欧几里得算法与扩展欧几里得算法

一、欧几里得算法

欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

例：
（1）求解55 22 的最大公约数，则利用欧几里得算法：
gcd(55,22)=gcd(22,55mod22)
=gcd(22,11)
=gcd(11,22mod11)
=gcd(11,0)=11

c代码：

#include<stdio.h>

int gcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b);
}


int main(void)
{
    int a,b,min;
    printf("请输入两个数字\n");
    scanf("%d%d",&a,&b);
    min=gcd(a,b);
    printf("%d %d 的最大公约数%d\n",a,b,min);
    system("PAUSE");
    return 0;
}

扩展欧几里得算法

1、乘法逆元
如果ax≡1 (mod m),且gcd(a,m)=1（a与m互质）
则称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元

例：
8 是 7 关于 11 的逆元
因为 7 × 8 = 5 × 11 + 1，所以说 7 模 11 的逆元是 8。

2、扩展欧几里得算法
设a和m是两个整数(至少有一个非零)，d = gcd(a,m)，则存在整数x和y使得ax + my = d成立。
特殊情况下，如果a和m都是素数，那么存在整数x和y使得ax + my = 1成立。

3、求得a关于m的乘法逆元x
考虑像欧几里得算法一样递归gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
假设已知bx’+a%by’=gcd(b,a%b)的一组解x’,y’；
ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx’+（a%b）y’
=bx’+（a - （a/b）* b）* y’
=ay’+ b（x’-（a/b）* y’）

于是得到：x=y’ y=x’- （a/b）* y’

4、那么是否真的存在已知的一组解x’,y’？
首先给出答案，若a，b互素，则存在已知值x’=1,y’=0；

推导过程如下：
由欧几里得算法gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。
若a mod b = 0；则gcd(a,b) = b；
gcd(b,a mod b) = bx’+a%by’ = b1+a%b*0=b 成立

例：求26 关于 15 的乘法逆元
解：gcd (26, 15) = gcd（15， 11） = gcd（11， 4） = gcd（4， 3） = gcd（3， 1） = gcd（1， 0） = 1
故 26 存在 关于15的乘法逆元；
利用关系 于是得到：x=y’ y=x’-（a/b） * y’
逆向求解：
gcd（1， 0）= 1 * 1 + 0 * 0 = 1；此时x = 1，y = 0；
gcd（3， 1）= 3 * 0 + 11 = 1；此时x=0，y=1-（3/1） * 0=1；
gcd（4， 3）= 4*1 + 3 * （ -1） = 1；此时x=1， y=0-（4/3）*1=-1；
gcd（11， 4）= 11 * （-1）+4*3 = 1；此时x= -1，y=1 - （11/4）（-1） = 3；
gcd（15， 11）=153+ 11 （-4） = 1；此时x=3，y=（-1） - （15/11）3 = -4；
gcd (26, 15) = 26 * （-4）+ 15*7= 1；此时x=-4，y= 3- （26 / 15） （-4）= 7；
在密码学算法中，我们需要的逆元一般选择最小正整数；故此时的x=-4，不满足条件；
小技巧：若x<0；x=（x+n）%n；即可；
推导过程如下：
利用模运算性质 （a*b）% n = （（a%n） * （b%n）） % n；
（a *（（x+n）%n））%n =（ a%n * （（x+n）%n）%n）%n
=（a%n * x%n%n）%n
=（a%n * x%n）%n
=（ax）%n
故满则条件的x应为： -4+15*1 = 11；

求乘法逆元c代码：

#include<stdio.h>
int *p;//第1行数组的值
int *q;//第二行数组的值
int h[2][10];
int i;
/*欧几里得算法*/
int gcd(int a,int b,int num)
{
    *(p+num)=a;
    *(q+num)=b;
    num=num+1;
    if(b==0)
        return a;
    return gcd(b,a%b,num);
}
//扩展欧几里得求逆元
int vid(int x,int y)
{

    int mid=0;
    mid=y;
    //求每次的y值
    y=x-(h[0][i]/h[1][i])*y;
    x=mid;
    i--;
    if(i==-1)
        return x;

    return vid(x,y);
}

int main(void)
{
    int a,b,min;
    int num=0;
    //用两个指针指向a，b两个数。
    p=&h[0][0];
    q=&h[1][0];
    printf("请输入两个数字\n");
    //scanf("%d %d",&a,&b);
    a=26,b=15;
    //执行辗转相除法
    min=gcd(a,b,num);

    //判断最大公约数是否为1
    if(min==1)
        printf("%d,%d互素",a,b);
    else{
        printf("%d,%d不互素",a,b);
        return 0;
    }

    //得到数组中最后一个数
    for (i = 0; i <10 ; ++i) {  //a的值

        if(*(p+i)==1)
            break;
    }
    i--;
    //进入求逆元的递归函数
    int x=1,y=0;
    x=vid(x,y);
    //判断逆元
    if(x>=0)
        printf("\n逆元为%d",x);
    else
        printf("\n逆元为%d ",h[1][0]+x);
    return 0;
}