UVA11426 GCD - Extreme (II) 莫比乌斯反演
UVA11426 GCD - Extreme (II)
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- 莫比乌斯反演
前言
- 我的csdn和博客园是同步的,欢迎来访danzh-博客园~
简明题意
- 求
\[\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^ngcd(i,j)
\]
n <=4e6
思路
- 首先求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\),然后减去对角线,最后除以2就是答案。对角线上ij相等,所以对角线的gcd之和是n*(n+1)/2
- 然后重点在于如何求\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^ngcd(i,j)\)
- 用\(gcd(i,j)=\sum_{d|i且d|j}^n\phi(d)\)反演就可以了。这个式子的最后答案就是\(\sum_{d=1}^n\phi(d)*[\frac nd]^2\),整除分块写就行了。
注意事项
- \(\phi\)的前缀和开long long
总结
- 无
AC代码
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 4e6 + 10;
bool no_prime[maxn];
int prime[maxn];
long long phi[maxn];
int shai(int n)
{
int cnt = 0;
no_prime[1] = phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!no_prime[i])
prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
for (int j = 1; j <= cnt && prime[j] * i <= n; j++)
{
no_prime[prime[j] * i] = 1;
phi[prime[j] * i] = (i % prime[j] == 0) ? phi[i] * prime[j] : phi[i] * (prime[j] - 1);
if (i % prime[j] == 0) break;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
phi[i] += phi[i - 1];
return cnt;
}
void solve()
{
shai(maxn - 10);
while (1)
{
int n;
scanf("%d", &n);
if (n == 0) return;
long long ans = 0;
int l = 1, r;
while (l <= n)
{
r = n / (n / l);
ans += 1ll * (phi[r] - phi[l - 1]) * (n / l) * (n / l);
l = r + 1;
}
printf("%lld\n", (ans - 1ll*n*(n+1)/2) / 2);
}
}
int main()
{
freopen("Testin.txt", "r", stdin);
solve();
return 0;
}
作者:danzh
QQ:1244536605
CSDN(和博客园同步):https://blog.csdn.net/weixin_42431507
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朋友们,虽然这个世界日益浮躁起来,只要能够为了当时纯粹的梦想和感动坚持努力下去,不管其
它人怎么样,我们也能够保持自己的本色走下去。
—clj