斐波那契数列的优化解法

斐波那契数列的通俗解法是利用递推公式进行递归求解，我们可以更优化的去解决它。

方法一：通项公式

斐波那契数列的递推公式是f(n)=f(n-1)+f(n-2)，特征方程为：x²=x+1,解该方程得(1+sqrt(5))/2,(1-sqrt(5))/2.所以f(n)=Ax₁ⁿ+Bx₂ⁿ,带入f(0)=0,f(1)=1得A=sqrt(5)/5,B=-sqrt(5)/5.则f(n)求出。

 

方法二：分治策略

可以看出斐波那契数列有如下性质：

(f_n f_n-1)=(f_n-1 f_n-2)*A,可以得出A=(1 1;1 0)

递推可得：(f_n f_n-1)=(f_n-1 f_n-2)*A=(f_n-2 f_n-3)*A²=…=(f₁ f₀)*A^n-1

因此问题转化为n次幂的问题，因此幂运算有这样的性质c^a+b=c^a*c^b,而n次幂的n可以拆成二进制的加法，所以只需要lgn次遍历即可。代码如下：

Matrix MatrixPow(const Matrix& base,int exponent)
{
    Matrix temp=base;
    Matrix result=Identity;
    for(;exponent;exponent>>=1)
    {
        if(exponent&0x1)
           result*=temp;
        temp*=temp;
    }
    return result;
}


int Fibonacci(int n)
{
     Matrix A={1,1,1,0};
     Matrix a=MatrixPow(A,n-1);
     return 1*a[0][0]+0*a[1][0];
}