《机器学习》第一周 一元回归法 | 模型和代价函数，梯度下降
课程地址：https://www.coursera.org/learn/machine-learning/lecture/8SpIM/gradient-descent
此篇博文是我在聆听以上课程的笔记，欢迎交流分享。
一 Model and Cost Function 模型及代价函数
1 Model Representation 模型表示
首先，教授介绍了一下课程中将会用到的符号和意义：
m：训练样本的数目
x:特征量
y:目标变量
（x，y）：一个训练样本
（x^（i）,y^（i））:i不是指数，而是指第i行的样本
Univariate linear regression：一元线性回归
2 Cost Function 代价函数
整体目标函数 --> 代价函数(平方误差函数，平方误差代价函数)
二 Gradient Descent 梯度下降
梯度下降算法可以将代价函数j最小化。梯度函数是一种很常用的算法，它不仅被用在线性回归上，也被广泛地应用于机器学习领域中的众多领域之中。
下图是代价函数J中解决线性回归问题的问题概述：
我们希望通过改变theta参数的值来最小化代价函数。
这里，我们考虑有两个参数的情况，我们可以考虑到一个三维图形，两条坐标分别表示theta0和theta1。
梯度下降要做的事，就是从某个起始theta对值开始，寻找最快的下降方向往下走，在路途上也不断地寻找最快下降的方向更改路线，最后到达一个局部最低点。
可以看到，如果起始点稍有偏差，那么我们可能会得到一个非常不同的局部最优解，这也是梯度下降的一个特点。
我们从上图中获得了梯度下降的直观感受，接下来让我们看看梯度下降的定义：
分析一下梯度下降定义公式的一些细节：
我们用“：=”来表示赋值。注意，如果我们写作“=”，表达的意识并不是赋值，而是判断为真的说明，比如a=b，就是断言a的值是等于b的。
α在这里是一个数字，被称为学习效率(learning rate)，在梯度下降算法中，它控制了我们下山时会卖出多大的步子。因此如果α比较大，那我们用大步子下山，如果它比较小，我们就迈着很小的小碎步下山。
在公式中，有一个很微妙的问题。在梯度下降中，我们要同时更新theta0和theta1，而不是先后更新。如果先更新了theta0，再更新theta1就会造成theta1的值出错。
三 Gradient Descent Intuition 梯度下降的客观事实
首先，教授向我们介绍了一下倒数和偏导的概念。教授为了解释明白，说了很长一段话，大概的意思就是，导数在梯度下降中的存在就是为了指出方向，指示我们向局部最低点进发。
然后，就是α的问题。我们来讨论一下学习效率α大小对我们下山的影响：
总结一下：α太小，那我们就像小宝宝一样往下爬得超级慢，但如果α太大，就可能一步跨过了最低点，甚至南辕北辙，无法收敛反而发散出去了。
那如果我们恰好就在或者刚好走到了局部最低点呢？感受一下，这个时候导数是0，这是在告诉我们不要再走啦，不管步子迈多大，都只是原地踏步。所以此时就不再更新theta的值了。
α值都固定了，梯度下降为什么也可以让代价函数收敛到一个局部最低点呢？
事实上，我们并不会跨着相同的步子在最低点两端徘徊做无用功。因为导数不仅为我们指明了方向，也在影响我们每一步的大小。
当我们接近一个局部最低点时，梯度下降也会自然第把步子跨小。所以，没有必要减小α。
三 Gradient Descent For Linear Regression 梯度下降在线性回归中的应用
为了了解梯度下降法的应用，我们需要首先对梯度下降公式中的导数项进行分析：
于是，我们直接得到了更新theta0和theta1的公式（如上图）。要推导这个公式需要一定的微积分基础，如果不熟悉也没有关系，你可以直接应用公式：
事实证明，用于线性回归的代价函数总是一个凸函数（convex function），因此，这个函数没有任何局部最优解，只有一个全局最优解。并且无论什么时候，你对这种代价函数使用线性回归/递归下降法得到的结果，都会是收敛到全局最优值的。因为没有全局最优以外的其他局部最优点。
最后，我们刚刚使用的算法有时也被称为“批量梯度下降法”，意思是——在梯度下降的每一步中，我们最终都要计算所有m值代价的求和运算，所以“批量梯度算法”也是指“一批”训练集“。
