varepsilon$

引理：$f:E\rightarrow \mathbb R$ 函数

$f$ 在 $x\in E$ 上连续 $\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \omega(f; U_{E} (x; \delta)) < \varepsilon$

Lebesgue 定理

设 $f:[a, b]$ 上有界

$f\in \mathcal{ R}[a, b]\Leftrightarrow f$ 在 $[a, b]$ 上几乎处处连续，$\text{i.e.}, f$ 在 $[a, b]$ 上去掉一个零测集上连续。

可积函数性质

1. $f, g\in \mathcal{R}[a, b], \forall \alpha, \beta \in \mathbb R, \alpha f + \beta g \in \mathcal{R}[a, b]$
2. $f \in \mathcal{R}[a, b]$ 则 $\vert f \vert \in \mathcal{R}[a, b], D(\vert f \vert) \subset D(f)$
3. $f\in \mathcal{R}[a, b], \forall [\alpha, \beta] \subset [a, b]$ 则 $\left. f\right\vert_{[\alpha,\beta]}\in \mathcal{R}[\alpha,\beta]$
4. $f, g \in \mathcal{R}[a, b]$ 则 $fg\in \mathcal{R}[a, b]$

积分第二中值定理

定理：设 $f, g\in \mathcal{R}[a, b], g$ 在 $[a, b]$ 上单调，

则 $\exists \xi \in [a, b], \text{s.t.} \int _a ^ b f(x) g(x) \mathrm{d}x = g(a) \int _a ^ \xi f(x) \mathrm{d}x + g(b) \int ^ b_\xi f(x) \mathrm{d}x$

注：若 $f, g\in C^{1}[a, b]$ 令 $F(x) = \int _a ^ x f(t) \mathrm{d}t,\int ^ b_af(x) g(x) \mathrm{d}x = \int _a ^ b g \mathrm{d} F =F g \vert_a ^ b - \int _a ^ b F g'\mathrm{d}x = g(b) \int _a ^ b f(x)\mathrm{d}x - \int ^b_a F(x)g'(x) \mathrm{d}x$

由于第一积分中值定理 $g'(x)$ 在 $[a, b]$ 上不变号，所以 $\exists \xi$ 使得

$$F(\xi)[g(b) - g(a)] = \int ^ b_a F(x) g'(x) \mathrm{d}x$$

带入回去就做完了。这是百度百科的做法。

Riemann-Lebesgue 引理：

设 $f\in \mathcal{R}[a, b]$

$$\lim_{\lambda\rightarrow +\infty}\int ^b_a f(x) \cos{\lambda}x = \lim_{\lambda\rightarrow +\infty}\int ^b_a f(x) \sin{\lambda}x = 0$$

广义积分

广义积分

考虑在 $(0, 1]$ 上的连续函数 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 其图像和 $x = 0, x = 1$ 以及 $x$ 轴的区域虽然无界，但是其面积是有界的。

定义：

设函数 $f:[a, +\infty) \rightarrow \mathbb R$，在任意闭区间 $[a, b]$ 上可积，如果极限

$$\lim_{b\rightarrow + \infty} \int ^ b_a f(x) \mathrm{d}x$$

存在，那么称此为函数 $f$ 在 $[a, +\infty)$ 上的反常积分，记作

$$\int _a ^ {+\infty} f(x) \mathrm{d}x$$

注：如果极限不存在，那么也使用此符号，并称之为 $[a, +\infty)$ 上的反常积分，且发散的。如果极限存在，那么是收敛的。

我们可以类似的定义反常积分

$$\int _{-\infty} ^ a f(x) \mathrm{d}x$$

及其收敛性。

例 1.3：

考虑反常积分

$$\int_1 ^ {+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{ x ^ p}, p\in \mathbb R$$

• $p > 1$ 时，积分收敛
• 否则发散

定义：

设函数 $f:[a, \beta) \rightarrow \mathbb R$ 在任一闭区间 $[a, b] \subset [a, \beta)$ 上可积， 如果极限

$$\lim_{b\rightarrow \beta^-} \int _a ^ b f(x) \mathrm{d}x$$

存在，则称瑕积分 $\int _a ^ \beta f(x) \mathrm{d}x$ 收敛， 反之则称其为发散的。 这里 $\beta$ 称为此反常积分的瑕点。

假定 $f$ 在 $(\alpha, b]$ 上有定义，在任一区间上 $[a, b] \subset (\alpha, b]$ 上可积，同样可以定义反常积分

$$\int ^ b_\alpha f(x) \mathrm{d}x$$

的敛散性.

例 1.4. 积分

$$\int ^ 1_0 \frac{\mathrm{d}x}{ x ^ p}$$

解: 因

$$\int ^ 1_a \frac{\mathrm{d}x}{ x ^ p} = \begin{cases} \left.\frac{x ^ {1 - p}}{1 - p} \right\vert _a ^ 1 & p \ne 1\\ \left.\log x\right \vert_a ^ 1& p = 1 \end{cases}$$

于是

• $p<1$ 时积分收敛
• $p\ge 1$ 时积分发散

注：

如果

• 函数 $f:[a, \beta)\rightarrow \mathbb R$ 在任一闭区间 $[a, b] \subset [a, \beta)$ 可积
• 在 $\beta$ 的某一邻域 $(\beta - \delta, \beta)$ 上有界

则可以补充 $f$ 在 $\beta$ 上的取值使得 $f$ 成为 $[a, \beta]$ 上的有界函数。

由 Lebesgue 定理，$f$ 在 $[a, \beta)$ 上可积

$$F(x) = \int _a ^x f(t) \mathrm{d}t$$

连续，则有

$$\lim_{b\rightarrow \beta} \int _a ^ b f(x) \mathrm{d}x = \int _a ^ \beta f(x) \mathrm{d}x$$

上式右边的积分为通常意义下的 Riemann 积分。

统一记号：

在 $\omega = \beta$ 或 $\omega =+\infty$ 上面考虑的反常积分通常记作

$$\int _a ^ \omega f(x) \mathrm{d}x$$

在 $\omega = \alpha$ 或 $\omega =-\infty$ 上面考虑的反常积分通常记作

$$\int _\omega ^ b f(x) \mathrm{d}x$$

也将反常积分

$$\int _b ^ \omega f(x) \mathrm{d}x = -\int ^b_\omega f(x) \mathrm{d}x$$

如果函数 $f:[a, \omega) \cup (\omega, b]\rightarrow\mathbb R$ 在任意区间 $[a, c]\subset [a, \omega)$ 和 $[d, b] \subset (\omega, b]$ 上可积，那么可以考虑反常积分

$$\int _a ^ \omega f(x) \mathrm{d}x, \int _\omega ^ b f(x) \mathrm{d}x$$

如果他们都收敛，那么反常积分

$$\int _a ^ b f(x) \mathrm{d}x$$

也收敛，反之如果有两个中有一个是发散的，那么其也是发散的。

反常积分的性质和通常意义下的积分类似。

分部积分

若 $f, g \in C ^ 1([a, \omega))$

• $f\cdot g', f'\cdot g$ 在 $[a, \omega)$ 的反常积分以及极限
  $\left.f(x) g(x) \right\vert_a ^ \omega = \lim\limits_{x\rightarrow \omega ^-}f(x) g(x) - f(a) g(a)$

中两者收敛，那么则有

$$\int_a ^ \omega f(x) \mathrm{d}g(x) = \left.f(x) g(x)\right\vert _a ^ \omega - \int _a ^ \omega g(x) \mathrm{d} f(x)$$

$\text{NL}$ 公式：

设在 $f:[a, \omega)\rightarrow \mathbb R$ 在任意区间 $[a, b]\subset[a, \omega)$ 上可积，在 $[a, \omega)$ 上有原函数 $F$

则 $\int_a ^ \omega f(x) \mathrm{d}x$ 收敛当且仅当 $\lim\limits_{x\rightarrow \omega ^ -} F(x) = F(\omega)$ 存在，此时有 $\int_a ^ \omega f(x) \mathrm{d}x = F(\omega) - F(a)$

Cauchy 判别法

设在 $f:[a, \omega)\rightarrow \mathbb R$ 在任意区间 $[a, b]\subset[a, \omega)$ 上可积，则 $\int_a ^ \omega f(x) \mathrm{d}x$ 收敛当且仅当 $\forall \varepsilon > 0, \exists b\in [a, \omega)$ 使得对于 $\forall b_1, b_2 \in (b, \omega)$

$$\left\vert \int ^ {b_2}_{b_1} f(x) \mathrm{d}x\right\vert<\varepsilon$$

如果

$$\int_a ^ \omega \vert f(x) \vert$$

收敛，那么称这个反常积分是绝对收敛的

如果一个反常积分绝对收敛，那么他肯定收敛。

设非负 $f:[a, \omega)\rightarrow \mathbb R$ 在任意区间 $[a, b]\subset[a, \omega)$ 上可积，则 $\int_a ^ \omega f(x) \mathrm{d}x$ 收敛当且仅当函数

$$F(x) = \int _a ^ x f(t) \mathrm{d}t$$

有界。

推论：

设 $f$ 为 $[1, +\infty)$ 的非负单调递减函数，那么无穷级数 $\sum_{i = 1} ^ \infty f(i)$ 和反常积分 $\int _a ^ \omega f(x) \mathrm{d}x$ 同收敛

比较判断法：设函数 $f, g:[a, \omega)\rightarrow \mathbb R$ 在任意区间 $[a, b] \subset [a, \omega)$ 均可积，且 $0\le f(x) \le g(x),\forall x \in [a, \omega)$，则当 $\int _a ^ \omega g(x) \mathrm{d} x$ 收敛时，$\int _a ^ \omega f(x) \mathrm{d}x$ 也收敛。

反之，如果 $\int _a ^ \omega f(x) \mathrm{d}x$ 发散，那么 $\int _a ^ \omega g(x) \mathrm{d}x$ 也发散。

推论：设函数 $f, g:[a, \omega)\rightarrow \mathbb R$ 在任意区间 $[a, b] \subset [a, \omega)$ 均可积，且 $0\le c_1f(x) \le g(x)\le c_2 f(x),\forall x \in [a, \omega)$，则 $f, g$ 的反常积分同收敛

条件收敛

如果一个反常积分收敛但是不绝对收敛，那么就是条件收敛的。

设 $f, g:[a, \omega)\rightarrow \mathbb R$ 在任意区间 $[a, b]\subset[a, \omega)$ 上可积且 $g$ 在 $[a, \omega)$ 上单调，那么

• Abel 判别法：$\int _a ^ \omega f(x) \mathrm{d}x$ 收敛，并且 $g$ 在 $[a, \omega)$ 有界
• Dirichlet 判别法：$F(x) = \int_a ^ x f(t) \mathrm{d}t$ 在 $[a, \omega)$ 上有界，且 $\lim\limits_{x\rightarrow \omega^-} g(x) = 0$

之一成立，则

$$\int _a ^ \omega f(x) g(x) \mathrm{d}x$$

收敛。

定义：两端的反常积分

$$\int ^ {\omega_2} _{\omega_1} f(x) \mathrm{d}x = \int ^ {\omega_2} _{c} f(x) \mathrm{d}x+\int ^ {c} _{\omega_1} f(x) \mathrm{d}x$$

如果上式右段端的两个反常积分都收敛，那么左边也收敛。

$\text{Beta}$ 函数：

$$\int _0 ^ 1 x ^ {p - 1} (1 - x) ^ {q - 1} \mathrm{d}x$$

这个东西在 $p > 0, q > 0$

$\text{Gamma}$ 函数：

考虑函数

$$\Gamma(x) = \int _0 ^ {+\infty} t ^ {x - 1} e ^ {-t} \mathrm{d}t$$

当 $x > 0$ 时有定义