高等线性代数笔记

高等线性代数

线性方程组

数域

定义：设 $\mathbb F$ 是 $\mathbb C$ 的一个子集且至少包含两个元素，如果对于 $\forall a, b\in \mathbb F$ 都有 $a + b, a - b, \frac{a}{b}, ab \in \mathbb F$ 则称其是一个数域。

例：

$\mathbb Q(\sqrt 2) =\{a + b \sqrt 2\vert a, b\in \mathbb Q\}$
$\mathbb Q(i) =\{a + b i\vert a, b\in \mathbb Q\}$

一般的 $d \not = 0, 1$ 是一个不含平方因子的数，则 $\mathbb Q(\sqrt d)= \{a + b\sqrt d\vert a, b \in Q\}$ 是一个数域，设 $\alpha \in \mathbb R$ 是一个超越数，即任意不全为 0 的有理数 $a_0, a_1, \ldots, a_m(m\ge 1)$

都有 $a_0 + a_1\alpha + a_2 \alpha ^ 2 + \ldots + a_m \alpha ^ m \not = 0$，换句话说不是任意次数大于等于1的有理系数多项式的根。

例：$\pi, e, 2 ^ {\sqrt 2}$.

令 $\mathbb Q (\alpha) = \{\frac{a_0 + a_1\alpha + a_2 \alpha ^ 2 + \ldots + a_m \alpha ^ m }{b_0 + b_1\alpha + b_2 \alpha ^ 2 + \ldots + b_n \alpha ^ n }\vert b_0,\ldots,b_n, a_0,\ldots, a_m \in \mathbb Q, m, n, \ge 0, a_0, \ldots,a_m不全为0\}\subseteq \mathbb R$

有理数是最小的数域。

域：非空集合+两个二元运算

定义：

$X$ 和 $Y$ 是两个集合，由 $x \in X$ 和 $y \in Y$ 构成的有序对 $(x, y)$ 的集合称为两个集合的笛卡尔积（直积）$X \times Y = \{(x, y)\vert x\in X, y \in Y\}$
$X, Y, Z$ 是三个集合，一个映射 $X \times Y \rightarrow Z, (x, y) \mapsto x\circ y$ 称为一个代数运算，特别的，当 $X = Y = Z$ 的时候，称为在 $X$ 上的二元运算

数的加减乘积是 $\mathbb Q$ 上的二元运算，但是除法不是，然而 $\mathbb Q ^ x = \mathbb Q / \{0\}$ 上除法就是了，一个域类似叫做 $(\mathbb Q, +, \cdot)$

域定义的九个法则

加法结合律
加法交换律
零元
负元
乘法结合律
乘法交换律
单位元
逆元
乘法分配律

只满足 (1, 2, 3, 4, 5, 7, 9) 称为环

只满足 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9) 称为交换环

只满足 (1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9) 称为除环或者四元数环

注：

所有代数域的集合是一个数域
对于每一个素数 $p$，存在一个含有 $p$ 个元素的域
若 $\mathbb F$ 是一个数域，则 $\vert \mathbb F\vert = p ^ n$，其中 $p$ 为素数，$n\ge 1$

线性方程组与Gauss消元与乘除

考虑线性方程组

\[\begin{cases} a_{11}x_1 & +&a_{12}x_2&+&\ldots &+&a_{1n}x_n & =&b_1\\ a_{21}x_1 & +&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n &= &b_2\\ \vdots&&&&&&& \vdots\\ a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2 &+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_m \end{cases}\tag{*} \]

其中 $x_1, \ldots ,x_n$ 是未知元 $a_{ij},b_i\in \mathbb F$，将其称为系数和常数

当 $b_1 = b_2 = \ldots = b_m = 0$，称 $(*)$ 为齐次线性方程组

解线性方程组的基本方法之一：$\text{Gauss}$ 消元

例一

使用高斯消元解线性方程组的例子

\[\begin{cases} 2x_1 &-& 2 x_2 &+& x _3 &= &5\\ x_1 & +& x_2 & + & 2x_3&=&2\\ x_1 & - & x_2 & - & x_3 &=&1 \end{cases}\rightarrow \begin{cases} x_1 &+& x_2 &+& 2x _3 &= &2\\ & -& 4x_2 & - & 3x_3&=&1\\ & - & 2x_2 & - & 3x_3 &=&-1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x_1 &+& x_2 &+& 2x _3 &= &2\\ & & 2x_2 & + & 3x_3&=&1\\ & & & & 3x_3 &=&3 \end{cases} \]

在消元过程中，对线性方程组有三种变换

交换方程位置
用非零数乘上某个方程
将一个方程倍数加上另一个方程

这三个叫做线性方程组初等变换。

命题：初等变换将一个方程组化为与之同解的线性方程组

命题：方程组 $(*)$ 可通过初等变换化为如下阶梯形方程组

\[\begin{cases} a_{1i_1}'x_{i_1}& +&a_{1i_2}'x_{i_2}&+&\ldots &+&a_{1i_n}'x_{i_n} & =&b_1'\\ & &a_{2i_2}'x_{i_2}&+&\ldots&+&a_{2i_n}'x_{i_n} &= &b_2'\\ &&\ddots&&&&& \vdots\\ &&a_{ri_r}'x_{i_r}&+&\ldots&+&a_{r{i_n}}'x_{i_n}&=&b_r' \\ &&&&&&0&=&b_{r + 1}' \\ &&&&&\ddots&&&\vdots \\ &&&&&&0&=&b_{m}' \end{cases}\tag{**} \]

其中 $0\le r \le \min(m,n),1\le i_1 \le \ldots \le i_r\le n,a_{i_1}',a_{i_2}',\ldots ,a_{i_r}' \not = 0$

进一步交换为未知量的位置以及做 $2,3$ 种初等变换，可以化为以下形式

\[\begin{cases} x_{i1} & & &&+&c_{1r + 1}{x_{i_{r + 1}}} &+&\ldots& +&c_{1 n}x_{i_n}& =& d_1\\ &x_{i2} & &&+&c_{2r + 1}{x_{i_{r + 1}}} &+&\ldots& +&c_{2 n}x_{i_n}& =& d_2\\ && \ddots&&\ldots\\ &&&x_{ir}&+&c_{rr + 1}{x_{i_{r + 1}}} &+&\ldots& +&c_{r n}x_{i_n}& =& d_r\\ &&&&&&&&&0 &=& d_{r + 1}\\ &&&&&&&&&&\vdots& \\ &&&&&&&&& 0 &=&d_{n} \end{cases}\tag{***} \]

其中 $i_1, i_2,\ldots i_n$ 是 $1,2,\ldots,n$ 是一个排列或者说 $(x_1, \ldots,x_n)$ 是 $(x_{i1},\ldots,x_{i_n})$ 的一个置换

定理：

若 $ r\not = m $ 时，$r < m$ 且 $d_{r + 1}, \ldots,d_{m}$ 不全为 $0$，则方程组无解
若 $r \not = m$，且 $d_{r _+ 1} = \ldots = d_m = 0$，则有无穷多组解
若 $r = m$
1. $r = n$ 时，$(***)$ 有唯一解
2. $r < n$ 时，$(***)$ 有无穷多解

证明：线性方程组要么没解，要么有唯一解，要么有无穷多姐

假设有 $(*)$ 的两组不同解 $k, l$，那么 $k - l$ 是齐次解，则 $k + c(k - l)$ 也是 $(*)$ 的解 $\forall c \in \mathbb F$。

矩阵

定义：设 $n,m$ 是两个正整数，由数域 $\mathbb F$ 中 $mn$ 个数，$a_{ij}$ 排成一个 $m$ 行 $n$ 列的的矩形图表

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots&a_{1n}\\ a_{21} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1}& \ldots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

称之为 $\mathbb F$ 上的 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，或者 $m\times n$ 矩阵，第 $i$ 行第 $j$ 列的元素称为 $a_{ij}$

\[M_{m,n} (\mathbb F) =\{ A = (a_{ij})_{m\times n}\vert a_{ij} \in \mathbb F\} \]

当 $n = m$ 时，称 $m\times n$ 矩阵是一个方阵。

由方程组 $(*)$ 得到的两个矩阵：

\[A = \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots&a_{1n}\\ a_{21} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{m1}& \ldots & a_{mn} \end{bmatrix},\tilde{A} =\begin{bmatrix} a_{11} & \ldots&a_{1n}&b_1\\ a_{21} & \ldots & a_{2n}&b_2 \\ \vdots & && \vdots \\ a_{m1}& \ldots & a_{mn}&b_m \end{bmatrix} \]

我们称 $A$ 为系数矩阵，$\tilde{A}$ 为增广矩阵，由 $(*)$ 的常数项得到一个数列 $\beta = \begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}$。

对 $(*)$ 相当与对其系数矩阵与增广矩阵做以下变换：

交换两行位置
用非零数乘上某一行
将某一行的倍数加到另一行

称这几个操作称为矩阵的初等行变换，类似的我们也有列变换

命题：任意一个 $m\times n$ 矩阵可以通过初等行变换成为一个阶梯矩阵

例一

当 $a,b$ 取何值的时候，方程组

\[\begin{cases} x_1 && &+& x _3 &= &2\\ x_1 & +& 2x_2 & - & x_3&=&-\\ 2x_1 & + & x_2 & - & ax_3 &=&b \end{cases} \]

解：使用增广矩阵即可，变为

\[\begin{bmatrix} 1&0&1&2\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -a - 1 & b - 3 \end{bmatrix} \]

$a\not = -1$ 且 $b\not = 3$ 的时候无解
$a = -1$ 且 $b = 3$ 的时候有无穷多组解
$a\not = -1$ 有唯一解 $x = \begin{bmatrix}2 - c\\c - 1\\ c\end{bmatrix}$

$\Box$

$n$ 维向量空间 $\mathbb F ^ n$

向量：具有大小和方向的量，如位移和速度等。

定义数域 $\mathbb F$, $n$ 个数 $a_1, a_2,\ldots, a_n$ 构成的一个有序数组，$\alpha = (a_1, \ldots, a_n)$ 称为 $\mathbb F$ 上的行向量。

记 $\mathbb F = \{(a_1, a_2,\ldots, a_n)\vert a_1, \ldots,a_n \in \mathbb F\}$

在 $\mathbb F$ 上定义加法运算，$\alpha = (a_1, \ldots, a_n), \beta = (b_1, \ldots, b_n)$，规定 $\alpha + \beta = (a_1 + b_1, \ldots, a_n + b_n)$

另一方面定义数乘 $\mathbb F$ 的一个数字与 $\mathbb F ^ n$ 中的一个向量 $k \in \mathbb F,\alpha = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbb F ^ n, k\alpha = (ka_1, \ldots, ka_n)$

设 $\textbf{0} = (0, \ldots, 0)$ 为零向量，对于 $\alpha + (-\alpha) = \textbf{0}$，称 $-\alpha$ 为 $\alpha$ 的负向量。

$\mathbb F ^ n$ 及其加法和数乘为 $\mathbb F$ 上的向量空间。

根据定义，上述运算满足以下性质：

$\alpha, \beta,\gamma \in \mathbb F ^ n, k, l\in \mathbb F$

$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$
$\alpha + \beta = \beta + \alpha$
$\alpha + \textbf 0 = \textbf 0 + \alpha$
$\alpha + (-\alpha) = \textbf{0}$
$k(l\alpha) = (kl)\alpha$
$kl\alpha = lk \alpha$
$(k + l) \alpha = k\alpha + l\alpha$
$k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta$

有时也考虑列向量 $\alpha = \left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right) ^ T$

类似得定义列向量加法和数乘，在不引起混淆的情况下，也用 $\mathbb F ^ n$ 表示 $\mathbb F$ 上的 $n$ 维列向量

设 $A = \begin{bmatrix} a_{11} & \ldots &a_{1n}\\ \vdots && \vdots\\ a_{m1}& \ldots&a_{mn}\end{bmatrix} \in M_{m\times n}\left(\mathbb F\right)$

对于 $1\le i \le m, 1\le j \le n$，记 $\alpha_i = (a_{i1}, \ldots, a_{in}), \beta_j = (a_{1j}, a_{2j}, \ldots, a_{mj}) ^ T$

考虑线性方程组

令 $\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_m) ^ T$

可以写为 $x_1\beta_1 + x_2 \beta_2 + \ldots + x_n\beta_n = \beta$

如果解 $k$ 是方程组的解，那么 $\beta = k_1\beta_1 + k_2 \beta_2 + \ldots + k_n\beta_n$

定义

$\alpha_1, \ldots, a_s \in \mathbb F ^ n, k_1, \ldots, k_s \in \mathbb F$ 将 $k_1\alpha_1 + \ldots + k_s\alpha_s$ 为 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 的一个线性组合
$\alpha_1, \ldots, a_s,\beta \in \mathbb F ^ n$，若 $\beta$ 可以表示为 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 的一个线性组合，则称其可以被 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性表示

例一

给定实平面两个不共线的向量 $\alpha, \beta$，则平面内两个向量都可以被线性表示，在三位实空间三个不共面的向量 $\alpha, \beta,\gamma$ 则三维空间的每一个向量都可以被线性表示

$\mathbb F ^ n$ 中记 $e_1 = (1, 0, \ldots, 0), e_2 = (0, 1, \ldots, 0),\ldots, e_n = (0, \ldots, 0, 1)$ 为标准单位向量

给定 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s \in \mathbb F ^ n, \mathcal L(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) = \{a_1 \alpha_1 + \ldots + a_s\alpha_s\vert \alpha_1, \ldots, \alpha_s \in \mathbb F ^ n\}$

一般的给定 $S \subseteq \mathbb F ^ n, \mathcal L(S) = \{a_1 \alpha_1 + \ldots + a_s\alpha_s\vert \alpha_1, \ldots, \alpha_s \in S\}$

定义：给定一组 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s \in \mathbb F ^ n$，若存在不全为 $0$ 的数 $a_1, \ldots, a_s \in \mathbb F$ 使得 $a_1 \alpha_1 + \ldots + a_s \alpha_s = 0$ 则称他们线性相关，否则称其为线性无关组

一个齐次线性方程组，只有零解当且进当他的列向量线性无关。
会有 $\textbf 0$ 的向量组线性相关
只有一个向量的向量组线性相关当且进当含有 $\textbf 0$
实平面里两个向量 $\alpha, \beta$ 线性想光当且仅当两个向量共线，实平面中任意三个向量都线性相关
在 $\mathbb F ^ n,e_1, \ldots e_n$ 是线性无关并且 $\mathbb F ^ n$ 中任意大于 $n$ 个向量构成的向量组是线性相关的

定义：设 $\alpha_1, \ldots,\alpha_m\in \mathbb F$ 如果 $\alpha_1, \ldots,\alpha_m$ 中的向量满足

$\alpha_{i_1}, \ldots,\alpha_{i_r}$ 线性无关
每个 $\alpha_i$ 都可由 $\alpha_{i_1}, \ldots,\alpha_{i_r}$ 线性表示

那么称 $\alpha_{i_1}, \ldots,\alpha_{i_r}$ 是向量组 $\alpha_1, \ldots,\alpha_m$ 的一个极大线性无关组。

例

在 $\mathbb F ^ 3$，考虑向量组

\[\alpha_1 = (1, 0, 0), \alpha_2 = (1, 1, 0), \alpha_3 = (1, 1, 1), \alpha_4 = (-1, 2, 0) \]

易得 $\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}$，$\{\alpha_4, \alpha_2, \alpha_3\}$ ，$\{\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4\}$ 是极大线性无关组

命题：设 $\alpha_1, \ldots,\alpha_m$ 是 $\mathbb F ^ n$ 含有非 $0$ 向量的向量组，它一定有极大线性无关组

证明：对于 $m$ 作数学归纳，

当 $m=1$ 时，$\alpha_1 \not = 0$ ，于是其自身为一个极大无关组

设 $k\ge 1$ 并且接设结论对 $m = k$ 成立，设 $\alpha_1, \ldots , a_{k + 1} \in \mathbb F ^ n$

自身线性无关 OK!
线性相关，于是存在 $1\le i \le k + 1$ 使得 $\alpha$ 可以被 $\alpha_1, \ldots \alpha_{k + 1}/\{\alpha_i\}$ 线性表示，剩下的 $k$ 个向量根据归纳假设，有极大无关组，他也是 $k + 1$ 个向量的极大无关组

定义：设 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 与 $\beta_1, \ldots, \beta_t$ 是 $\mathbb F ^ n$ 中的两个向量组，若每一个 $\alpha_i$ 可以由 $\beta$ 线性表示，则称 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 可以被 $\beta_1, \ldots, \beta_t$ 线性表示，进一步的如果可以互相线性表示，我们称其为等价的。根据定义：向量组等价具有传递性

定理：设 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 与 $\beta_1, \ldots, \beta_t$ 是 $\mathbb F ^ n$ 中的两个向量组，假设 $a_1,\ldots, a_s$ 可以被 $\beta_1, \ldots, \beta_t$ 线性表示，且线性无关，则 $s\le t$，并且对 $\beta_1, \ldots, \beta_t$，用 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 分别替代 $\beta_{i_1}, \ldots, \beta_{i_s}$ 得到的向量组 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s, \beta_{i_{s + 1}}, \ldots, \beta_{i_t}$ 与原先的 $\beta_1, \ldots, \beta_t$ 等价

证明：

对于 $s$ 做数学归纳法，当 $s = 1$ 的时候， $\alpha_1 \not = 0, s = 1\le t$，根据假设，存在 $\lambda_1,\ldots,\lambda_t \in \mathbb F$ 使得 $\alpha_1 = \lambda_1 \beta_1 + \ldots + \lambda_t \beta_t \Rightarrow \lambda_1, \lambda_2,\ldots, \lambda_t$ 不全为 $0$

不妨设 $\lambda_1 \not = 0$

于是，$\beta_1$ 可以被 $\alpha_1,\beta_2\ldots,\beta_t$ 线性表示

设 $k\ge 1$ 且假设结论在 $s = k$ 成立

现在设 $a_1, \ldots, a_{k + 1}$ 线性无关，并且可以被 $\beta_{1}, \ldots, \beta_{t}$ 线性表示

于是 $\alpha$ 线性无关且可以被 $\beta$ 线性表示。

根据归纳假设 $s\le t$，且对 $\beta$ 重新编号，则$\alpha_1,\ldots, \alpha_k , \beta_{k + 1}, \ldots, \beta_t$ 与 $\beta$ 等价，于是 $a_{k + 1}$ 可以被前面那个线性表示。

于是 $a_{k + 1} = \mu_{1}\alpha_{1} + \ldots\mu_k\alpha_k + \mu_{k + 1} \beta_{k + 1} + \ldots + \mu_t\beta_t$

假设 $k =t$ 或者是 $\mu_{k + 1} = \ldots = \mu_{t} = 0$ 这万一与 $\alpha$ 线性无关矛盾

因此 $k < t$ 且 $\mu_{k + 1}, \ldots, \mu_t$ 不全为 $0$ ，不妨设 $\mu_{k + 1}\not = 0$ 等价
，那么 $\beta_{k + 1}$ 可以被 $\alpha_1,\ldots, a_{k + 1}, \beta_{k + 2}, \beta{t}$ 线性表示，那么 $\alpha_1,\ldots, \alpha_k , \beta_{k + 1}, \ldots, \beta_k$ 与 $\alpha_1,\ldots, \alpha_{k + 1} , \beta_{k + 2}, \ldots, \beta_t$ 等价

即为所求向量组。

推论：

设 $\alpha_1, \ldots, \alpha _s$ 可以被 $\beta _{1}, \ldots, \beta_t$ 线性表示且 $t < s$，，那么 $\alpha$ 线性相关。
设 $\alpha_1, \ldots, \alpha _s$ 与 $\beta _{1}, \ldots, \beta_t$ 线性无关且等价，$s = t$
一个向量组的所有极大无关组的向量个数相同

定义：设 $\alpha_1, \ldots, \alpha _m$ 是 $\mathbb F$ 的一个向量组，称它的线性无关组所含的向量数量为它的秩(rank)，记为 $r(\alpha_1, \ldots, \alpha _m)$

推论：等价的向量组有相同的秩

向量空间 $\mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha _m):$ 对于任意的 $\xi, \eta \in \mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha _m)$，及任意的 $\lambda \in \mathbb F$ 有 $\xi + \eta, \lambda \xi \in \mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha _m)$

定义：设 $W$ 是 $\mathbb F ^ n$ 的一个非空子集，若对于任意 $\alpha, \beta \in W$ 且任意 $k\in \mathbb F$ 总有 $\alpha + \beta, k \alpha \in W$，则称 $W$ 是 $\mathbb{ F ^ n}$ 的一个子空间(subspace)

例1

$\{0\}, \mathbb F ^ n$ 是 $\mathbb F ^ n$ 的子空间，称为平凡子空间。
给定 $\alpha_1, \ldots, a_m$ 是 $\mathbb F ^n$ 的子空间，称其是由 $a_1, \ldots, a_n$ 张成的子空间。一般的，给定 $\mathbb F ^ n$ 则 $\mathcal{L}(s)$ 是 $\mathbb F ^ n$ 的子空间。
$\mathbb R ^ 2$ 的所有子空间 $\textbf{0}, \mathbb{ R ^ 2}$ 过原点的实现。，三维实空间所有子空间，$\textbf{0}, \mathbb{ R ^ 3}$ 过原点的直线和平面。

定义

设 $W$ 是 $\mathbb F ^ n$ 的子空间，如果存在线性无关的向量，$\varepsilon,\ldots, \varepsilon_s\in W$，若 $W$ 可以被 $\varepsilon$ 线性表示，则 $\varepsilon$ 是 $W$ 的一个基 (basis) 且称 $s$ 是 $W$ 的维数，记为 $\dim _W = s$

例1

对于 $n\ge 1$，称标准单位向量是 $\mathbb F ^ n$ 的一个基，另外 $\alpha_1 = (1, \ldots, 0), \alpha_2 = (1, 1, 0,\ldots, 0),\alpha_n = (1, 1, \ldots, 1)$ 也是 $\mathbb F ^ n$ 的一个基
设 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m \in \mathbb F ^ n$，则称该向量组的任意一个极大无关组都是 $\mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha_m) =\text{spam}(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$ 的基，特别的， $\dim \mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha_m) = r(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$

推论：

若 $W$ 是 $\mathbb F ^ n$ 的子空间，那么 $\dim W \le n$
设 $W_1, W_2$ 都是 $\mathbb F ^ n$ 的子空间，并且 $W_1 \subseteq W_2$，则 $W_1$ 的每一个基都可以扩充 $W_2$ 的基。

矩阵的秩与线性方程组的有解判别准则

定义：设 $A \in M_{m, n} (\mathbb F)$

由 $A$ 的 $m$ 个行向量生成的 $\mathbb F ^ n$ 生成的子空间称为 $A$ 的行空间，其维数成为 $A$ 的行秩，记作 $r_r(A)$
由 $A$ 的 $n$ 个行向量生成的 $\mathbb F ^ m$ 生成的子空间称为 $A$ 的列空间，其维数成为 $A$ 的列秩，记作 $r_c(A)$

根据定义，$0\le r_r(A), r_c(A) \le \min\{m, n\}$

例：

\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 1\\ \end{bmatrix} \]

引理：矩阵的初等变换不改变秩

证明：只需证明矩阵的行秩与列秩在初等行变换和列变换不变即可。

首先证明初等行变换不影响矩阵的列秩，那么：

先证明这个引理：

设 $\gamma_1, \ldots, \gamma_s$ 与 $\delta_1, \ldots,\delta_s$ 是 $\mathbb F ^ m$ 中两个大小为 $s$ 的向量组，如果对于任意的 $k_1, k_2, \ldots, k_s$均有

\[k_1\gamma_1 + \ldots + k_s\gamma_s = 0 \Leftrightarrow k_1 \delta_1 + \ldots + k_s\delta_s = 0 \]

那么则有 $r = r(\gamma_1,\ldots, \gamma_s)$ 并且不妨设 $\gamma_1, \ldots,\gamma_r$ 是一个极大线性无关组，下面说明 $\delta_1, \ldots, \delta_s$ 也线性无关。

如果 $k_1 \delta_1 + \ldots + k_r \delta _r = 0$，其中 $k_1, \ldots, k_r\in \mathbb F$

设 $k_1\delta_1 + \ldots + k_s \delta_s = 0$

那么可以得到 $k_1 \gamma_1 + \ldots + k_r \gamma_r = 0$，所以 $k_1 = \ldots = k_s = 0$

于是 $\delta_1, \delta_2,\ldots, \delta_r$ 线性无关。

对于 $r < j \le s, \gamma_j$ 均可被 $\gamma_1, \ldots, \gamma_r$

$0 = \lambda_1\gamma_1 + \ldots + \lambda_r \gamma_r - \gamma_j\Rightarrow 0 = \lambda_1\delta_1 + \ldots + \lambda_r \delta_r - \delta_j$

于是 $\delta_1, \ldots, \delta_r$ 是极大线性无关组

设 $B$ 是由 $A$ 经过一系列初等行变换得到的矩阵，用 $\beta_1, \ldots,\beta_n$ 与 $\beta_1‘, \ldots,\beta_n’$ 表示他们的列向量，于是以 $A$ 和 $B$ 为系数矩阵的齐次线性方程组可表示为：

$x_1\beta_1 + \ldots + x_n\beta_n = 0,x_1\beta_1' + \ldots + x_n\beta_n' = 0$

又这两个方程租是同解的，即 $\#$ 的假设条件是满足的，$\Rightarrow r_c(A) = r(\beta_1, \ldots,\beta_n) = r(\beta_1', \ldots,\beta_n') = r_c(B)$

定理：设 $A\in M_{m, n}(\mathbb F)$ 则 $r_r(A) = r_c(A)$

证明：用初等行变换将 $A$ 化为阶梯型矩阵 $C$，$r_r(A) = r_r(C) = r = r_c(C) = r_c(A)$

定义：设 $A \in M_{m, n} (\mathbb F)$ 称 $A$ 的行秩和列秩为 $A$ 的秩，记作 $r(A)$ 或 $rank(A)$

推论：设 $A\in M_{m, n}(\mathbb F)$ 则通过初等变换可以将 $A$ 化为类对角矩阵，其中 $1$ 的个数有 $r(A)$ 个。

注：一个矩阵的列向量的极大无关组的求法

设 $A\in M_{m, n}(\mathbb F)$，首先利用初等行变换化为行阶梯型矩阵 $B$，分别用 $\beta_1, \ldots,\beta_n$ 与 $\beta_1‘, \ldots,\beta_n’$ 表示 $A$ 和 $B$ 的行向量，可以得到 $\beta'_{i_1},\beta'_{i_2},\ldots,\beta'_{i_r}$ 线性无关，并且是极大线性无关组，则 $\beta _{i_1} ,\ldots,\beta_{i_r}$ 也是 $A$ 的极大线性无关组。

转置：将 $A\in M_{m, n}(\mathbb F)$ 的行列互换，得到 $n\times m$ 的矩阵，为 $A$ 的转置，记作 $A^T\in M_{n,m} (\mathbb F)$

例一

求矩阵

\[A = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -3 & 1 & 1\\ 1 & -1&2 & -1 & 3\\ 4 & -4 & 3 & -2 & 10\\ 2 & -2 & -11 & 4 & 1 \end{bmatrix} \]

用初等行变换化为阶梯型矩阵

\[A\rightarrow\begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 & 1& 1\\ 0 & 0&5&-2&2\\ 0 & 0 & 15 & -6 & 6\\ 0 & 0 & -5 & 2 & 1 \end{bmatrix} \rightarrow\begin{bmatrix} 1 & 1 & -3 & 1& 1\\ 0 & 0&5&-2&2\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\Rightarrow r(A) = 3 \]

并且极大无关组就是第 $1, 3, 5$ 个列向量

例二

$A = (a_{ij})\in M_{m, n}(\mathbb F),B = (b{ij})\in M_{s, t}(\mathbb F)$

$C = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B\end{bmatrix}$

证明： $r(C) = r(A) + r(B)$

记 $A = \begin{bmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_m\end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix}\beta_1\\\vdots\\\beta_s\end{bmatrix}$

记 $p = r(A), q = r(B)$ 且 $\alpha_{i_1}, \ldots,\alpha_{i_p}$ 是 $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ 的极大线性无关组，$\beta{i_1}, \ldots,\beta{i_q}$ 是 $\beta_1,\ldots,\beta_s$ 的极大线性无关组

于是 $\tilde{\alpha_{i_1}}, \ldots,\tilde{\alpha_{i_p}},\tilde{\beta{i_1}}, \ldots,\tilde{\beta{i_q}}$ 为 $C$ 的极大线性无关组 $\Rightarrow$ $r(C) = r(A) + r(B)$

例三

$A \in M_{m, n} (\mathbb{F} ^ n)$ 且 $1\le s\le m$ 在 $A$ 中取出一个 $s\times n$ 的矩阵 $B$，则 $r(B)\ge r(A) + s - m$

证明：$A = \begin{bmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_m\end{bmatrix}$ 并且设 $B$ 由 $A$ 的 $i_1, i_2,\ldots,i_s$ 行组成的矩阵，即 $B = \begin{bmatrix}\alpha_{i_1}\\\vdots\\\alpha_{i_s}\end{bmatrix}$

用 $\alpha_{i_{s + 1}},\ldots,\alpha_{i_m}$ 表示剩下 $m - s$ 行，令 $p = r(B)$， $j_1, j_2,\ldots,j_p$ 是 $\alpha_{i_1},\ldots,\alpha_{i_s}$ 的一个极大线性无关组，那么

$r(A) = r(\alpha) = r(\alpha_{j_1},\ldots,\alpha_{j_p},\alpha_{i_{s + 1}},\alpha_{i_m}) \le p + s - m$

考虑线性方程组

\[\begin{cases} a_{11} +& \ldots +& a_{1n} = b_1 \\ \vdots &\ddots& \vdots \\ a_{m1} + & \ldots + & a_{mn} = b_m \end{cases}\tag{*} \]

$\Rightarrow r(\hat{A}) = r(A)$ 或 $r(\hat{A}) = r(A) + 1$

定理（Kronecker-Capelli）：方程组 $(*)$ 有解的充要条件是 $r(A) = r(\hat{A})$

进一步的 $r(A) = r(\hat{A}) = r$

$r = n$ 时有唯一解
$r < n$ 时有无穷多组解

证明：

$A = \left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right), \hat{A} = \left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n, \beta\right)$

于是 $(*)$ 有 $x_1 \alpha_1 + \ldots + x_n\alpha_n = \beta$

同时有 $\begin{aligned}(*) 有解&\Leftrightarrow\beta \in \mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\\&\Leftrightarrow \mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n,\beta)=\mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\\ & \Leftrightarrow \dim \mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n,\beta) = \dim \mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)\\ &\Leftrightarrow r(\hat{A}) = r(A)\end{aligned}$

若 $r = n$，则 $\beta$ 用 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 线性组合唯一，即 $(*)$ 有唯一解

若 $r < n$，则 $\alpha_1, \ldots,\alpha_n$ 线性相关，于是有全不为 $0$ 的 $k_1,\ldots,k_n$ 使得 $k_1 \alpha_1 + \ldots + k_n\alpha_n = 0$ 另一边有 $\lambda_1 \alpha_1 + \ldots + \lambda_n \alpha_n = \beta$，那么 $c\in \mathbb F$，则 $(ck + \lambda)\alpha$ 也是一组解

即有无穷多组解

推论：齐次线性方程组系数矩阵 $A$ 的秩是 $n$，$A$ 的秩是 $r$

$r = n$ 时有唯一 $0$ 解
$r < n$ 时有无限个非 $0$ 解

若是齐次线性方程组

\[\begin{cases} a_{11} +& \ldots +& a_{1n} = 0 \\ \vdots &\ddots& \vdots \\ a_{m1} + & \ldots + & a_{mn} = 0 \end{cases}\tag{**} \]

$A = (a_{i, j})_{m, n} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$

令 $W = \left\{\begin{bmatrix}c_1\\\vdots\\ c_n\end{bmatrix} \in \mathbb F ^ n\middle\vert \sum\limits_{i = 1} ^ nc_i\alpha_i = 0\right\}$，即 $W$ 是 $(**)$ 的所有解的集合，则 $W$ 是 $\mathbb F ^ n$ 的子空间，或者叫解空间，或者是 $A$ 的零空间。

易见 $W = 0 \Leftrightarrow r(A) = n$

定义：齐次方程组的解空间的 $\{\eta_1, \ldots, \eta_s\}$ 为其的基础解系。可以表示为 $\lambda_1 \eta_1 + \ldots + \lambda_s \eta_s$，其中 $\lambda_1, \ldots,\lambda_s \in \mathbb F$

定理：设 $r = r(A) \le n,\dim W =n - r$，即 $(**)$ 的基础解系的基有 $n - r$ 个向量，通过初等行变换可以交换列位置，$A$ 可化为

\[A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 & c_{1,r + 1}&\ldots&c_{1,n} \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & c_{2,r + 1}&\ldots&c_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & c_{r, r + 1}&\ldots&c_{r,n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

为了简化，忽略元的变换

\[\begin{cases} x_1 = -c_{1, r + 1} - \ldots - c_{1, n} \\ x_2 = -c_{2, r + 1} - \ldots - c_{2, n} \\ \vdots \\ x_r = -c_{r, r + 1} - \ldots - c_{r, n} \end{cases} \]

\[\eta_1 = \begin{bmatrix} -c_{1, r + 1} \\ \ldots \\ -c_{r, r + 1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} , \eta_2 = \begin{bmatrix} -c_{1, r + 2} \\ \ldots \\ -c_{r, r + 2} \\ 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} ,\ldots, \eta_n = \begin{bmatrix} -c_{1, n} \\ \ldots \\ -c_{r, n} \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} \]

显然有 $\eta_1, \ldots, \eta_{n - r}$ 线性无关，任取 $\eta = (a_1, \ldots, a_n) ^ T\in W$，则

\[\begin{bmatrix} a_1 = -c_{1, r + 1} a_{r + 1} - \ldots - c_{1, n} a_n \\ \vdots \\ a_r = -c_{r, r + 1} a_{r + 1} - \ldots - c_{r, n} a_n \end{bmatrix} \]

\[\eta = a_{r + 1} \eta_1 + \ldots + a_n \eta_{n - r} \]

则 $\eta_1,\ldots, \eta_{n - r}$ 为一个基础解系。

现在考虑一般的方程组 $(*)$，$A = (a_{i, j})_{m\times n} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n),\hat{A} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n,\beta)$

导出组是齐次线性方程组 $x_1\alpha_1 + \ldots + x_n \alpha_n = 0$，令 $W$ 是导出组的解空间

定理设 $r(A) = r(\hat{A})$ 即 $ 有解，并且 $\gamma$ 是一组特解，那么 $\gamma + W = \left\{r + \eta \middle\vert \eta \in W \right\}$ 是 $(*)$ 的所有解集合。

证明：

若 $\xi_1, \xi_2 \in \mathbb F ^ n$ 是 $(*)$ 的解则 $\xi_1 - \xi_2$ 是导出组的解。
$\xi$ 是 $(*)$ 的解且 $\eta \in W$，则 $\eta + \xi$ 是 $(*)$ 的解

记 $\hat{W}$ 是 $(*)$ 的子空间，下面证明 $\hat{W} = \gamma + W$

那么就是证明互相包含就行，

任取 $\xi \in \hat W$ 于是由 $1$ 则 $\xi - \gamma\in W$ 即有 $\xi = \gamma + (\xi - \gamma) \in \gamma + W$
再由 $2$ 有 $\gamma + \subseteq \hat{W}$

矩阵代数

矩阵的基本定义和性质

$m, n\ge 1 M_{m, n}(\mathbb F) = \{A =(a_{i,j})_{m\times n} \vert a_{i, j} \in \mathbb F\}$

有两种运算：

$A ,B\in M_{m, n} (\mathbb F),A + B \in M_{m, n} (\mathbb F)$

$A \in M_{m, n} (\mathbb F), k\in \mathbb F,kA \in M_{m, n} (\mathbb F)$

$M_{m, n} (\mathbb F) \times M_{m, n} (\mathbb F)\rightarrow M_{m, n} (\mathbb F),(A, B) \mapsto A + B$

$\mathbb F \times M_{m, n}(\mathbb F) \rightarrow M_{m, n}(\mathbb F), (k, A) \mapsto kA$

定义满足：

$(A + B) + C = A + (B + C)$
$A + B = B + A$
$0 + A = 0$
$A + (-A) = 0$
$1A = A$
$(kl)A = k(lA)$
$(k + l) A = kA + lA$
$k(A + B) = kA + kB$

注： $M_{m, n}(\mathbb F)$ 及上面的两个运算成为 $\mathbb F$ 上的向量空间

下面定义的矩阵的乘积 $\text{Binet}$

$A = (a_{i, j}) \in M_{m, n}(\mathbb F)$ 于是得到一个映射 $\mathbb F ^ n \rightarrow \mathbb F ^ m,\phi_A = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix}a_{1, 1} x_1 + \ldots +a_{1, n}x_n \\ \vdots \\ a_{m, 1}x_1 + \ldots+a_{m, n} x_n \end{bmatrix}$

设 $A =(a_{i, j})_{m\times n},B = (b_{i, j})_{n\times s}$ 其乘积 $C$，则 $C = (c_{i, j})\in M_{m, s}(\mathbb F)$

其中 $c_{i, j} = \sum_{k = 1} ^ n a_{i, k} b_{k, j}$

根据定义 $\phi_{A}\circ \phi_{B} = \phi_{AB}$

注：矩阵的乘积给除了一个代数运算 $M_{m, n}(\mathbb F) \times M_{m, s}(\mathbb F) \rightarrow M_{m, s}(\mathbb F),(A, B) \mapsto AB$

例一：

$\alpha = (a_1, \ldots, a_n), \beta = (b_1, \ldots, b_n)^T$

于是 $\alpha \beta = \sum_{k = 1} ^ n a_kb_k, \beta\alpha = \begin{bmatrix} b_1a_1 & \ldots &b_1a_n\\ \ldots&\ddots & \ldots\\b_{n}a_1 & \ldots & b_n a_n\end{bmatrix}$

一个线性方程组 $\begin{cases}a_{11} +& \ldots +& a_{1n} = b_1\\\vdots &\ddots& \vdots\\a_{m1} + & \ldots + & a_{mn} = b_m\end{cases}$ 可以表示为 $Ax = \beta$ 其中 $A = (a_{i, j})_{m\times n}, x = (x_1, \ldots,x_n) ^ T, \beta = (b_1, \ldots,b_m) ^ T$

矩阵乘积的基本性质

$(AB)C = A(BC)$
$k(AB) = (kA)B$
$A(B + C) = AB + AC, (B + C)D = BD + CD$
对于 $n \ge 1, I_n = \begin{bmatrix}1&0&\ldots&0\\ 0 & 1&\ldots & 0\\ \vdots & \vdots&\vdots&\vdots \\ 0 &0 & 0 & 1\end{bmatrix}$，有 $I_m A = A$

注：矩阵定义了 $M_n(\mathbb F)$ 的一个二元运算，$M_n(\mathbb F) \times M_n(\mathbb F) \rightarrow M_{n}(\mathbb F), (A, B)\mapsto AB$

事实上 $M_n(\mathbb F)$ 对于这两个运算构成一个环，当 $n\ge 2$ 的时候，$M_{n}(\mathbb F)$ 是一个非交换环。

消去律一般不成立。

设 $A\in M_{n} (\mathbb F),m\ge 1$ 定义 $A$ 的 $m$ 次幂为

$A ^ m = \underbrace{A\ldots A}_m$ 约定 $A ^ 0 = I_n$

记 $f(A) = a_0 I_n + \ldots a_s A ^ s$，

定义

形如 $D = \begin{bmatrix}d_1&0&\ldots&0\\ 0 & d_2&\ldots & 0\\ \vdots & \vdots&\vdots&\vdots \\ 0 &0 & 0 & d_n\end{bmatrix}$ 为对角矩阵，特别的，当 $d_1 = \ldots = dn = d$ 时候，称 $d$ 为标量矩阵。
$A = \begin{bmatrix}a_{1, 1}&a_{1, 2}&\ldots&a_{1, n}\\ 0 & a_{2, 2}&\ldots & a_{2, n}\\ \vdots & \vdots&\vdots&\vdots \\ 0 &0 & 0 & a_{m, n}\end{bmatrix}$ 是上三角矩阵，进一步，如果对角线上元素都是 $0$，则为严格上三角矩阵

矩阵转置运算规则：

$(A + B) ^ T = A ^ T + B ^ T$
$(kA) ^ T = k(A) ^ T$
$(AB) ^ T = B ^ TA ^ T$

如果 $A ^ T = A$，则为对称矩阵，如果 $A ^ T = -A$ 则为反对称矩阵

$A \in M_{m, n} (\mathbb C)$，记 $\overline{A} = (\overline{a_{i, j}})$，$A$ 的转置矩阵

$\overline{A + B} = \bar{A} + \bar{B}$
$\overline{kA} = \bar{k}\bar{A}$
$\overline{AB} = \bar{A} \bar{B}$

若 $\bar{A} ^ T = A$，则其为 $\text{Hermite}$ 矩阵。

$AB$ 的每一个列向量都是 $A$ 的列向量的线性组合 $\Rightarrow$ $AB$ 的列空间 $\subseteq$ $A$ 的列空间

对于行空间就是 $B$ 的了。所以得到 $r(AB)\le \min\{r(A), r(B)\}$。

$\mathbb F \rightarrow M_{n}(\mathbb F), k \mapsto kI_n$

$\mathbb C \rightarrow M_2(\mathbb R), a + bi \mapsto \begin{bmatrix}a & -b \\b & a\end{bmatrix}, 1\mapsto \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, i = \begin{bmatrix}0& -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$

可逆矩阵

定义：$A \in M_{n} (\mathbb F)$ 若存在 $B \in M_{n} (\mathbb F)$ 满足 $AB = I_n = BA$，那么 $A$ 是一个可逆矩阵，此时称 $B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记错 $B = A ^ {-1}$

例一

一个对角矩阵 $D = \begin{bmatrix}d_1&0&\ldots&0\\ 0 & d_2&\ldots & 0\\ \vdots & \vdots&\vdots&\vdots \\ 0 &0 & 0 & d_n\end{bmatrix} = \text{diag} (d_1, d_2, \ldots, d_n)$ 是可逆的当且进当 $d_1, d_2, \ldots, d_n$ 都不为 $0$ ，此时 $D ^ {-1} = \text{diag}(d_1 ^ {-1}, \ldots,d_n ^ {-1})$。

可逆矩阵基本性质：

命题：

若 $A$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵则它的逆矩阵也是可逆的 $(A ^ {-1})^{-1} = A$
若 $A, B$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $AB$ 可逆，并且 $(AB) ^ {-1} = B ^ {-1} A ^{-1}$
如果 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，并且 $c\in \mathbb F, c \not = 0$，则 $(cA) ^ {-1} = c ^ {-1} A ^ {-1}$
若 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则 $A ^ T$ 可逆，并且 $(A ^ T) ^ {-1} = (A ^ {-1}) ^ {T}$

设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，则 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow r(A) = n$

$\Rightarrow$：$r(A) \le n = r(I_n) = r(A A ^{-1})\le r(A)$

$\Leftarrow$: $A = (\beta_1, \ldots, \beta_n)$，于是 $\beta$ 线性无关，则 $\mathcal{L} (\beta)= \mathbb F ^ n$，那么 $e_j$ 可以被 $\beta$ 线性表示，不妨设其系数为 $e_j = \sum\limits_{i = 1} ^ n b_{i, j}$，上面的讨论中 $BC = I_n$，那么 $BC = I_n$ 即 $A = AI_n = A(BC) = (AB)C = C$

证毕 $\Box$

推论：如果 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，若 $AB = I_n$，则 $A$ 并且 $B = A ^ {-1}$

定义：设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，则 $A$ 是非退化的，否则 $A$ 是退化的

设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，考虑线性方程

注：$\text{GL}_n(\mathbb F) = \{A \in M_n(F )\vert A 可逆\}$

矩阵的初等变换

定义：设 $A, B\in M_{m, n}(\mathbb F)$ 如果对于 $A$ 经过一系列的初等行列变换得到 $B$，那么称为 $A$ 和 $B$ 等价或者是相抵，记作 $A\sim B$

根据定义，矩阵等价有如下关系

$A\sim A$
$A\sim B \Rightarrow B \sim A$
$A \sim B, B\sim C\Rightarrow A\sim C$

这说明这是一个等价关系。

由第一章可以得任何矩阵都相抵于 $A = \begin{bmatrix}I_r & 0 \\0 & 0\end{bmatrix}$

对于 $A, B\in M_{m, n}(\mathbb F), A\sim B \Leftrightarrow r(A) = r(B)$，称为 $A$ 的等价标准形

$\Rightarrow M_{m, n}$ 中的等价类个数是 $1 +\min\{m, n\}$

定义：将 $I_n$ 做一次初等变换的矩阵称为初等矩阵。

交换第 $i$ 行或者是第 $j$ 行, $P_{i, j}$
=2. 用非 $0$ 数乘上第 $i$ 行，$D_i(c)$
将第 $I_n$ 的第 $i$ 行乘上 $k$ 加到第 $j$ 行, $T_{i, j}(k)$。

根据定义 $P ^ {-1}_{i, j} = P_{i, j}, D_i(c) = D_i(c ^ {-1}), \left(T_{i, j}(k)\right) ^ {-1} = T_{i, j}(-k)$

定理：设 $A\in M_{m, n}(\mathbb F)$，则

$P_{i, j} A$ 为交换 $i$，$j$ 行的矩阵
$D_i(c)A$ 为第 $i$ 行乘上 $c$ 的矩阵
$T_{i, j}(k)A$ 将 $A$ 的第 $i$ 行乘上 $k$ 加到第 $j$ 行的矩阵。
$P_{i, j} A$ 为交换 $i$，$j$ 列的矩阵
$D_i(c)A$ 为第 $i$ 列乘上 $c$ 的矩阵
$T_{i, j}(k)A$ 将 $A$ 的第 $j$ 列乘上 $k$ 加到第 $i$ 列的矩阵。

推论：设 $A, B\in M_{m, n}(\mathbb F)$ 且 $A\sim B$，则存在一个 $m$ 阶矩阵 $P$ 与一个 $n$ 阶矩阵 $Q$，使得 $PAQ = B$

相当于是一系列初等行变换和列变换。

推论：设 $A\in M_{m, n}(\mathbb F)$，则存在一个 $m$ 阶矩阵 $P$ 与一个 $n$ 阶矩阵 $Q$，使得 $A = \begin{bmatrix}I_r & 0 \\0 & 0\end{bmatrix}$

推论：$A$ 可逆，则 $A$ 必然表示成初等矩阵的乘积

$A$ 可逆 $\Leftrightarrow r(A) = n\Leftrightarrow A \sim I_n$

那么表示成上面的式子是简单的。

推论：设 $A$ 是一个 $n$ 阶初等行（列）变换将 $A$ 化为单位矩阵 $I_n$

证明是简单的

设 $A$ 是一个 $n$ 阶可逆矩阵，于是存在初等矩阵 $P_1, \ldots, P_s$ 使得 $P_s\ldots P_1A = I_n, P_s\ldots P_1 I_n = A ^ {-1}$

比较两式可以知道，对于 $A$ 变成 $I_n$ 做初等行变换，对于 $I_n$ 也这么变，那对于 $I_n$ 做这些行变换可以得到 $A ^ {-1}$

那么我们得到一个 $n\times 2n$ 的矩阵 $\begin{bmatrix}A & I_n\end{bmatrix}$，做初等行变换，然后左半边变成 $I_n$ 我们就在右边得到了 $A ^ {-1}$，这就是高斯约旦消元

分块矩阵

$A=\begin{bmatrix} \alpha_1\\\vdots\\\alpha_m\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}I_r &0\\0&0 \end{bmatrix}$

后面的都是分块矩阵

设 $A$ 是 $m\times n$ 的矩阵，且 $m = m_1+\ldots + m_s, n = n_1 + \ldots + n_t$ 其中 $s, t \ge 1, m_i, n_j \ge 1$

则 $A =\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} &\ldots&A_{1n} \\A_{21} & A_{22} &\ldots&A_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\A_{s1}&A_{s2}&\ldots&A_{st}\end{bmatrix}$

设 $A, B$ 有相同的分块方式 $[s, t]$，那么 $A + B = A =\begin{bmatrix}A_{11} + B_{11}y& A_{12} +B_{12}&\ldots&A_{1n}+B_{1n} \\A_{21}+B_{21} & A_{22}+B_{22} &\ldots&A_{2n}+B_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\A_{s1}+B{s1}&A_{s2}+B_{s2}&\ldots&A_{st}+B_{st}\end{bmatrix}, A^T =\begin{bmatrix}A_{11}^T & A_{21}^T &\ldots&A_{s1}^T \\A_{12}^T & A_{22}^T &\ldots&A_{s2}^T \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\A_{1t}^T&A_{2t}^1T&\ldots&A_{st}^T\end{bmatrix}$

设 $A, B$ 分别是 $m\times n, n\times s$ 的矩阵，将他们进行分块 $[p, t], [t, q]$，那么 $AB = \begin{bmatrix}c_{11}&\ldots&c_{1q}\\\vdots&\ddots&\vdots\\c_{p1} & \ldots & c_{pq}\end{bmatrix}$，其中 $c_{ij} = \sum\limits_{l = 1} ^ t A_{il}B_{lj}$

例题

$P = \begin{bmatrix}A & B \\ 0 & C\end{bmatrix}, P ^ {-1} = \begin{bmatrix} A^ {-1} & -A ^ {-1} C B^{-1}\\0 & B ^ {-1}\end{bmatrix}$

同理有分块对角矩阵，在此不多赘述。

同理有初等分块矩阵。

例一

$P = \begin{bmatrix}A & C \\ 0 & B\end{bmatrix}$ ，其中 $A, B$ 分别是 $s,t$ 可逆方阵

$\begin{bmatrix}I_s& -CB ^ {-1} \\ 0 & I_t\end{bmatrix} \begin{bmatrix}A & C \\ 0 & B\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}I_s & 0 \\ 0 & B ^ {-1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}A ^ {-1} & 0 \\ 0 & I_t\end{bmatrix} \begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I_s & 0 \\ 0 & I_t\end{bmatrix}$，则 $P$ 可逆

若 $A, B$ 是 $m\times n$ 的矩阵，证明 $r(A + B)\le r(A) + r(B)$

那么 $\begin{bmatrix}I_m & -I_m \\ 0 & I_m\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A& -A + B \\ 0 & B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_n & -I_n \\ 0 & I_n\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A& 0 \\ 0 & B\end{bmatrix}$

于是 $r(A + B)\le r\left(\begin{bmatrix}A & A+B \\ 0 & B\end{bmatrix}\right)=r\left(\begin{bmatrix}A & 0 \\ 0 & B\end{bmatrix}\right) = r(A) + r(B)$

行列式

递归定义
展开定义
行列式函数的性质

二阶和三阶行列式

$n$ 阶行列式的定义与性质

下面用递归定义任意 $n$ 阶方阵的行列式，设 $A = (a_{ij})$ 是一个 $n$ 阶方阵，其行列式记为 $\vert A\vert,\det A$

当 $n=1$ 时，$\det A = a_{11}$

设 $n\ge 2$ 时，假设所有 $n-1$ 阶方阵行列式均已经定义

对于 $1\le i, j\le n$ 记录 $M_{ij}$ 为 $A$ 中划去第 $i$ 行第 $j$ 列的 $n-1$ 阶方阵的行列式，$M_{i, j}$ 称为 $A$ 的余子式，定义：

\[\det A = \sum\limits_{i = 1} ^ n (-1) ^{i + 1} a_{i1} M_{i1} \]

注：对于 $n\ge 1$，得到一个映射 $M_n(\mathbb F)\rightarrow \mathbb F,A \mapsto \det A$

$A_{ij} = (-1) ^ {i + j} a_{ij}M_{ij}$

命题：上三角矩阵的行列式等于对角线元素相乘

命题：设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，且 $1\le s \le n$，假设 $B$ 是将 $A$ 的第 $s$ 列元素乘上 $c$ 的矩阵，则 $\det B = c \det A$。

证明：对 $n$ 做归纳法，当 $n = 1$ 时成立，设 $n\ge 2$ 的时候，假设对于所有 $n-1$ 阶行列式成立，设 $M_{ij}, N_{i, j}$ 分别是 $A$ 和 $B$ 的元素 $a_{ij}, b_{i, j}$ 的余子式，于是 $M_{s1} = N_{s1}$ 并且当 $i \not = s$ 时， $N_{i1} = cM_{i1}$，因此 $\det B = c\det A$

推论：如果一行全是 $0$，那么 $\det A = 0$

命题，设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，并且 $B$ 是通过交换 $A$ 的第 $s$ 行与第 $t$ 行得到的矩阵，则 $\det B = \det A$

推论：若有两个不同行向全相等，则 $\det A = 0$，若成比例，则 $\det A = 0$

命题：设 $A, B, C$ 是 $n$ 阶方阵，$C$ 是某一行的 $AB$ 加起来，其他行都是 $A,B,C$ 一模一样的，那么 $\det C = \det A + \det B$

推论：设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，那么 $B$ 是由某一行加到另一行所得的矩阵，那么 $\det B = \det A$

引理：设 $A = (a_{ij})$ 是一个 $n$ 阶矩阵

若 $D = \text{diag}(d_1, d_2, \ldots, d_n)$ 则 $\det (DA) = d_1 d_2\ldots d_n\det A$
若存在第三类初等矩阵使得 $A$ 化为对角矩阵 $D$，那么 $\det A =\det D9$

定理：$A$ 是一个 $n$ 阶方阵，则 $\det A =\det A ^ T$

Cauchy 定理：设 $A, B$ 为两个 $n$ 阶方阵，则 $\vert AB\vert = \vert A\vert \vert B\vert$

推论：设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵，则 $A$ 可逆 $\Leftrightarrow$ $\det A \not = 0,\det \left(A^{-1}\right) = \frac{1}{\det A}$

证明是简单的

注：一个矩阵是非奇异的则 $A$ 可逆，否则则称 $A$ 是奇异的

设 $A\in M_{m, n}(\mathbb F), 1\le s \le \min\{m, n\}$ 选取一个 $s \times s$ 子矩阵，即选择 $s$ 行 $s$ 列按照在 $A$ 中相对位置构成 $s$ 阶行列式，称为这个矩阵的 $s$ 阶子式

命题：设 $A \in M_{m, n}(\mathbb F)$ 则 $r = r(A)$ 当且进当 $A$ 有一个非零 $r$ 阶子式，并且所有 $r + 1$ 阶子式都是 $0$

即 $A$ 的秩 $=$ $A$ 的最高阶非零子式的阶数。

行列式展开和 Cramer 法则

$A$ 为 $n$ 阶方阵，并且 $A_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，$\det A = \sum\limits_{i = 1} ^ na_{ij} A_{ij}$

定理：设 $1\le s, t\le n$，则 $\sum\limits_{i = 1} ^ n a_{is}A_{it} =\delta _{st} \det A$ 其中 $\delta_{st} = [s = t]$

我们显然可以知道矩阵任意一行展开都可以，这个可以通过交换 $s,s-1$、$s-2,s-1$、$\ldots$、$2, 1$ 这些交换证明。

如果我们用矩阵的第 $s$ 列代替矩阵的第 $t$ 列，并且按照第 $s$ 列展开，那么就可以得到上面的定理。

我们定义

$A^* =\begin{bmatrix}A_{1,1}&A_{2,1}&\ldots&A_{n,1}\\A_{1,2}&A_{2,2}&\ldots&A_{n,2}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\A_{1,n}&A_{2,n}&\ldots&A_{n,n}\end{bmatrix}$

那么 $A^*A = \det (A) I_n$

推论，如果 $A$ 是一个可逆矩阵，那么 $A ^ {-1} = \frac{A^*}{\det A}$

定理：$\text{Cramer}$ 法则，设线性方程组，$Ax = \beta$

其中 $A = (a_{i, j})_{n\times n}, x\in M_{n, 1}(\mathbb F),\beta = M_{n, 1}(\mathbb F)$

如果 $A$ 可逆，那么该方程组有唯一解 $x$，其中 $x_i = \frac{D_i}{\det A}$， $D_i$ 是将 $A$ 的第 $i$ 列代替为 $\beta$ 的矩阵的行列式。

证明是简单的。

如果我们考虑一般的 $m\times n$ 方程组 $(*)$，假设方程组有解，即 $r(A) = r(\hat{A})=r$，于是 $A$ 有一个 $r$ 阶余子式 $D$，

于是该方程组和余子式的 $r$ 个构成的方程组 $(**)$ 同解，任意带入数值进剩下的 $n-r$ 个变量

例一

计算 Vandermonde 行列式

\[V_n = \begin{vmatrix}1 & 1 & \ldots & 1\\a_1 & a_2 & \ldots & a_n \\ a _1 ^ 2 & a_2 ^ 2 & \ldots & a_n ^ 2 \\\vdots&&&\vdots\\a_1 ^ {n - 1} & a_2^{n- 1} & \ldots & a _n ^ {n - 1}\end{vmatrix} \]

解，将第 $k$ 行乘上 $-a_n$ 加到第 $k + 1$ 行上，然后关于最后一列展开，所以 $\vert V_n\vert = (-1) ^{n + 1} (a_1 - a_n) (a_2-a_n)\cdots(a_{n - 1}-a_n)\vert V_{n - 1}\vert$

于是可以得到 $V_n = \prod\limits_{1\le i < j \le n} (a_j - a_i)$

例二

\[D_n = \begin{vmatrix}7 & 5 & 0& \cdots & 0 & 0\\ 2 & 7 & 5 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 2 & 7 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 7 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 7\end{vmatrix} \]

按照第一列展开，之后得到 $D_n = 7D_{n - 1} - 10 D_{n- 2}$

得到 $D_{n} - 2 D_{n - 1} = 5 ^ {n - 2}(D_2 - 2D_1) = 5 ^ n, D_n - 5 ^ D_{n - 1} = 2 ^ {n - 2}(D_2 - 5D_1) = 2 ^ n$

得到 $D_n = \frac{5 ^ {n + 1} - 2 ^ {n + 1}}{3}$

行列式的等价定义

$\vert A\vert = \sum_{(i_1, i_2, \ldots, i_n)\in S_n} (-1) ^ {\tau(i)} a_{i_1,1}a_{i_2, 1}\ldots a_{i_n, n}$ 其中 $i$ 是一个排列，$\tau(i)$ 是排列的逆序对个数。

推论：设 $n\ge 2$，那么 $S_n$ 中奇偶数排列相等。

$\mathcal{D}: M_n(\mathbb F) =\underbrace{ \mathbb F ^ n \times \cdots\times \mathbb F ^ n}_n \rightarrow \mathbb F, A = (\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)\mapsto \mathcal{D}(A)$

$\mathcal{D}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1}, \lambda\alpha_i, \alpha_{i + 1}, \ldots, \alpha_n) = \lambda\mathcal{D}(\alpha_1, \ldots,\alpha_n)$
$\mathcal{D}(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i - 1}, \gamma_i + \beta_i, \alpha_{i + 1}, \ldots, \alpha_n) =\mathcal{D}(\alpha_1, \ldots,\beta_i, \ldots, \alpha_n) + \mathcal{D}(\alpha_1, \ldots, \gamma_i, \ldots, \alpha_n)$ n-线性性
$\exists i, j, \alpha_i = \alpha_j, \mathcal{D}(\alpha_1, \ldots,\alpha_n) = 0$ 交错性
$\mathcal{D}(e_1, \ldots, e_n) = 1$ 归一性

那么 $\mathcal{D}(A) = \vert A\vert$

这个定义是可以看成几何定义，还挺有趣的。

命题：$A = (a_{ij})\in M_n(\mathbb F)$，则 $\det A$ 的展开式中任意项 $a_{i_1,j_1},a_{i_2,j_2}$ 其中 $i, j$ 为 $1\sim n$ 的一个排列，这个的符号是 $(-1) ^ {\tau(i) + \tau(j)}$

Laplace 定理和 Cauchy-Binet 公式

目的：证明所有方阵 $A$ 的行列式可以按照任意多个行或多个列展开，即 Laplace 定理，作为应用提出 Cauchy-Binet 公式

记 $A \begin{pmatrix}i_1&\ldots&i_s\\j_1&\ldots& j_s\end{pmatrix} =\begin{vmatrix}a_{i_1, j_1} & \ldots &a_{i_1, j_s} \\ \vdots & & \vdots\\ a_{i_s, j_1} & \ldots& a_{i_s, j_s}\end{vmatrix}$

划去 $s$ 行 $s$ 列剩下的这个 $n-s$ 矩阵称为这个 $s$ 阶子式的余子式，记作 $M\begin{pmatrix}i_1&\ldots&i_s\\j_1&\ldots& j_s\end{pmatrix}$ ，进一步，令 $\hat{A}\begin{pmatrix}i_1&\ldots&i_s\\j_1&\ldots& j_s\end{pmatrix} = (-1) ^{i_1 + \ldots + i_s + j_1 + \ldots + j_s} M \begin{pmatrix}i_1&\ldots&i_s\\j_1&\ldots& j_s\end{pmatrix}$，称其为代数余子式

定理（Laplace）：设 $A = A_{i, j}\in M_n(\mathbb F)$，$1\le s<n$ 且 $1\le i_1 < i_2 < \ldots < i_s \le n$ 则 $\vert A\vert = \sum\limits_{1\le j_1<j_2<\ldots<j_s\le n} A \begin{pmatrix}i_1&\ldots&i_s\\j_1&\ldots& j_s\end{pmatrix} \hat{A} \begin{pmatrix}i_1&\ldots&i_s\\j_1&\ldots& j_s\end{pmatrix}$，类似地也有 $\vert A\vert = \sum\limits_{1\le j_1<j_2<\ldots<j_s\le n} A \begin{pmatrix}j_1&\ldots& j_s\\i_1&\ldots&i_s\end{pmatrix} \hat{A} \begin{pmatrix}j_1&\ldots& j_s\\i_1&\ldots&i_s\end{pmatrix}$

Cauchy-Binet公式：设 $A = (a_{ij})\in M_{m, n} (\mathbb F), B = (b_{ij})\in M_{n, m} (\mathbb F)$

若 $m > n$，则 $\vert AB\vert = 0$
$\vert AB\vert = \sum\limits_{1\le j_1<j_2<\ldots<j_m\le n} A \begin{pmatrix}1&\ldots&m\\j_1&\ldots& j_m\end{pmatrix} B \begin{pmatrix}j_1&\ldots&j_m\\1&\ldots& m\end{pmatrix}$

证明：

$\begin{vmatrix}A & 0 \\-I_n & B\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}0 & AB \\-I_n & B\end{vmatrix}$

按照 Laplace 定理对于前 $m$ 行展开，那么应该有 $\vert C \vert = (-1) ^ {(m + 1) n}\vert AB\vert$

另一方面，按照 Laplace 定理直接把最开始的矩阵前 $m$ 行展开，有 $\vert C \vert = \sum\limits_{1 \le j_1 < \ldots < j_m \le n + m} C\begin{pmatrix}1 & \ldots &m\\j_1&\ldots&j_m\end{pmatrix} \hat{C}\begin{pmatrix}1 & \ldots &m\\j_1&\ldots&j_m\end{pmatrix}$

进一步，我们会取定 $1\le j_1 < j_2 \ldots <j_n \le m$，有 $\hat{C}\begin{pmatrix}1 & \ldots &m\\j_1&\ldots&j_m\end{pmatrix} = (-1) ^ {1+2+\ldots+m+j_1+j_2+\ldots+j_m} \det(-e_{j_{m + 1}},\ldots,-e_{j_n},B)=(-1) ^ {1+2+\ldots+m+j_1+j_2+\ldots+j_m} \det B_1$，再按照前 $n-m$ 列展开，于是得到 $\det B_1 = (-1) ^{1 + 2 + \ldots + n - m + j_1 + j_2+\ldots + j_{n}}(-1) ^ {n - m}B\begin{pmatrix}j_1 & \ldots & j_m \\ 1 & \ldots & m\end{pmatrix}$

推论： Lagrange 恒等式

$\left(\sum a_k\right)^2\left(\sum b_k\right)^2-\left(\sum a_i b_i\right) ^ 2 = \sum\limits_{1\le i < j\le n}\left(a_ib_j - b_i a_j\right) ^ 2$

向量空间

定义

设 $\mathbb F$ 是一个数域，$V$ 是一个非空集合，假设 $V$ 上有一个二元运算 $V\times V \rightarrow V,(\alpha,\beta)\mapsto \alpha + \beta$，以及数乘运算 $\mathbb F \times V \rightarrow V, (k, \alpha) \mapsto k\cdot \alpha$

如果这两个运算满足下列性质：

$(\alpha + \beta)+\gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$
$\alpha + \beta = \beta + \alpha$
$\exists! \textbf{0} \in V,\text{s.t.} \alpha + \textbf{0} = \textbf{0} + \alpha$
对于任意 $\alpha \in V$，存在 $\beta \in V, \text{s.t.} \alpha + \beta = 0$
$1\cdot \alpha = \alpha$
$(kl)\alpha = k(l\alpha)$
$(k + l) \alpha = k\alpha + l \alpha$
$k(\alpha + \beta) = k\alpha + k\beta$

那么称 $V$ 相对于这两个运算是数域 $\mathbb F$ 的一个向量空间，此时 $V$ 中元素称为向量，$\mathbb F$ 中的数称为标量。

容易看出，$\mathbb F ^ n, M_{m, n}(\mathbb F), \mathbb F \subseteq \mathbb K$ 都是向量空间。

数域 $\mathbb F$ 上的关于变元 $x$ 的所有多项式的集合 $\mathbb F[x]$ 取定 $n\ge 0$，令 $\mathbb F[x]_n$ 是 $n$ 次多项式集合。则 $\mathbb F[x]_n$ 也是 $\mathbb F$ 上的向量空间

$C[a, b]$ 是闭区间 $[a, b]$ 上所有连续实函数的全体构成的集合。

于是 $C[a,b]$ 是 $\mathbb R$ 的一个向量空，$D[a,b]$ 是 $[a, b]$ 上可导实函数的全体构成集合，那么 $D[a, b]$ 也是 $\mathbb R$ 上的一个向量空间。

设 $X$ 是一个集合，记 $F ^ X = \{f:X\rightarrow F\}$，他也是 $\mathbb F$ 的向量空间。

进一步的，令 $\mathbb F ^ {(X)} = \{f:X\rightarrow F \vert 只有有限个 f(x) (x\in X) 不是 0 \}$ ，于是 $\mathbb F ^ {(x)}$ 也是 $\mathbb F$ 上的向量空间。

子空间

定义：设 $V$ 是数域 $\mathbb F$ 的一个向量，$V$ 的一个非空子集合 $W$ 成为 $V$ 的一个子空间

$\alpha + \beta \in W, k\alpha\in W, \forall \alpha, \beta in W, k \in \mathbb F$

此时 $W$ 在 $V$ 的加法和数乘运算下也是 $\mathbb F$ 的向量空间

向量的线性相关性、基和维数

$\mathbb F ^ n$ 中线性相关性的相关结论都可以推广到 $\mathbb F$ 的向量空间内，证明完全一样。

设 $V$ 是在 $\mathbb F$ 上的向量空间 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m \in V$

对于 $k_1, \ldots, k_m \in \mathbb F$，$k_1\alpha_1 + \ldots + k_m \alpha_m$ 称为 $\alpha_1, \ldots \alpha_m$ 的一个线性组合
若存在不全为 $0$ 数 $k_1, \ldots, k_m \in \mathbb F$，使得 $k_1\alpha_1 + \ldots + k_m \alpha_m=0$，那么称这个向量组线性相关，否则线性无关

等价关系也是类似定义的

定理(Steinitz-Exhcange Lemma) 设 $\alpha_1, \ldots , \alpha_r$ 可以被 $\beta_1, \ldots,\beta_s$ 线性表示，那么对于 $\beta$ 重新编号，令 $\alpha_1, \ldots , \alpha_r$ 替换 $\beta$ 的前 $r$ 个，那么此向量组和 $\beta$ 等价

设 $x$ 是 $V$ 的一个子集，那么 $\mathcal{L(x)} \subseteq V$，可以直接验证 $\mathcal L(x)$ 是 $V$ 的一个子空间，称为 $x$ 生成的子空间，实际上 $\mathcal{L(x)}$ 是 $V$ 包含 $x$ 的最小子空间，给定 $\mathcal{L(\emptyset)} = \{\textbf0 \}$

定义：$V$ 是 $F$ 的向量空间

设 $x$ 是 $V$ 的一个非空子集，且 $x$ 中任意有限个向量都是线性无关的，那么 $x$ 是线性无关集
若 $\mathcal{B}$ 是一个线性无关子集，且 $\mathcal{L(B)} = V$，那么 $\mathcal{B}$ 是 $V$ 的一个基

定义：一个向量空间 $V$ 是有限性的，如果存在一个 $V$ 的有限子集 $S$ 使得 $\mathcal{L}(S) = V$，否则 $V$ 是无限的

定义：设 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 是 $V$ 的一个向量组，如果该向量组的向量的一个向量组 $\alpha_{i_1}, \ldots, \alpha_{i_r}$ 是线性无关的，那么

$\alpha_{i_s}$ 之间线性无关
每一个 $\alpha_i$，都可以被 $\alpha_{i_s}$ 表示，那么 $\alpha_{i_s}$ 为一个极大线性无关组

命题：设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 是 $V$ 的向量组，则

该向量组一定有极大线性无关组
他们任意极大线性无关组的大小都是相等的

一个向量组的极大线性无关组的大小称为向量组的秩。

定理：设 $V$ 是一个有限性的向量空间，则 $V$ 一定有一个有限个向量构成的基，进一步得，$V$

任意基大小是相同的。

定义：设 $V$ 是一个有限维的向量空间，且 $\mathcal{B}$ 是 $V$ 的一个基，称 $\vert B \vert$ 是 $V$ 的维数，记作 $\dim V = \dim_{\mathbb F} V = \vert B \vert$，否则 $\dim _{\mathbb F} V = \infty$

定理：设 $V$ 是数域 $\mathbb F$ 上的向量空间，则 $V$ 有一个基。

定义，如果 $P$ 是一个集合，$R$ 是 $P$ 的一个二元关系，为了叙述的简便，用 $x\le y$ 记 $(x, y) \in \mathbb R$

如果 $\mathbb R$ 满足以下性质

反身性
反对称性
传递性

那么 $\mathbb R$ 是一个偏序关系，并且称 $P$ 是一个偏序集，偏序集里面不是任意两个元素就可以比较的：

$P$ 中的一个元素是极大的，当且进当 $y\in P$ 且 $x\le y \Rightarrow y = x
设 $Q$ 是 $P$ 的非空子集，且 $b \in P$，若 $\forall x \in Q, x \le b$，那么 $b$ 是一个上界
如果 $P$ 的任意子集 $Q$ 称为一个全序子集，那么 $\forall x, y \in Q, x\le y$ 或者 $y\le x$

(Zorn's Lemma)：设 $P = (P, \le)$ 是一个非空的偏序集合，假设 $P$ 的一个非空全序子集都有上界，那么 $P$ 至少有一个极大元

上面定理的证明：记 $P = \{x\subseteq V \vert x 线性无关子集\}$

于是 $P$ 对于集合的包含关系是一个偏序集，进一步，$P \not = \emptyset$，因为对于 $0 \not = \alpha \in V$，有 $\{x\} \in P$，设 $Q$ 是 $P$ 的一个非空全序子集，令 $y = \bigcup\limits_{x \in Q} x \subseteq V$

任取有限个互不相同的向量 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m \in y$ 将每一个 $1\le i \le m$，存在一个 $x_i \in Q$ 使得 $\alpha_i \in x_i$，由于 $Q$ 是全序子集，所以存在 $1\le i_0 \le m, x_i\subseteq x_{i_0} \Rightarrow \alpha_{1},\ldots,\alpha_m \in x_{i_{0}} \Rightarrow \alpha_1, \ldots \alpha_m$ 线性无关 $\Rightarrow y \in P$，因此， $y$ 是 $Q$ 的一个上界，由于 Zorn Lemma，则 $P$ 中至少存在一个极大元，所以 $\mathcal{B}$ 是 $P$ 的极大元，下面证明 $\mathcal{B}$ 是 $V$ 的一个基。

那么只需要证明 $\mathcal{L}(\mathcal{B}) = V$ 即可，假设 $\mathcal{L(B)} \subsetneq V$，取 $\beta\in V$ 但是 $\beta \not \in \mathcal{L(B)}$，考虑 $\mathcal{B} \cup \{\beta\}$，下面证明 $\mathcal{B} \cup \{\beta\} \in P$

任取 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m \in \mathcal{B} \cup \{\beta\}$，若 $\alpha_i \not = \beta$，那么 $\alpha_i$ 线性无关，否则，不妨设 $\alpha_m = \beta$，那么 $\alpha_1, \ldots, \alpha_{m - 1}, \beta$ 线性无关，于是 $\beta \cup \mathcal{B} \in P$，此时矛盾。

坐标和基变换

设 $V$ 是 $\mathbb F$ 上 $n$ 维的向量空间，且 $\mathbb F$ 上的 $n$ 维线性空间，$\alpha_i$ 是一组基，任意 $\alpha \in V$ 可以被唯一表示为

$\alpha = x_1 \alpha_1 + \ldots + x_n \alpha_n$ 其中 $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb F$ 唯一确定

称 $(x_1, \ldots, x_n)$ 是向量 $\alpha$ 在基 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ 的一个坐标。

显然向量的坐标加减得到的坐标也对应着原本的向量加减得到的向量，说明这是一个双射。

定义：设 $\beta$ 是 $V$ 的一组基，并且满足

\[\begin{aligned} \beta_1& = a_{11}\alpha_1 &+& \ldots&+a_{n1} \alpha_n\\ \vdots&&&& \vdots\\ \beta_n& = a_{1n}\alpha_n &+& \ldots&+a_{nn} \alpha_n \end{aligned} \]

那么得到 $n$ 阶方阵 $A$，则 $\beta = \alpha A$，$A$ 为过渡矩阵，则任意 $\xi \in V$，两组基 $\alpha, \beta$ 下坐标分别为 $x, y$，那么有 $y = Ax$，这里是反过的，显而易见的是，过渡矩阵是可逆的

定理：设 $V$ 是 $n$ 维线性空间

设 $A$ 是从基 $\alpha$ 到 $\beta$ 的过渡矩阵，那么 $A$ 是可你的，并且 $A ^ {-1}$ 是 $\beta$ 到 $\alpha$ 的过渡矩阵
任意可逆矩阵 $A$，和一组基 $\alpha$，必有 $\beta = \alpha A$ 也是一组基

子空间

$V$ 是一个向量空间，那么 $V_1, V_2\subseteq V$ 是子空间，首先 $0\in V_1 \cap V_2$ 可以得到交不为空，显然的 $V_1 \cap V_2$ 也是 $V$ 的子空间，但是子空间的并不一定是自空间，取而代之的是 $V_1 + V_2$ 是子空间.

定理：设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的有限维度子空间，那么 $\dim (V_1 + V_2) = \dim V_1 + \dim V_2 - \dim V_1 \cap V_2$

定理，设 $V_1, \ldots, V_m$ 是 $V$ 的 $m$ 个子空间，那么对于每个 $1\le i \le m$ 有 $V_i \cap (V_1 + \ldots + V_{i - 1} + V_{i + 1} + \ldots + V_m = 0$，那么 $\dim(V_1 + V_2 + \ldots + V_m) = \sum\limits_{i} \dim V_i$，称其为直和，记作 $V_1 \oplus \ldots \oplus V_m$

定理：设 $V_1, \ldots, V_m$ 是 $V$ 下有限维子空间，记 $W = V_1 + V_2 + \ldots + V_m$，那么以下命题是等价的

$V_1\oplus V_2 \oplus \ldots \oplus V_m$ 是直和
$V_i \cap (V_1 + \ldots + V_{i - 1}) = 0$
$\dim W = \dim V_1 + \ldots +\dim V_m$
任取 $V_i$ 的一组基 $\{\alpha_{ij}\},1\le j \le \dim V_i$，那么 $\mathcal{B} = \{\alpha_{ij}\vert 1\le i \le m, 1\le j \le \dim V_i\}$
$W$ 中的每个向量可以唯一的表示为 $V_1, \ldots, V_m$ 中向量的和

命题：设 $V$ 是一个 $n$ 维向量空间，$W$ 是他的子空间，存在 $V$ 的另外一个子空间 $W'$，使得 $W \oplus W' = V$，称 $W'$ 为 $W$ 的补空间

商空间

定义一个向量空间 $V$ 对于其子空间 $W$ 的商空间为 $\frac{V}{W}$，定义二元关系 $\alpha\sim \beta, \alpha - \beta \in W$，我们称 $\alpha$ 和 $\beta$ 模 $W$ 同余，记作 $\alpha \equiv \beta \pmod W$，那么显然 $\sim$ 是一个等价关系，对于 $\alpha \in V$，则 $\alpha + W$ 是 $\alpha$ 关于 $W$ 的陪集，我们令 $\frac{V}{W} = \{\alpha + W\vert \alpha \in V\}$，显然的，我们知道 $\frac{V}{W}$ 也是 $\mathbb F$ 上的向量空间，$\alpha + \beta + W = (\alpha + W) + (\beta + W), k\alpha + W = k(\alpha + W)$

命题：设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间，那么：

$\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 如果 $\alpha_1 + W, \ldots,\alpha_m + W$ 线性无关，那前面那个向量组也线性无关
设 $\frac{V}{W}$ 是有限维的，并且 $\{\alpha_1 + W, \ldots, \alpha_m + W\}$ 是一组基，那么 $V = W\oplus U$，$U = \mathcal{L}(\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$

命题：$\dim \frac{V}{W} = \dim V - \dim W$，称为子空间 $W$ 的余维数。

向量空间的同构

$\dim_{\mathbb F} V = n, \{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ 为一个基，那么坐标 $\phi(\alpha)$ 仍然为 $\mathbb F$ 上的向量空间，且 $V$ 和 $\mathbb F^n$ 有相同的结构

定义：设 $V,W$ 都是 $\mathbb F$ 上的向量，且 $\phi : V\rightarrow W$ 是一个双射，并且 $\phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b), \phi(ka) = k\phi(a)$，作为 $\mathbb F$ 上的向量空间，那么 $V$ 和 $W$ 有相同的结构 $V \cong W$

定理：$\phi:V\rightarrow W$ 是一个同构映射

$\phi(0) = 0, \phi(-\alpha) =- \phi(\alpha)$
$\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ $\phi(\alpha_1), \ldots, \phi(\alpha_m)$ 线性相关
逆映射也是同构映射

$V \cong V$
$V \cong W \Leftrightarrow W \cong V$
$V \cong W , W \cong U \Leftrightarrow V \cong U$

推论：数域 $\mathbb F$ 上的两个有限维向量空间 $V$ 和 $W$ 同构当且进当 $\dim V = \dim W$

线性映射与线性变换

$A\in M_{m, n}(\mathbb F), \phi_A : \mathbb F ^ n \rightarrow F ^ m, \alpha\mapsto A\alpha$，那么有 $\phi_A(\alpha + \beta) = \phi_A(\alpha) + \phi_A(\beta), \phi_A(k\alpha) = k\phi_A(\alpha)$

保持向量的加法
保持向量的乘法

这叫保持线性性

Fuctions describe the world! Thomas Garryty

线性映射的定义及其运算

设 $V, W$ 是 $\mathbb F$ 上的向量空间，如果一个映射 $\phi:V\rightarrow W$ 满足 $\phi(\alpha + \beta) = \phi(\alpha) + \phi(\beta), k\phi(\alpha) = \phi(k\alpha)$，那 $\phi$ 叫做线性映射 (linear map)

如果 $\phi$ 是双射就是线性同构(linear isomorphism)

$V$ 到自身的线性映射称为 $V$ 上的一个线性变换(linear transformation)

$0$ 映射就是任何元素都映射到 $0$ 的映射

设 $U$ 是 $V$ 的一个子空间，则包含映射 $I:U \rightarrow V, \alpha\mapsto \alpha$ 是线性映射。

自然投射 $\pi V :\rightarrow \frac{V}{U}，\alpha\mapsto \alpha+U$ 是一个线性映射

恒等映射 $id_V :V\rightarrow V, \alpha\mapsto V$ 是 $V$ 上的线性变换，称为 $V$ 上的恒等变换。

给定一个 $k\in \mathbb F$，映射 $V\rightarrow V, \alpha\mapsto k\alpha$ 是一个纯量变换

设 $V_1, V_2$ 是 $V$ 的子空间，并且 $V =V_1 \oplus V_2$，映射 $V = V_1 \oplus V_2\rightarrow V, \alpha = \alpha_1+ \alpha_2 \mapsto \alpha_1$ 为

积分映射和求导映射也是线性映射

命题：设 $\phi : V\rightarrow W$ 是一个线性映射

$\phi(0) = 0$
若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 线性相关，那么 $\phi(\alpha_1), \ldots, \phi(\alpha_m)$ 也线性相关，反过来不一定成立
若 $\phi$ 是线性同构，那么 $\phi^{-1}$ 也是

记 $\mathcal{L}(V, W) = \{\phi:V\rightarrow W\vert \phi 是线性映射\}$，那么 $\mathcal{L}(V, W)$ 也是 $\mathbb F$ 上的线性空间。

设 $W = \mathbb F$，$\mathcal{L}(V, \mathbb F)$ 中的线性映射称为 $V$ 上的线性函数，记 $V ^ * = \mathcal{L}(V, \mathbb F)$ 称为 $V$ 的对偶空间。

命题：设 $\psi : \mathbb F ^ n \rightarrow F ^ m$ 是一个线性映射，则存在 $A \in M_{m, n}(\mathbb F)$，使得 $\phi_A = \psi$，即 $\psi(\alpha) =A \alpha$

映射的合成定义了 $\mathcal{L}(V)$ 上的一个二元运算

$\mathcal{L}(V) \times \mathcal{L}(V) \rightarrow \mathcal{L}(V) (\phi, \psi)\mapsto \phi \circ \psi$ 于是 $\mathcal{L}(V)$ 是对于线性变换加法和乘法运算成为一个环，但是一般不交换的。

注：$\mathcal{L}(V)$ 具有 $\mathbb F$ 的响亮空间结构又有环结构，通常称 $\mathcal{L}(V)$ 是一个 $\mathbb F-$ 代数

更多的例子：

$\mathbb M_{n}(\mathbb F)$：$\mathbb F$-代数
$\mathbb F[x]$：$\mathbb F$-代数
$C[0, 1]$：$\mathbb R$-代数
$\mathbb R\subseteq \mathbb K$：$\mathbb K$ 是 $\mathbb F$-代数

线性映射的像和核

$\phi : V\rightarrow W$ 是一个线性映射，称 $W$ 的子集和 $\rm {Im} \phi = \{f(\alpha)\vert\alpha \in V\}$ 是 $V$ 中的像，称 $V$ 的子集 $\rm{Ker} \phi = \{\alpha \in V\vert \phi(\alpha) = \textbf{0}\} = \phi ^ {-1} (0)$ 是 $\phi$ 中的核。

命题：设 $\phi:V\rightarrow W$ 是线性映射，则

$\rm{Ker} \phi, \rm{Im}\phi$ 均为 $V$ 与 $W$ 的子空间，如果 $\dim V = n$ 且 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ 是 $V$ 的一组基，则 $\rm {Im} = \mathcal{L} (\phi (\alpha_1), \ldots, \phi(\alpha_n))$ 特别的 $\dim \rm{Im}\phi \le n = \dim V$
$\rm {Ker} \phi \textbf{0} \Leftrightarrow \phi$ 是单射，$\rm {Im} \phi = W\Leftrightarrow \phi$ 是满射

称 $W/\rm{Im} \phi$ 是 $\phi$ 的余核，

设 $V, W$ 有限维，且 $\phi:V\rightarrow W$ 是线性映射，称 $\dim \rm{Im}\phi$ 为 $\phi$ 的秩，记作 $r(\phi)$ 称 $\rm {Ker} \phi$ 为 $\phi$ 的零度。

定理（线性映射的维数公式）设 $\phi:V\rightarrow W$ 是一个线性映射 $V$ 是有限维的，则 $\dim \rm{Im} \phi + \dim \rm{Ker} \phi = \dim V$

线性映射和矩阵

$\phi : V\rightarrow W, \dim V = n, \dim W = m, \{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ 是一组基，$\{\beta_1, \ldots, \beta_m\}$ 是一组基

并且 $\phi(\alpha_j) = \sum\limits_{i = 1} ^ m a_{ij} \beta_i$

也就是说称 $A = (a_{ij})_{m\times n}$ 是基 $\alpha, \beta$ 下的矩阵，同时得到一个映射 $H:\mathcal{L}(V, W)\rightarrow M_{m, n}(\mathbb F), \phi\mapsto A$

定理：$H$ 是一个同构映射，特别的 $\dim \mathcal{L}(V, W) = nm$

根据坐标，我们有 $\eta_1:V\stackrel{\sim}\rightarrow \mathbb F ^ n, \eta_2 :W \stackrel{\sim}{\longrightarrow}\mathbb F ^ m$

定理：假设同上，设 $\phi:V\rightarrow W$ 且设他在两个基下的矩阵是 $A$，那么 $\eta_2 \circ \phi = \phi_A \circ \eta_1$

定理：$\dim \rm{Im} \phi = r(A), \dim \rm{Ker} \phi = n - r(A)$

设 $V, W, U$ 分别是 $n, m, s$ 维向量空间，$\alpha , \beta, \gamma$ 分别是基，$\phi: V\rightarrow W, \psi:W \rightarrow U,\phi$ 的矩阵是 $A$，$\psi$ 的矩阵是 $B$ 那么 $\psi \circ \phi$ 的矩阵是 $BA$

线性变换和不变子空间

$\dim V = n$ $\alpha$ 是一个基

设 $\phi \in \mathcal {L}(V)$ 于是有对应的方阵 $A$

定理，假设同上则 $H$ 是一个线性同构，则 $H$ 是一个线性同构，并且

$H(\phi \circ \psi) = H(\phi) H(\psi)$
$H(id_V) = I_n$
$\phi \in \mathcal{L}(V)$ 是线性同构，当且进仅当 $H(\phi)$ 是可逆矩阵，并且此时 $H (\phi ^ -1) = H(\phi) ^ {-1}$

注：上述定理表明，作为 $F-代数，$\mathcal{L}(V)$ 与 $M_n(\mathbb F)$ 是同构的

设 $V$ 是 $n$ 维向量空间，$\{\alpha_1, \ldots,\alpha_n\}$ 和 $\{\beta_1, \ldots, \beta_n\}, \beta = P\alpha, \phi(\alpha) = A\alpha, \phi(\beta) = B\beta$，那么 $B = P ^ {-1} A P$

定义 $A, B \in M_n(\mathbb F)$，如果存在一个 $n$ 阶可逆矩阵 $P$，使得 $B = P ^ {-1} A P$。那么称 $A\sim B$ 相似

命题：

矩阵的相似是等价关系
设 $V$ 是有限维的，且 $\phi \in \mathcal L V$。则则 $\phi$ 在 $V$ 的不同基下的矩阵是相似的

设 $\lambda \in \mathbb F, A\in M_n(\mathbb F)$ 若 $A \sim \lambda I$，则 $\lambda I \sim \mu I \Leftrightarrow \lambda = \mu$

$A, B \in M_n(\mathbb F)$ 则 $A$ 和 $B$ 相似当且仅当 $A$ 施行一系列如下形式初等变换可以得到 $B$

交换 $i,j$ 列，交换 $i, j$ 行
用 $c$ 乘上 $i$ 行，用 $c ^ {-1}$ 乘 $j$ 列
将 $i$ 行的 $k$ 倍加到 $j$ 行，同时把 $j$ 列的 $-k$ 倍加到 $i$ 列

定义：设 $\phi \in \mathcal L(V)$ 如果 $V$ 的一个子空间 $U$ 满足 $\phi U \subset U$，那么称 $U$ 是 $\phi$ 的不变子空间，此时 $\phi$ 诱导了 $U$ 上的一个线性变换 $\phi|_U:U\rightarrow U , \alpha\mapsto \phi(\alpha)$

例一：设 $\phi \in \mathcal{L}(V)$ 则 $0$ 和 $V$ 都是不变子空间，如果 $V_1, V_2$ 都是不变子空间，那么 $V_1 \cap V_2, V_1 + V_2, \rm{Ker} \phi, \rm{Im} \phi$ 也是

例二：$V = \mathbb R ^ 2, A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1\end{bmatrix},\phi_A = \mathbb R ^ 2\rightarrow \mathbb R ^ 2, (x, y)\mapsto (x, y)A = (x + y, -x + y), \phi_A$ 中没有非平凡的不变子空间

命题：设 $\dim V = n,\phi \in \mathcal{L}(V)$ 且 $U$ 是 $\phi$ 中的不变子空间，取 $U$ 的一个基，$\{\alpha_1, \ldots,\alpha_m\}, m= \dim U$ 并扩充成为 $V$ 的一个基 $\{\alpha_1, \ldots,\alpha_m,\ldots, \alpha_n\}$ 则 $\phi$ 在 $\alpha$ 下的矩阵具有以下形式，矩阵 $a_{i, j}=0$ 当 $i\ge m, j\le m$ 的时候。

推论：设 $V$ 是一个有限维的向量空间，$\phi \in \mathcal L V, V = V_1 \oplus V_2$ 其中 $V_1, V_2$ 是不变子空间，选取 $V_1$ 和 $V_2$ 的基 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_s\}$ 和 $\{\beta_1, \ldots, \beta_t\}$，那么这基 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_s, \beta_1, \ldots, \beta_t\}$ 的矩阵有如下形式 $\begin{bmatrix}A_1 & 0 \\ 0 & A_2\end{bmatrix}$。

----此处有特征值相关

例一：设 $V$ 是有限维的向量空间，$\phi_1, \ldots, \phi_m \in \mathcal{L}(V), m\ge 2$ 互不相同，那么存在 $\alpha \in V$ 使得 $\phi_(\alpha) \not = \phi_j(\alpha)$，取 $\alpha V \backslash (\cup_{i\not = j} \rm{Ker}(\phi_i -\phi_j))$

例二：$\phi = \lambda id_V$ 则 $V$ 的每一个子空间都是 $\phi$ 的不变子空间，$A =\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 1&0\end{bmatrix}, \phi_A:(x, y) \mapsto (x, y)A = (0, x)$

那么 $\rm{Ker} \phi = \rm{Im} \phi = (0, a)$

例三：设 $\dim V < \infty, \phi \in \mathcal{L}(V)$，存在 $m\ge 1$ 使得 $V = \rm{Ker} \phi ^ m \rm{Im} \phi ^ m$

证明：

对于 $i\ge 1$ 有 $\rm{Ker} \phi ^i \subset \rm{Ker} \phi ^ {i + 1}, \rm{Im} \phi ^ {i + 1} \subset \rm{Im} \phi ^ i$

只需证明 $m$ 足够大之后 $\rm{Ker} \phi ^ m \cap \rm{Im} \phi ^ m = 0$ 即可。

例四：设 $A, B\in M_{m, n} (\mathbb F), Ax = 0 , Bx = 0$ 同解，存在 $P \in M_(\mathbb F), B = PA$

多项式 Polynomials

一元多项式和一元多项式的整除性

设 $\mathbb F$ 是一个数域，$x$ 是一个符号叫不定元，形如下面的表达式 $f(x) = a_n x ^ n + \ldots + a_1 x + a_0$，称为 $\mathbb F$ 上的一元多项式，其中 $n\ge 0, a_n, \ldots, a_0\in \mathbb F$

第 $i$ 项是 $a_i x ^ i$, $a_i$ 是第 $i$ 项系数，特别的 $a_0$ 为常数项，$a_n \not = 0$ 时，称 $a_nx ^ n$ 为首项，$a_n$ 为首项悉数，称 $n$ 为次数，$n = \deg(f)$。首一多项式就是首项为 $0$,还有 $0$ 多项式，如果所有项数为 $0$，那么是 $0$ 多项式

记：$\mathbb F[x] = {a_0 + \ldos + a_n x ^ n}, $f(x)$ 有代数结构

设 $f(x), g(x) \in \mathbb F[x]$ 且 $0 \not = c \in \mathbb F$ 则
1. $\deg (c f(x)) = \deg f(x)$
2. $\deg (f(x) \cdot g(x)) = \deg f(x) + \deg g(x)$
3. $\deg(f(x) \pm g(x))\le \max \{\deg f(x), \deg g(x)\}$
$f(x) \not = 0, g(x) \not = 0\Rightarrow f(x)g(x) \not = 0$
$f(x) g(x) = f(x) h(x), f(x) \not = 0\Rightarrow g(x) = h(x)$

定义：设 $f(x), g(x) \in \mathbb F[x]$ 如果存在一个多项式 $h(x) \in \mathbb F[x]$ 使得 $f(x) = g(x)h(x)$，那么称 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的一个因式，也称做 $g(x)$ 整除 $f(x)$，记作 $g(x)|f(x)$

$0|f(x)\Rightarrow f(x) = 0$

定理：$f(x), g(x)\in \mathbb F[x]$ 且 $g(x) \not = 0$,存在唯一 $q(x), r(x) \in \mathbb F[x]$ 满足 $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$ 且 $\deg r(x) < \deg g(x)$

注：多项式的带余除法和数域的扩大无关，确切地说 $\mathbb F \subset \mathbb K$ 设 $f(x), g(x) \in \mathbb F[x]$ 且 $g(x) \not = 0$，于是 $f(x), g(x)$ 也可看作 $\mathbb K[x]$ 中的多项式，分别在 $\mathbb F[x], \mathbb K[x]$ 作带余除法，我们有 $f(x) = g(x) q(x)+r(x), f(x) = g(x) \overline{q(x)}+\overline{r(x)}$ 这两个式子是一样的。

最大公因式

定义，设 $f(x), g(x) \in \mathbb F[x]$ 如果 $d(x) \in \mathbb F[x]$ 并且满足 $d(x)|f(x), d(x)|g(x)$，那么 $d(x)$ 是一个公因式，如果 $d(x)$ 是公因式，并且对于任意公因式 $d_1(x)$ 都有 $d_1(x) |d(x)$，那么称其为最大公因式。

引理：设 $f(x), g(x), u(x)\in \mathbb F[x]$，若 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最大公因式，额 $d(x)$ 也是 $f(x) + u(x) g(x)$ 的最大公因式。

定理：设 $f(x), g(x) \in \mathbb F[x]$，则总存在最大公因式 $d(x) = u(x) f(x) + v(x)g(x)$ 其中 $u(x), v(x) \in \mathbb F[x]$

证明：使用辗转相除即可

定理：$f(x), g(x)$ 的最大公因式 $d(x), d_1(x)$ 则 $d(x) = c d_1(x)$

当 $f(x), g(x)$ 不全为 $0$ 时，记 $(f(x), g(x))$ 为首1多项式，约定 $(0, 0) = 0$

一种抽象的方法 $\{u(x) f(x) + v(x) g(x) \not = 0\vert u(x), v(x) \in \mathbb F[x]\}$，这里面最小次数的多项式 $d(x)$ 就是最大公因式。

设 $f_1(x), \ldots, f_m(x)$ 的最大公因式，并且证明如果 $d(x)$ 是最大公因式，那么 $u_1(x)f_1(x) + \ldots + u_m(x) f_m(x) = d(x)$

一般的， $(f_1, \ldots, f_m) = ((f_1, \ldots, f_{m - 1}), f_m)$ 首一的最大公因式。

定义：设 $f(x), g(x) \in \mathbb F[x]$，若 $(f(x), g(x)) = 1$，则称其互素。

定理：设 $f(x), g(x) \in \mathbb F[x]$，则 $f(x), g(x)$ 互素当且进当存在 $u(x), v(x) \mathbb F[x]$ 使得 $u(x) f(x) + v(x) g(x) = 1$

推论：设 $(f(x), g(x) = d(x), h(x) \in \mathbb F[x], h(x)d(x)$ 是 $h(x)f(x), h(x)g(x)$ 的最大公因式。

推论：设 $(f_1(x), g(x)) = 1, (f_2(x), g(x)) = 1$ 则 $(f_1(x)f_2(x), g(x)) = 1$

定义：$f(x), g(x) \in \mathbb F[x]$，$f(x) | m(x), g(x) | m(x)$，则称 $m(x)$ 是 $f(x), g(x)$ 的公倍式，如果 $m(x)$ 是 $f(x), g(x)$ 公倍式，并且对于其他公倍式 $m_1(x)$ 均有 $m(x)|m_1(x)$

推论：设 $f(x), g(x)$ 是非 0 多项式，$d(x) = (f(x), g(x))$，那么 $f(x)g(x) = d(x)m(x)$。

$[f(x), g(x)]$(6 + 4 x + 2 x^2 - 4 x^3 - 2 x^4 + x^5)/(1 + x + x^2) 为首 1 的最小公倍式

定理：(chinese Reomainder Theorom)

设 $f_1(x), \ldots, f_n(x) \in \mathbb F[x]$ 是两两互素的多项式，既有 $(f_i(x), f_i(j)) = 1, \forall i \not j$，则对于任意的给定多项式 $r_1(x),\ldots,r_n(x)$，存在 $\phi(x)$ 满足

$\phi(x) = f_i(x) q_i(x) + r_i(x)$，其中 $q_i(x) \in \mathbb F[x]$

令 $H_i = \prod\limits_{j \not = i} f_j(x)$，考虑存在 $u_i(x) f_i(x) + v_i(x)H_i(x) = 1$ 则 $\phi(x) = \sum\limits_{i = 1} ^ n (r_i(x) v_i(x) H_i(x))$ 即可

不可约多项式与因式分解

定义：设 $p(x) \in \mathbb F[x]$ 是一个次数 $\ge 1$ 的多项式，如果 $p(x)$ 不能表示为 $\mathbb F[x]$ 两个较低的多项式的乘积，那么称 $p(x)$ 是不可约的，否则 $p(x)$ 是可约的。

命题：设 $p(x) \in \mathbb F[x]$ 是不可约的，且 $f(x) \in \mathbb F[x]$，则 $p(x) | f(x)$ 或者 $(p(x), f(x)) = 1$

命题：设 $p(x) | f(x)g(x)$，则 $p(x) | f(x)$ 或 $p(x) | g(x)$

唯一分解定理：

设 $f(x) \in \mathbb F[x]$ 是一个次数大于 0 的多项式，则其可以表示为若干个不可约多项式的乘积，设

$f(x) = p_1(x)\ldots p_s(x) = q_1(x) \ldots q_s(x)$

通过调整顺序可以得到 $p_i(x) \sim q_i(x),\forall i$

设 $f(x) \in \mathbb F[x]$ 并且 $\deg f(x) \ge 1$，则 $f(x) = c \prod p_i(x) ^ {t_i}$

其中 $c$ 是首项系数，$m, t_i \ge 1$，$p_i(x)$ 是互不相同的首 1 多项式。

命题：标准分解之后，$[f(x), g(x)]$ 的标准分解的每个系数是 $\max(t_i, s_i)$，类似的 $(f(x), g(x))$ 的标准分解每个系数是 $\min(t_i, s_i)$

定义：设 $p(x), f(x) \in \mathbb F[x]$ 且 $p(x)$ 不可约，$k\ge 1$，如果 $p(x)^k| f(x)$ 但是 $p ^ {k + 1} \nmid f(x)$

那么称 $k = 1$ 时 $p(x)$ 为单因式，否则为重因式。

设 $f(x) = \sum\limits_{k = 0} ^ n a_k x ^ k$

引理：设 $k\ge 1$ 并且不可约多项式 $p(x)$ 是 $k$ 重因式，那么 $k > 1$ 时，$p(x)$ 是 $f'(x)$ 的 $k - 1$ 重因式

命题：设 $f(x) \in \mathbb F[x], \deg f(x) \ge 1$ 且 $f(x)$ 的标准分解式为 $f(x) = c \prod\limits_{k = 1} ^ n p_i(x) ^ {t_i}$ 则 $(f(x), f'(x)) = \prod\limits_{k =1} ^ n p_i(x) ^ {t_i - 1}$

定理：设 $f(x) \in \mathbb F[x], \deg f(x) \ge 1$，则 $f(x)$ 没有重因式，当且仅当 $(f(x), f'(x)) = 1$

多项式函数与多项式的根

设 $f(x) = \sum\limits_{k = 0} ^ n a_i x ^ i\in \mathbb F[x]$，对于 $c\in \mathbb F$ 称 $F(c)$ 是其在 $c$ 处的值。

于是得到一个函数 $\mathbb F \rightarrow \mathbb F, c\mapsto f(c)$，称他是由多项式 $f(x)$ 决定的多项式函数，仍然记作 $f(x)$

根据定义，若 $f(x), g(x)$ 是 $\mathbb F[x]$ 的两个相等多项式，那么多项式函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相等，既有 $f(c) = g(c), \forall c \in \mathbb F$

定义，设 $c\in \mathbb F, f(x) \in \mathbb F[x]$ 若 $f(c) = 0$ 那么 $c$ 是 $f(x)$ 的根

定理：（余数定理，Little Bezouts Theorem）

设 $f(x) \in \mathbb F[x], c\in \mathbb F$ 则 $f(x) = (x - c) q(x) + f(c)$，其中 $q(x) \in \mathbb F[x]$，特别的，$c$ 是 $f(x)$ 的根，当且仅当 $(x - c) \mid f(x)$

定义：设 $c\in \mathbb F, f(x) \in \mathbb F[x]$ 如果存在正整数 $k$ 满足 $(x - c) ^ k \mid f(x), (x - c) ^ {k + 1} \nmid f(x)$，那么 $c$ 是 $f(x)$ 的 $k$ 重根， $k = 1$ 时是单根

定理：设 $f(x) \in \mathbb F[x]$ 且 $\deg f(x) = n \ge 1$ 则 $f(x)$ 在 $\mathbb F$ 至多有 $n$ 个根。

推论：设 $f(x), g(x) \in \mathbb F[x]$ 且 $\deg f(x), \deg g(x) \le n$ 若存在 $n + 1$ 个互不相同的数 $c_1, \ldots, c_{n + 1}\in \mathbb F$ 使得 $f(c_i) = g(c_i)$ 那么 $f(x) = g(x)$

推论：设 $f(x) = g(x)\in \mathbb F[x]$ 则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相等当且仅当他作为多项式函数是相等的

注：上述推论对于有限域上的多项式是不成立的

例 $F = \{\mathbb 1, \mathbb 0\}$, $f(x) = x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1, g(x) = x + 1$，此时多项式函数一样。

例1：设 $p(x), f(x) \in \mathbb F[x]$ 且 $p(x)$ 是不可约的，若 $\alpha \in \mathbb C$ 是 $p(x)$ 和 $f(x)$ 的公根，则 $p(x) \mid f(x)$

例2：设 $0\not = f(x)\in \mathbb C[x]$ 且 $f(x) \mid f(x ^ n)$ 其中 $n > 1$，那么 $f(x)$ 的根是 $0$ 或者单位根

复系数和实系数多项式

定理：(Fundeamental Theorem of algrbea)

任何一个次数大于 $0$ 的复系数多项式至少有一个复根

证明：

给定一个复数 $z = a + bi(a, b \in \mathbb R)$，非负实数 $\vert z \vert = \sqrt{a ^ 2 + b ^ 2}$ 成为 $\vert z\vert$ 的模或者是 $z$ 的绝对值，易见 $z$ 的模等于复平面上 $(a, b)$ 到原点的距离。

若 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \vert z_n \vert = \infty$，那么 $\lim \limits_{n\rightarrow \infty} f(z_n) = \infty$

D′Alembert’s Lemma: 设 $f(z) \in \mathbb C [z]$ 是一个正系数多项式，且设 $z_0 \in \mathbb C$ 满足 $f(z_0) \not = 0$，则对于 $z_0$ 的任意邻域均存在 $z\in U$ 使得 $\vert f(z)\vert > \vert f(z_0)\vert$

设：$f(z) = \sum\limits_{i = 0} ^ n a_i z ^ i, a_n \not = 0$，令 $z = x + iy$，展开 $f(z)$ 得到 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中 $u(x, y), v(x, y)$ 是实系数多项式。

那么 $\vert f(z) \vert = \sqrt{u(x, y) ^ 2 + v(x, y) ^ 2}$ 是二元连续的。

由于 $\lim\limits_{\vert z\vert \rightarrow \infty}\vert f(z) \vert= \infty,\exists r \in \mathbb R ^ +, \vert z \vert > r, \vert f(z) \vert > \vert f(0)\vert = \vert a_0\vert$

定义集合 $D(r) = \{z\in \mathbb C \mid \vert f(z)\vert \le r\}$，那么必存在一个 $z_0$ 使得 $\vert f(z_0) \vert \le f(z)\vert,\forall z \in \mathbb C$

本原单位根

在 $\mathbb C [x]$ 上分解 $x ^ n - 1 = \prod\limits_{i = 0}^ {n - 1} (x - \omega_i)$

其中，$\omega_i = e ^ {\frac{2\pi i}{n}} = \cos(\frac{2\pi}{n}) + i \sin (\frac{2\pi}{n})$

有理多项式和整系数多项式

有理多项式可以归纳为在正系数多项式的问题。

给出有理系数多项式是不可以约分的判别方法-—Eisenstein方法

若 $f(x) = \sum\limits_{k = 0} ^ n a_k x ^ k\in \mathbb Q[x]$，那么存在非 $0$ 整数 $r, q$ 使得 $\frac{s}{r} f(x) \in \mathbb Z[x]$

如果对于一个 $f(x) = \sum_{k = 0} ^ n a_k x ^ k \in \mathbb Z[x], (a_n, a_{n - 1}, a_{n - 2}, \ldots, a_0) = 1$，则 $f(x)$ 是一个本原多项式。

则 $f(x) \in \mathbb Q[x], \exists a \in \mathbb Q, f(x) = a f_1(x)$，且 $f_1(x)$ 是本原多项式。

如果 $f, g$ 都是本原多项式，那么 $f(x) g(x)$ 也是本原多项式

设 $f(x) \in \mathbb Z[x] , \deg f(x) \ge 2$ 若任何整系数多项式 $f(x)$ 在 $\mathbb Q[x]$ 中可约，则 $f(x)$ 可以分解成两个次数比较低的整系数多项式的乘积。

设 $f(x) = \sum\limits_{i = 0} ^ n a_n x^ n$ 是一个次数为 $n$ 的正系数多项式，若 $\frac{s}{r}$ 是 $f(x)$ 的一个有理根，其中 $r, s$ 则 $r\mid a_n, s \mid a_0$，进一步，

\[f(x) = (x - \frac{s}{r})q(x) \]

其中 $q(x) \in \mathbb Z[x]$

推论：如果 $c$ 是整系数多项式 $f(x)$ 的一个整数根，则 $\frac{f(1)}{1 - c}, \frac{f(-1)}{c + 1}$ 都是整数。

Eisenstein 判别法

$f(x) = \sum_{i = 0} ^ {n} a_i x ^ i \in \mathbb Z[x]$，其中 $n\ge 1, a_n \ne 0, p \mid a_i (i = 0, \ldots, n - 1), p\nmid a_n, p \nmid a _0 ^ 2$，那么 $f(x)$ 在 $\mathbb Q[x]$ 是不可约的

多元多项式和对称多项式

单项式

定义：

设 $\mathbb F$ 是一个数域，$x_1, \ldots, x_n$ 是不定元，称如下形式的表达式

\[a x_1 ^ {k_1} x_2 ^ {k_2} \ldots x_n ^{k_n} \]

是一个单项式，其中 $a\in \mathbb F, k1_, \ldots k_n \ge 0$，若 $a\ne = 0$，则称 $\sum _{k_i}$ 是这个单项式的系数，两个单项式

\[a x_1 ^ {k_1} x_2 ^ {k_2} \ldots x_n ^{k_n},b x_1 ^ {l_1} x_2 ^ {l_2} \ldots x_n ^{l_n} \]

称为同类项当且仅当 $a = b, \forall i, k_i = l_i$

$n$ 元多项式

定义：

设有限个单项式的形式和

\[f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} a_{i_1,i_2,\ldots,i_n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\ldots x_n ^{i_n} \]

称为系数在 $\mathbb F$ 上的一个 $n$ 元多项式

通过同类项的合并，我们可以假定上述表达式的单项式彼此不是同类项，此时称该表达式中系数非零的最大次数为 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 的次数，记为 $\deg f$

$\mathbb F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 为数域 $\mathbb F$ 上的所有关于不定元 $x_1, x_2,\ldots,x_n$ 的多项式构成的集合，为了方便起见，也用 $f$ 表示 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$

给定两个 $n$ 元多项式

\[f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} a_{i_1,i_2,\ldots,i_n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\ldots x_n ^{i_n}\\ g(x_1,x_2,\ldots,x_n) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} b_{i_1,i_2,\ldots,i_n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\ldots x_n ^{i_n} \]

那么我们定义他们的和

\[f + g = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n}(a_{i_1,i_2,\ldots,i_n}+ b_{i_1,i_2,\ldots,i_n})x_1^{i_1}x_2^{i_2}\ldots x_n ^{i_n} \]

类似的定义数乘运算

\[cf = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} ca_{i_1,i_2,\ldots,i_n}x_1^{i_1}x_2^{i_2}\ldots x_n ^{i_n} \]

类似一元多项式情形，对于上述加法和数乘运算，$\mathbb F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 是数域 $\mathbb F$ 上的无限维向量空间，且有一个基 $\{x_1^{i_1}x_2^{i_2}\ldots x_n ^{i_n}\vert i_1,i_2,\ldots,i_n\ge 0\}$

定义两个 $n$ 元单项式 $a x_1 ^ {k_1} x_2 ^ {k_2} \ldots x_n ^{k_n},b x_1 ^ {l_1} x_2 ^ {l_2} \ldots x_n ^{l_n}$ 的乘积为

\[ab x_1 ^{l_1+k_1}x_2^{l_2+k_2}\ldots x_n ^ {l_n + k_n} \]

进一步的，对于两个 $n$ 元多项式 $f, g$ 的乘积为

\[fg = \sum_{k_1,k_2,\ldots,k_n}\left(\sum_{i_s + j_s = k_s,1\le s \le n} a_{i_1,i_2,\ldots,i_n}b_{j_1,j_2,\ldots,j_n}\right) x _1 ^ {k_1} x_2^{k_2} \ldots x_n ^ {k_n} \]

容易验证 $n$ 元多项式的乘法运算满足：

$gf = fg$
$(fg)h =f(gh)$
$1\cdot f = f\cdot 1$
$f(g + h) = fg + fh$
$c(fg) = (cf)g = f(cg)$

其中 $f, g, h \in \mathbb F[x_1,x_2,\ldots,x_n],c\in \mathbb F$

综上得到 $\mathbb F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 是一个交换的 $\mathbb F-$ 代数因此称他是数域 $\mathbb F$ 上的 $n$ 元多项式代数或者 $n$ 元多项式环。

给定两个不同的单项式

\[a x_1 ^ {k_1} x_2 ^ {k_2} \ldots x_n ^{k_n},b x_1 ^ {l_1} x_2 ^ {l_2} \ldots x_n ^{l_n} \]

如果存在 $s$ 使得 $\forall 1\le i <s ,k_i = l_i,k_s > l_s$，那么

\[a x_1 ^ {k_1} x_2 ^ {k_2} \ldots x_n ^{k_n}\succ b x_1 ^ {l_1} x_2 ^ {l_2} \ldots x_n ^{l_n} \]

根据定义

任意两个单项式都可以排序
这是一个偏序关系
若 $u\succ v$，对于非零单项式 $w$，则 $uw \succ vw$

于是，给定一个多项式 $f$，可以按照上面定义的大小关系从大到小排序，称为多项式的字典排序法。

命题：

设 $f, g$ 为 $n$ 元多项式，按照字典排序法，他们的首项相乘恰好为 $fg$ 的首项。

推论：

若 $f, g\in \mathbb F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 且 $f\ne 0\ne g$ 则 $fg\ne 0$
设 $f,g,h\in\mathbb F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ 且 $fg = fh$ 若 $f\ne 0$，那么 $g = h$

一个 $n$ 元多项式 $f$ 为齐次多项式，当且仅当 $f$ 的所有非零单项式的次数都为 $r$。

命题：

设 $f, g \in \mathbb F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$，那么 $\deg fg = \deg f + \deg g$

齐次子空间

记 $R = \mathbb F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$，对于任意 $m\ge 0$，用 $R_m$ 表示所有 $m$ 次单项式和零单项式的子集合，则 $R_m$ 是 $R$ 的子空间，并且

\[\{x_1^{k_1}x_2^{k_2}\ldots x_n ^ {k_n}\vert \sum k_i = m\} \]

特别的， $\dim_{\mathbb F} R_m = \binom{n + m - 1}{n - 1}$

并且 $R_m R_s \subseteq R_{m + s}$，事实上有

\[R = \oplus_{m} R_m \]

因此 $R$ 是一个 $\mathbb N-$ 分次代数

对于 $\mathbb F$ 中的一个 $n$ 元数组 $(c_1,c_2,\ldots,c_n)$ 会得到一个数

\[f(c_1,c_2,\ldots,c_n) = \sum_{i_1,i_2,\ldots,i_n} c_1 ^ {x_1} c_2 ^ {x_2} \ldots c_n ^ {x_n}\in\mathbb F \]

称其为 $f$ 在 $(c_1,c_2,\ldots,c_n)$ 的值，若 $f(c_1,c_2,\ldots,c_n) = 0$，那称其为一个零点。

类似与一元函数的情况，得到一个函数

\[\mathbb F ^ n \rightarrow \mathbb F, (c_1,c_2,\ldots,c_n) \mapsto f(c_1,c_2,\ldots,c_n) \]

称之为由 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 的多项式函数。

引理：

设 $0\ne f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 则必存在一个数组，使得 $f(c_1,c_2,\ldots,c_n)\ne 0$

命题：

多项式函数 $f = g$ 当且仅当对于任意数组 $c$ 有 $f(c_1,c_2,\ldots,c_n) = g(c_1,c_2,\ldots,c_n)$

注：

对于 $n$ 元多项式，带余除法不成立
整除性理论仍是成立的
但是并不一定存在裴蜀定理

对称多项式

设 $f\in \mathbb F[x_1, x_2,\ldots,x_n]$，如果对于任意排列 $(i_1,i_2,\ldots,i_n)$，都有 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = f(x_{i_1},x_{i_2},\ldots,x_{i_n})$，那么就称其为数域 $\mathbb F$ 上的一个对称多项式。

特别的，有幂和多项式：

\[s_m = \sum_{i = 1} ^ n x_i ^ m \]

因为若 $f, g$ 是对称的，那么 $f + cg$ 也是对称的

初等对称多项式：

\[\sigma _m = \sum_{1\le i_1<i_2<\ldots<i_m \le n} x_{i_1} x_{i_2} \ldots x_{i_n} \]

定理：

设 $f$ 是一个对称多项式，那么存在 $\mathbb F$ 上的唯一一个多项式 $g(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ 使得：

\[f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = g(y_1,y_2,\ldots,y_n) \]

引理：

\[f(x) = \prod_{i = 1} ^ n (x - x_i) \in \mathbb F[x_1,x_2,\ldots,x_n,x] \]

对于 $k\ge 1$ 有：

\[x ^ {k + 1} f'(x) = (s_0 x ^ k + s_1 x ^ {k - 1} + \ldots + s_k)f(x) + g(x) \]

其中 $\deg g(x) < n, f'(x)$ 是 $f(x)$ 关于 $x$ 的导数

定理（Newton's identity）：

若 $1\le k < n$ 则

\[s_k - s_{k - 1} \sigma_1 + s_{k - 2} \sigma_2 + \ldots + (-1) ^ {k - 1} s_1 \sigma_{k - 1} + (-1) ^ k \sigma_k = 0 \]

若 $k \ge n$ 则

\[\sum_{i = 0} ^ n (-1) ^ i s_{k - i}\sigma_i = 0 \]

推论：

设 $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 是一个对称多项式，那么存在 $\mathbb F$ 上的一个唯一多项式 $g(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ 使得：

\[f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = g(s_1,s_2,\ldots,s_n) \]

结式和判别式

引理：

设 $f, g\in \mathbb F[x]$ 是两个非 $0$ 多项式，设 $d(x) = (f, g)$，则 $d(x)\ne 1$ 当且仅当存在 $u(x), v(x) \in \mathbb F[x]$ 使得

\[\deg u < \deg g,\deg v < \deg f \]

且 $f(x) u(x) = g(x)v(x)$

记满足上面条件的

\[f(x) = \sum _{i = 0} ^ n a_{i} x ^ {n - i} \\ g(x) = \sum_{i = 0} ^ m b_{i} x ^ {m - i} \\ u(x) = \sum_{i = 0} ^ {m - 1} u_i x ^ {m - 1 - i} \\ v(x) = \sum_{i = 0} ^ {n - 1} v_i x ^ {n - 1 - i} \]

通过比较 $f(x)u(x) = g(x)v(x)$ 可以得到 $n + m$ 个方程，将 $u, v$ 看作 $m + n$ 个未知元，可以得到系数矩阵的 $m + n$ 阶行列式

\[R(f, g) = \begin{vmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &0 \\ 0 & a_0 & a_1 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_0 & a_1 & \cdots & \cdots &a_n \\ b_0 & b_1 & \cdots & \cdots & b_m & 0 & \cdots &0 \\ 0 & b_0 & b_1 & \cdots & \cdots & b_m & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b_0 & b_1 & \cdots & \cdots &b_m \\ \end{vmatrix} \]

根据定义有：

\[R(f, g) = (-1) ^ {mn} R(g, f) \]

设

\[f(x) = \sum_{i = 0} ^ n a_i x ^ {n - i}\\ g(x) = \sum_{i = 0} ^ m b_i x ^ {m - i} \]

则 $(f, g) \ne 1$ 当且仅当 $R(f, g) = 0$

设 $f, g$ 满足定理的假设条件，那么 $f(x), g(x)$ 在复数域有公根当且仅当 $R(f, g) = 0$

推论：

同上， $f, g$ 互素当且仅当 $R(f, g)\ne 0$

若 $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ 是 $f(x)$ 所有复数根，那么

\[R(f, g) = a_0 ^ m \prod_{i = 1} ^ n g(\alpha_i) \]

定理：

$f, g$ 同上定义，那么

\[R(f, g) = a_0 ^ m b_0 ^ n \prod_{i = 1} ^ n \prod_{j = 1} ^ m (\alpha _i - \beta_j) \]

推论：

\[R(f, gh) = R(f, g) R(f, h) \]

判别式

设 $f(x)$ 是一个 $n$ 次多项式，并且 $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ 是其所有的复根，那么称

\[\Delta(f) = a_0 ^ {2n - 2} \prod_{1\le i < j \le n} (\alpha_i - \alpha_j) ^ 2 \]

是 $f(x)$ 的判别式，并且

\[\Delta (f) = (-1) ^ {\frac{n(n - 1)}{2}}a_0 ^ {-1} R(f, f') \]

posted @ 2024-01-13 23:56 siriehn_nx 阅读(149) 评论(2) 编辑收藏举报

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