最长递增子序列

Q:求一个数组的最长递增子序列

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A:数组为arr[n]

一个O(n^2)的算法

利用动态规划，利用一个辅助数组b[n]，b[i]为对应以arr[i]结尾的最大递增子序列的长度，初始b[0]=1。从arr[1]到arr[n-1]的每次遍历中，设element=arr[i]，考虑从当前索引i往前的所有索引j，如果element>arr[j]，则当前element有可能扩展成一个新的递增子序列，在所有符合条件的arr[j]中，找出最大的b[j]，即b[i]=b[j]+1。最后再遍历一边b数组，输出最大值，即代表最长递增子序列的长度。

 

 

一个O(nlogn)的算法

利用动态规划，考虑一个辅助数组b[n]，b[i]代表长度为i的最长递增子序列末尾最小元素，则可以知道数组b是单调递增的，那么在遍历过程中利用二分查找，则可以判断当前元素可以比b数组中的哪个元素要小并且以前一个元素大，即可替代他作为更新后的最小元素，如果当前元素比b数组中的所有元素都要大，则将其插入b数组的最后，并且更新最长递增子序列的长度。

 

//定义b[n]为长度为i的最长递增子序列的末尾最小元素
#include <iostream>
using namespace std;
int Func(int* arr,int n)
{
	int *b=new int[n+1];
	int maxLen=1;
	b[1]=arr[0];
	for(int i=1;i<n;++i)
	{
		int left=1,right=maxLen;
		while(left<=right)
		{
			int mid=(left+right)/2;
			if(b[mid]>arr[i])
				right=mid-1;
			else
				left=mid+1;
		}
		b[left]=arr[i];
		if(left>maxLen)
			maxLen=left;
	}
	return maxLen;	
}

int main()
{
	int arr[]={2,1,5,3,6,4,8,9,7};
	cout <<Func(arr,9)<<endl;
	return 0;
}