洛谷P4139 上帝与集合的正确用法 欧拉定理

洛谷P4139 上帝与集合的正确用法

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• 欧拉定理

前言

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简明题意

• 求$$2^{2{2...}}%p$$
• 其中2表示无限次幂。p<=1e7

思路

• 无限次幂这里是不是有点不清楚？
• 我们设\(f(p)\)表示2的无限次幂模p的结果.由欧拉定理，我们可以把原式写成：

\[2^{f(phi(p))+p}\%p \]

• 所以上式就是一个递归式了，递归的终止条件是：f(1)=0，然后线性筛一下phi[]，直接递归就可以了。

注意事项

• 无

总结

• 回顾一下欧拉定理：

\[a^b=\left\{\begin{matrix} a^{b\bmod\varphi(p)} & (a,p)=1\\ a^b & (a,p)\not=1,b<\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)} & (a,p)\not=1,b\geq\varphi(p) \end{matrix}\right.\pmod p \]

一定要注意使用的条件

AC代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 1e7 + 10;

int a, b, m;

int ksm(int a, int b, int mod)
{
	int ans = 1, base = a;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			ans = 1ll * ans * base % mod;
		base = 1ll * base * base % mod;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}

bool no_prime[maxn];
int prime[(int)7e5], phi[maxn];
long long pre[maxn];
int shai(int n)
{
	int cnt = 0;
	phi[1] = 1;

	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (!no_prime[i])
			prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;

		for (int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; j++)
		{
			no_prime[prime[j] * i] = 1;
			phi[prime[j] * i] = (i % prime[j] == 0) ? phi[i] * prime[j] : phi[i] * (prime[j] - 1);
			if (i % prime[j] == 0) break;
		}
	}

	return cnt;
}

int f(int p)
{
	if (p == 1) return 0;
	return ksm(2, f(phi[p]) + phi[p], p);
}

void solve()
{
	shai(maxn - 10);

	int t;
	scanf("%d", &t);
	while (t--)
	{
		int p;
		scanf("%d", &p);

		printf("%d\n", f(p));
	}
}

int main()
{
	freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	return 0;
}