证明gcd(a,b)=gcd(a-b,b)

最近在看最大公约数的一些性质，很有意思，有些性质simple，beautiful，乍看上很明显，但依旧需要思索一番才敢确认嘛。

如wikiepdia给出的这条性质：

现证明第二行：

不妨假设最大公约数为d,则a,b可以写成a=dx,b=dy的形式（乘积！非微分哦）。

于是a-b=d(x-y),于是命题证明变成要证明a-b=d(x-y)和b的最大公约数即是a与b的最大公约数。

而a-b=d(x-y),b=dy,于是演变成证明x-y和y互素即可。

x与y显然为素数，先分两种情况讨论，

第一种情况x,y没有为2的情况，所以x与y分别可以写成x=2m+1,y=2n+1,（m与n皆为素数）于是x-y=2(m-n)，是一个偶数，该偶数显然与y互素。

第二种情况x,y有一个为2的情况，不妨假设y=2，x=2m+1,x-y=2m-1,显然x,y互素。

于是命题得证。