二项树&&二项堆

二项树Bk是一种递归定义的有序树，B0只包含一个结点，Bk由两颗Bk-1连接而成，其中一棵树的根是另一颗树的根的最左孩子。

二项树Bk的性质：

a、共有2k个结点

b、树的高度为k

c、在深度i处恰有Cki个结点，其中i=0,1,...,k

d、根的度数为k，大于任何其他结点的度数，并且如果根的子女从左到右编号为k-1,k-2,...,0，子女i是子树Bi的根

 

二项堆H由一组满足下列性质的二项树组成：

a、H中的每个二项树遵循最小堆性质：结点的关键字大于等于其父结点的关键字

b、对任意非负整数k，在H中至多有一颗二项树的根具有度数k

在包含n个结点的二项堆H中，将n表示成二进制形式（有lgn+1位），当第i位为1时，说明二项树Bi出现在H中。

二项堆的数据结构：采用左孩子右兄弟的表示方式，每个结点有父域(p)、关键字域(key)、度域(degree)、最左孩子域(child)、紧右兄弟域(sibling)，各二项树的根被组织成一个链表，称为根表，遍历根表时，各根的度数严格递增。head(H)指向H的根表中第一个元素。


创建一个新二项堆

 

create 
1 MAKE-BINOMIAL-HEAP
2     head(H)=NULL

寻找最小关键字

 

minimum 
 1 BINOMIAL-HEAP-MINIMUM(H)
 2        y=NULL
 3        x=head(H)
 4        min=INFINITY
 5        while(x!=NULL)
 6            if(key(x)<min)
 7                 y=x
 8                 min=key(x)
 9            x=sibling(x)
10        return y


合并两个二项堆

 

link 
1 /*将以结点y为根的Bk-1树与以结点z为根的Bk-1树连接起来，使z成为y的父结点*/
2 BINOMIAL-TREE(y,z)
3       p(y)=z
4       sibling(y)=child(z)
5       child(z)=y
6       degree(z)=degree(z)+1

 

union 
 1 BINOMIAL-HEAP-UNION(H1,H2)
 2      H=MAKE-BINOMIAL-HEAP()
 3      head(H)=BINOMIAL-HEAP-MERGE(H1,H2)
 4      free H1 and H2
 5      if(head(H)==NULL)
 6             return Hujnh
 7      prev=NULL
 8      x=head(H)
 9      next=sibling(x)
10      while(next!=NULL)
11             if(degree(x)!=degree(next) || (sibling(next)!=NULL&&degree(sibling(next))==degree(x)))
12                     prev=x
13                     x=next
14             else if(key(x)<=key(next))
15                     sibling(x)=sibling(next)
16                     BINOMIAL-HEAP-LINK(next,x)
17             else 
18                   if(prev==NULL)
19                     head(H)=next
20                   else
21                     sibling(prev)=next
22                   BINORMIAL-LINK(x,next)
23                   x=next 
24             next=sibling(x)
25     return H


merge 
 1 BINORMIAL-HEAP-MERGE(H1,H2)
 2           head(H)=NULL
 3           x=head(H1)
 4           y=head(H2)
 5           if(x==NULL)
 6                return y
 7           if(y==NULL)
 8                return x                
 9           if(degree(x)<degree(y))
10                    head(H)=x
11                    x=sibling(x)
12           else
13                    head(H)=y
14                    y=sibling(y)
15           z=head(H)
16           while(x!=NULL&&y!=NULL)
17                   if(degree(x)<degree(y))
18                               sibling(z)=x
19                               x=sibling(x)
20                   else
21                               sibling(z)=y
22                               y=sibling(y)
23                   z=sibling(z)
24           while(x!=NULL)
25                    sibling(z)=x
26                    x=sibling(x)
27                    z=sibling(z)
28            while(y!=NULL)
29                    sibling(z)=y
30                    y=sibling(y)
31                    z=sibling(z)
32            return H
33

插入一个结点

 

insert 
1 BINOMIAL-HEAP-INSERT(H,x)
2         H1=MAKE-BINOMIAL-HEAP()
3         p(x)=NULL
4         child(x)=NULL
5         sibling(x)=NULL
6         degree(x)=0
7         head(H1)=x
8         H=BINOMIAL-HEAP-UNION(H,H1)


减小关键字的值

 

decrease 
 1 BINOMIAL-HEAP-DECREASE-KEY(H,x,k)
 2          if(k>key(x))
 3              return error "new key is greater than current key"
 4          key(x)=k
 5          y=x
 6          z=p(y)
 7          while(z!=NULL&&key(y)<key(z))
 8                 swap(key(y),key(z))
 9                 y=z
10                 z=p(y)





posted @ 2012-02-17 13:04  Cavia  阅读(3003)  评论(0)  编辑  收藏  举报