[LOJ#6188]「2017 山东二轮集训 Day7」鬼牌
[LOJ#6188]「2017 山东二轮集训 Day7」鬼牌
题意
有 \(n\) 张牌，每张牌上有一个\(1\sim m\)的点数，最开始点数为 \(i\) 的牌有\(a_i\) 张
每次你会随机选两张不同的牌 \(A,B\)，并把 \(A\) 的点数变成 \(B\) 的点数
求所有牌的点数变成一样的期望步数
\(n\le 1e9,m\le 1e5\)
题解
我们首先枚举最后变成了哪种牌，那么所有牌都变成了是这种牌或者不是这种牌两种关系。我们计算这种情况的贡献即可。
假如若干步之后，数量变成0，那么贡献为0，否则，步数为\(n\)，那么这时候贡献为 \(nE(x)\).
考虑首先求出来那个：\(g(i)\) 表示刚开始有 \(i\) 个，然后最后全是这个颜色的概率。首先我们可以猜测是 \(\frac{num}{n}\)，因为每种颜色类似。
证明一下：我们有 \(g(0)=0,g(n)=1\)
并且，一次可能把这玩意颜色数量加一或者减一，那么就是
\[g(i)=\frac{1}{2} (g(i-1)+g(i+1))
\]
这玩意可以退出来 \(g(i)=\frac{i}{n}\)。
我们在考虑求出来 \(f(i)\) 即题目所求。
首先 \(f(0)=0,f(n)=1\)
然后看看能不能做出来 \(f(i),f(i-1),f(i+1)\) 的关系。
我们考虑什么时候多一个少一个之类的、
那么就是设操作一次之后颜色数量没有变化的概率为 \(p\)，否则为 \(q\)。
那么期望走的步数就是
\[\sum_{j\ge 0}(j+1)p^jq
\]
那么就是
\[\frac{q}{(1-p)^2}
\]
还要注意的是可能约束到 \(i-1\) 的情况后成功的概率是 \(\frac{i-1}{n}\)。
所以应该是 \(\frac{q(i-1)}{(1-p)^2n}\)。
然后另一个就是 \(\frac{q(i+1)}{(1-p)^2n}\)
那么就是
\[f_i=\frac{1}{2}(f_{i-1}+f_{i+1})+\frac{n-1}{2\times(n-i)}
\]
这玩意，然后
\[f_{i+1}=2f_i-f_{i-1}-\frac{n-1}{n-i}
\]
然后，设 \(f_1=x\),
那么
\[f_i=ix-\sum_{j=1}^{i-1}((i-j)\times \frac{n-1}{n-j})
\]
然后
\[x=\frac{(n-1)^2}{n}
\]
然后，
\[f_i=\frac{i(n-1)^2}{n}+(n-1)(n-i)(H_{n-1}-H_{n-i})-(n-1)(i-1)
\]
然后做完了。
