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1632 B君的连通

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题

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B国拥有n个城市，其交通系统呈树状结构，即任意两个城市存在且仅存在一条交通线将其连接。A国是B国的敌国企图秘密发射导弹打击B国的交通线，现假设每条交通线都有50%的概率被炸毁，B国希望知道在被炸毁之后，剩下联通块的个数的期望是多少？

 

Input

一个数n（2<=n<=100000）
接下来n-1行，每行两个数x,y表示一条交通线。(1<=x,y<=n)
数据保证其交通系统构成一棵树。

Output

一行一个数，表示答案乘2^(n-1)后对1,000,000,007取模后的值。

Input示例

3
1 2
1 3

Output示例

8
这道题期望值是(1+C(1,n-1)*2+C(2,n-1)*3+...+C(n-1,n-1)*n)/2^(n-1)
然后输出答案时把分母去了。就是求和式的表达式了
打表+找规律

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long ans=0;
int C(int x,int y)
{
    int tot=1;
    for(int i=1;i<=x;i++) tot*=i;
    for(int i=1;i<=y;i++) tot/=i;
    for(int i=1;i<=x-y;i++) tot/=i;
    return tot;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=i*C(n-1,i-1);
    }
    cout<<ans<<endl; 
}

然后

2:3

3:8

4:20

5:48

6:112

7:256

8:576

9:1280

乍一眼看不出规律

仔细分解一下

2:3*1

4:5*4

6:7*16

8:9*64

3:2*4

5:3*16

7:4*64

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define pp 1000000007
long long ans=0;
int n;
long long Pow(int p,int Time)
{
    long long tot=1,tmp=p;
    while(Time)
    {
        if(Time%2==1)
        {
            tot=tot*tmp%pp;
        }
        tmp=tmp*tmp%pp;
        Time/=2;
    }
    return    tot;
}


int main()
{
    scanf("%d",&n);
    if(n%2==1)
    {
        ans=(n+1)/2;
        ans=ans*Pow(4,n/2)%pp;
    }else
    {
        ans=n+1;
        ans=ans*Pow(4,n/2-1)%pp;
    }
    cout<<ans<<endl;
     
}

 

1718 Cos的多项式

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40 难度：4级算法题

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小明对三角函数充满了兴趣，有一天他突然发现一个神奇的性质。

2cos(nx)似乎可以表示成2cos(x)的一个多项式。

但是小明并不能证明它的正确性。

现在给定n，问是否可以表示成这样的多项式，如果可以，只需输出各项系数的和。（Tip:如果这个和很大，那就高精度咯:)）

否则输出No

 

样例解释：2*cos(3x)=(2*cosx)^3-3*(2*cosx)，系数为1和-3，他们的和为-2。

Input

一个数表示n（n<=1e15)

Output

如果能表示 输出各项系数和
不能 输出No

Input示例

3

Output示例

-2
2cos(x)=2(cos(x))
2cos(2x)=(2cosx)^2-2
归纳证明前k项可以用f(k)系数表达
则f(k+1)=2cos((k+1)x）的系数
cos((k+1)x)=cos(kx)cos(x)-sin(kx)sin(x)
cos((k-1)x)=cos(kx)cos(x)+sin(kx)sin(x)
所以cos((k+1)x)=2cos(kx)cos(x)-cos((k-1)x)
f(k+1)=f(k)*k-f(k-1)
递推+找循环节

#include<cstdio>using namespace std;

typedef long long ll;

int a[6] = {1, -1, -2, -1, 1, 2};
int main() {
    ll x;
    scanf("%lld", &x);
    printf("%d\n", a[(x-1) % 6]);
    return 0;
}