LightOJ1336 Sigma Function 约数相关问题

LightOJ1336 Sigma Function

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• 约数相关问题

前言

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简明题意

• 给定n(n<=1e12)，求

\[\sum_{i=1}^n[\sigma(i)\%2=0] \]

\(\sigma\)是约数和的意思，上面的式子用文字形式表示就是：1-n中约数和是偶数的个数。

思路

• 首先看\(\sigma\)函数的计算式：

\[\prod_{p}(1+p^1+p^2+...+p^k_1) \]

• 想让这个累乘式是偶数，那么显然这个是一点也不显然的。因为奇数 * 奇数=奇数，奇 * 偶=偶，偶数 * 偶数=偶数。所以实际上奇数的更好求一些，所以我们转化为n-约数和为奇数的个数。

• 累乘式的结果为奇数，那么每一个被乘式都应该是奇数。所以现在考虑每一个被乘式\(1+p^1+p^2+...+p^{k_1}\).大家可以自行验证一下，想让这个式子是奇数，必须满足下面两条中的一条：

  1. p是偶数
  2. p是奇数且k是偶数

• 我们先只考虑第二条。比如\(n=3^2*5^4*7^2\)，这样的话是满足第二条的，所有的p是奇数，且所有的k是偶数。这样的话，是不是发现此时n是一个完全平方数呢？所以对于第二条，我们统计一下1-n中范围内完全平方数的个数就可以了。

• 现在再考虑第一条。p为偶数，其实只有2这一种情况。这样的n也是符合的：

\[n=2^3*3^2*5^3*7^2$$$$n=2^4*3^2*5^3*7^2 \]

• 第二个仍然是一个完全平方数，我们统计完全平方数的时候就把2的指数是偶数的情况考虑进去了。现在只有2的指数是奇数时没有考虑。这种情况也很简单，对于一个完全平方数，他的两倍，如果<=n，就可以了。
• 所以最后我们可以暴力统计，也可以O(1)计算。代码贴的是暴力统计的。而O(1)的算法，是直接输出\(\sqrt{n}+\sqrt{\frac n2}\)。

注意事项

• 无

总结

• 奇数*奇数=奇数
• 奇数*偶数=偶数
• 偶数*偶数=偶数
• 只有奇数*奇数是奇数，其他相乘全部是偶数
• 累乘式的奇偶性可以通过上式判断
• n以内完全平方数的个数：\(\sqrt{n}\)
• n以内除以k仍然是完全平方数的个数:\(\sqrt{\frac nk}\)

AC代码

#include<cstdio>

void solve()
{
	int t;
	scanf("%d", &t);
	for (int i = 1; i <= t; i++)
	{
		long long n;
		scanf("%lld", &n);

		int ans = 0;
		for (int i = 1; 1ll * i * i <= n; i++)
		{
			ans++;
			if (2ll * i * i <= n)
				ans++;
		}

		printf("Case %d: %lld\n", i, n - ans);
	}
}

int main()
{
	solve();
	return 0;
}