矩阵链乘法

矩阵链乘法问题：给定n个矩阵构成的一个链<A1,A2,...,An>，其中i=1,2,...,n，矩阵Ai的维数为pi-1 X pi，对成绩A1A2...An以一种最小化标量乘法次数的方式进行加全部括号

对于AiAi+1...Aj,设m[i][j]为计算矩阵Ai..j所需的标量乘法运算次数的最小值，可知m[i][i]=0。则求m[i][j]的递归定义为：

m[i][j]=0(if i==j)  or  min{m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj}(if i<j and i=<k<j)

下面的程序利用动态规划自底向上计算最小乘法运算次数，设m[i][j](1=<i,j<=n)保存Ai...j的最小乘法次数,s[i][j](1=<i,j<=n)保存当取得m[i][j]时k的值

//p={p0,p1,...,pn}
MATRIX-CHAIN-ORDER(p)
     n=length(p)-1
     for(i=1;i<=n;++i)
     m[i][i]=0
     for(l=2;l<=n;++l)
            for(i=1;i<=n-l+1;++i)
                     j=i+l-1
                    m[i][j]=INFINITY
                    for(k=i;k<j;++k)
                        if(m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]p[k]p[j]<m[i][j])
                                m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i]p[k]p[j]
                                s[i][j]=k

PRINT-OPTIMAL-PARENS(s,i,j)
   if(i==j)
   print "Ai"
   else
        print "(" PRINT-OPTIMAL-PARENS(s,i,s[i][j])
               PRINT-OPTIMAL-PARENS(s,s[i][j]+1,j)
        print ")"

MATRIX-MULTIPLY(A,B)
      if(column(A)!=row(B))
          return "nonsense"
      for(i=0;i<row(A);++i)
          for(j=0;j<column(B);++j)
                C[i][j]=0
                for(k=0;k<column(A);++k)
                       C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j]
      return C