Radiosity

Radiosity试图使用不同于光线追踪的方法去考虑全局光照的问题，它将几何图元和场景光照划分为小的元素(called patches)，然后不考虑摄像机的位置，来计算每一个patch的近似渲染方程。因此，Radiosity是一个和视点无关的方法。

1、定义

Solid Angle-将物体投影到单位球上所形成的角。如下图角w

solid angle单位是球面度(steradian,sr)，整个单位球的solid angle是4*PI sr。

differential solid angle-单位球面上一点的球坐标是(r,theta,phi)，微分表面dA的面积为dA=r^2*sin(theta)d(theta)d(phi)

differential solid angle dw=dA/r^2=sin(theta)d(theta)d(phi)

Radiance-Radiosity的量化就是radiance。它是在给定方向上单位solid angle单位面积发射的流量，即W/(sr*m^2)。考虑一块区域dA，其上一点M，从该点出发一条光线，和表面法线的夹角是theta，dw为光线方向上的differential solid angle，O为辐射能量，则radiance L= (dO)^2/(dAdwcos(theta))

radiance不随距离增加而衰减，在传播过程中保持不变

Radiant Exitance-另一个Radiosity的量化，它是离开表面单位面积的能量。表面给定点的radiosity B=dO/dA。

Exitance-表面自发光在单位面积上的能量。

下面来回顾一下已经接触过的渲染方程。最常见的渲染方程如下：

它的含义是：表面特定点x在特定方向w发出的radiance是自发光部分和发射光线部分radiance之和。自发光部分只有当表面可以看做是光源时才考虑，反射光线部分可以看做是在入射光线半球体上对点x的BRDF和入射光线radiance的积分。

所以，渲染方程可以表示为

Radiosity方法是对这个一般方程的数值估算。

2、Radiosity方程

为了简化上面的一般方程，我们会提出一些假设和简化条件。

最重要的假设是只考虑理想的漫反射表面(Lambertian reflector or emitter)。Lambertian表面radiance是常数，和视点向量无关，也就是说，表面发出或者反射光线的分布和入射方向无关。另外BRDF项也是常数，可以从积分里提出来。BRDF项是反射率和PI的比率。

所以简化后的渲染方程是

同时这个假设会有下面有趣的性质

将刚才简化的方程两边同时乘以PI，得到

因为radiance有保持不变的性质，所以对于两个点x和y，设可见项为V(x,y)则

加上differential solid angle之后，方程变成

Radiosity的方法是将环境分割成一个一个patch(三角面片或者四边形)，上面公式对所有表面的积分可以转化成作用在不同patch上的和，假设每一个patch上有恒定的radiosity，这导致公式的进一步变形

对于一个patch，恒定的radiosity是

恒定的自发光是

之前的渲染方程作用在给定表面的给顶点上，如果以patch为单位，需要对patch上的点进行积分，如下

因为给定patch中反射率恒定，所以有

这就是Radiosity方程，他表达了给定patch的radiosity和patch自发光分量加其他所有patch对其radiosity的关系。form factor F可以有下式给出

radiosity方法就是怎样高效计算form factor，然后求解出方程。

3、Form Factor

如果两个patch不能相互可见，则F=0，否则F>0

Form Factor有交换性

在一个封闭环境中有

为了求解form factor，我们使用数值分析的方法，具体来说就是使用投影方法。Nusselt方法(将patch投影到单位球上)和hemicube方法(将patch投影到单位半立方体上)。两种方法中，我们假设两个patch的F计算可以简化成一个点和一个patch的F计算，当两个patch的距离远远大于patch大小的时候该假设成立。

Nusselt方法中，单位半球体位于接受光照的patch中心，发射光照的patch首先投影到半球上，然后投影到平面上。