图论 Dijkstra+堆优化

dijkstra是一种单元最短路径算法，其能在较好时间复杂度内处理这一问题。但其对负权圈的处理让人不太满意——会陷入死循环

其思想和Prim算法差不多，都是贪心。

把图中的所有点划分为两个集合：包含远点S和不包含原点S的

每次从不包含原点S的集合中找出一个离原点S最近的点（这样就没有点能够比这个点更加接近原点，这也是其不能处理负权边的原因）

我们先考虑简单一点的情况：没有负权边

设u是不包含s中dist最小的那个点，另外v是不包含S中的任意点

如果v能更新u点<==>dist[v]+map[v][u]<dist[u];因为map[v][u]>0所以有dist[v]<dist[u]假设不成立

所以我们就有一个算法啦

1.每次找出不包含S中最近点，加入包含s的集合

2.维护所有和这个店相连的不在包含s的集合里的点到原点的距离（Prim维护的是到包含S的集合的距离）

时间复杂度Θ（n^2）比较优，适合稠密图。

但我们发现每次找一个最近点有点耗时，因为要支持减值和求最小的操作，就用优先队列啦

（优先队列在小根堆情况下支持降值，大根堆下支持升值）但优先队列里的元素有O（E）个开空间时需注意~~

上代码~

转自HK大神的blog，对于重载（）不是很懂

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,S,tot,Next[500010],head[20000],tree[500010],val[500010];
bool visit[20000];
long long dis[20000];
struct cmp
{
    bool operator()(int a,int b)
    {
        return dis[a]>dis[b];
    }
};
priority_queue<int,vector<int>,cmp> Q;
void add(int x,int y,int z)
{
    tot++;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
    tree[tot]=y;
    val[tot]=z;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&S);
    tot=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if (x==y) continue;
        add(x,y,z);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        visit[i]=false;
        dis[i]=2147483647;
    }
    Q.push(S);
    dis[S]=0;
    while (!Q.empty())
    {
        int u=Q.top();
        Q.pop();
        if (visit[u]) continue;
        visit[u]=true;
        for (int i=head[u];i;i=Next[i])
        {
            int v=tree[i];
            if (!visit[v]&&dis[v]>dis[u]+(long long)val[i])
            {   
                dis[v]=dis[u]+val[i];
                Q.push(v);
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=n-1;i++) printf("%lld ",dis[i]);
    printf("%lld\n",dis[n]);
    return 0;
}

 下面自己写的，渣~（我会告诉你我懒）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#define N 2000005
using namespace std; 
int n,m,s,next[N],to[N],head[N],vis[N],cos[N],dis[N],num=0,u,v,c;
struct note{
    int to,cos;
};
struct cmp
{
     bool operator()(int a,int b)
     {
        return dis[a]>dis[b];
    }
};
priority_queue<int,vector<int>,cmp> Q;
void push_way(int u,int v,int c)
{
    to[++num]=v;
    cos[num]=c;
    next[num]=head[u];
    head[u]=num;
}
void dijkstra(int s)
{
    Q.push(s);
    //vis[s]=1;
    dis[s]=0;
    while(!Q.empty())
    {
        int u=Q.top();
        Q.pop();
        if(vis[u]) continue;
        cout<<u<<endl;
        vis[u]=1;
        for(int i=head[u];i;i=next[i])
        {
            int v=to[i];
            if(!vis[v]&&dis[v]>dis[u]+cos[i])
            {
                dis[v]=dis[u]+cos[i];
                Q.push(v);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<dis[i]<<' ';
    }
    cout<<endl;
}
int main()
{
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&s);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    dis[i]=10000;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&u,&v,&c);
        push_way(u,v,c);
    }
    dijkstra(s); 
    
}