blasphemy - 题解

题意：有一个数列，支持两种操作。

1. 在数列一个数后插入一个新数；
2. 选一个区间，每次将区间所有数的值都减 $ 1 $ ，有一个值变为 $ 0 $ 后重复操作，询问会操作几次。询问对接下来的操作不干涉。

题解：
算法一：
询问可转化为一段区间没出现的数最小是多少。每次 $ O(n) $ 暴力即可。

算法二：
没有强制在线就是舒服。
将所有操作离线，预处理出操作在数列中的位置，所有插入操作变为修改操作。这个过程可以用 $ Splay $ 维护。注意数列中元素初始为无穷大。
我们发现信息很难有树形结构维护，于是考虑莫队。莫队维护一段区间每个值出现次数和是否出现，然后我们可以用各种方法维护（树状数组+前缀和，线段树），时间复杂度 $ O(n^{\frac{5}{3}} \log {n}) $。
当然我们可能发现 $ TLE $ 。

优化1：读入优化，输出优化，不必多说。

优化2：我们维护的数据结构不够优秀，莫队的每次修改（一共 $ n^{\frac{5}{3}} $ 次）都需要 $ O(\log n) $ 的时间。我们发现询问操作很少（只有 $ n $ 次），于是我们可以用 $ O(1) $ 修改、 $ O(\sqrt {n}) $ 查询的分块维护，时间复杂度 $ O(n^{\frac{5}{3}} + n \sqrt{n}) $。

优化3：O2优化。

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(3)
using namespace std;
const int N=100050,INF=100002;
int n,blo,a[N],ans[N],l=1,r=0,now=0;
int bl[N],L[N],R[N],b[400],cnt[N],blosize;
char pr[N*10],lpr=0;

namespace Splay {
	#define lc ch[u][0]
	#define rc ch[u][1]
	int fa[N],ch[N][2],sz[N],rt=0,tot=0;
	void pushup(int u) { sz[u]=1+sz[lc]+sz[rc]; }
	void rotate(int u) {
		int y=fa[u],z=fa[y],k=ch[y][1]==u,w=ch[u][k^1];
		if(z) ch[z][ch[z][1]==y]=u; ch[y][k]=w,ch[u][k^1]=y;
		if(w) fa[w]=y; fa[y]=u,fa[u]=z;
		pushup(y),pushup(u);
	}
	void splay(int u,int goal) {
		for(int y,z;fa[u]!=goal;rotate(u)) {
			y=fa[u],z=fa[y];
			if(z!=goal) rotate((ch[y][0]==u)^(ch[z][0]==y)? u:y);
		}
		if(!goal) rt=u;
	}
	int getid(int u,int s) {
		if(!u) return 0; if(sz[lc]+1==s) return u;
		return sz[lc]>=s? getid(lc,s):getid(rc,s-sz[lc]-1);
	}
	int getrnk(int u) { splay(u,0);return sz[lc]+1; }
	void insert(int &u,int ff,int w) {
		if(!u) { u=++tot,sz[u]=1,fa[u]=ff,splay(u,0);return ; }
		if(w<=sz[lc]) insert(lc,u,w); else insert(rc,u,w-sz[lc]-1);
	}
	#undef lc
	#undef rc
}

struct ASK { int opt,x,y; };ASK k[N];
struct M { int t,x,val; };M mod[N]; int lm=0;
struct P {
	int l,r,id,type;
	friend bool operator<(P xx,P yy) {
		if(xx.l/blo!=yy.l/blo) return xx.l<yy.l;
		if(xx.r/blo!=yy.r/blo) return xx.r<yy.r;
		return xx.type<yy.type;
	}
};P q[N]; int lq=0;

inline int read() {
	register int x=0;register char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')	c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
	return x;
}
void add(int w) { ++cnt[w]; if(cnt[w]==1) ++b[bl[w]]; }
void del(int w) { --cnt[w]; if(!cnt[w]) --b[bl[w]]; }
void update(int nw) {
	if(mod[nw].x<=r&&mod[nw].x>=l)	del(a[mod[nw].x]),add(mod[nw].val);
	swap(a[mod[nw].x],mod[nw].val);
}
int ask() {
	int tans=100001;
	for(int i=1;i<=bl[N-50];i++)
		if(b[i]<R[i]-L[i]+1) {
			for(int j=L[i];j<=R[i];j++) if(!cnt[j]) return j;
		}
	return tans;
}
int main() {
	n=read(),blo=pow(n,0.667),blosize=sqrt(n)+1;
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		k[i].opt=read(),k[i].x=read(),k[i].y=read();
		if(k[i].opt==1)
			Splay::insert(Splay::rt,0,k[i].y),k[i].y=Splay::tot;
		else
			k[i].x=Splay::getid(Splay::rt,k[i].x),
			k[i].y=Splay::getid(Splay::rt,k[i].y);
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) {
		if(k[i].opt==1) k[i].y=Splay::getrnk(k[i].y);
		else
			k[i].x=Splay::getrnk(k[i].x),k[i].y=Splay::getrnk(k[i].y);
		if(k[i].opt==1) mod[++lm].t=i,mod[lm].val=k[i].x,mod[lm].x=k[i].y;
		else
			q[++lq].l=k[i].x,q[lq].r=k[i].y,q[lq].id=lq,q[lq].type=lm;
	}
	for(register int i=1;i<=N-40;i++) a[i]=INF,bl[i]=(i-1)/blosize+1;
	for(register int i=1;i<=bl[N-40];i++) L[i]=(i-1)*blosize+1,R[i]=i*blosize;
	R[bl[n]]=n,sort(q+1,q+lq+1);
	for(int i=1;i<=lq;i++) {
		for(;r<q[i].r;) add(a[++r]); for(;l>q[i].l;) add(a[--l]);
		for(;r>q[i].r;) del(a[r--]); for(;l<q[i].l;) del(a[l++]);
		while(now<q[i].type) update(++now);
		while(now>q[i].type) update(now--);
		ans[q[i].id]=ask();
	}
	for(int i=1;i<=lq;i++) printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}