CF2003F 解题报告

题目描述

现在有三个长度为 $n$ 的序列 $a,b,c$ 。你需要提取一个子序列 $p_1,p_2,\dots ,p_m$ ，满足如下条件：

• $\mathrm{\forall }i\in (1,m],p_i>p_{i-1}$ 。
• $\mathrm{\forall }i\in (1,m],a_i\ge a_{i-1}$ 。
• $b_{p_1},b_{p_2},\dots ,b_{p_m}$ 是互不相同的。

在此基础上最大化 $\sum _{i=1}^m{c}_{p_1}$ ，或者报告无解。

$n\le 3\times {10}^3,m⩽5$ 。

思路点拨

看了一眼这个题目的官解，十分牛逼。但是这里要给一个正确性 $100\mathrm{\%}$ 的 $O(n^2\log n)$ 做法。

考虑对于每一个 $m$ ，都分类讨论一下：

$m=1$

直接枚举 $p_1$ 就可以。时间复杂度 $O(n)$ 。

$m=2$

直接枚举二元组就可以。时间复杂度 $O(n^2)$ 。

$m=3$

考虑枚举 $p_1,p_2$ ，接下来选择一个最优的 $p_3$ 。一种不对的想法就是在 $(p_2,n]$ 下标范围内选择 $c$ 最大的那个，但是这样可能导致它的 $b$ 是 $b_{p_1},b_{p_2}$ 中的一个。

我们记录 $su{f}_{i,j}$ 表示考虑 $(i,n]$ 下标内满足 $a\ge a_i$ 的数中，第 $j$ 大的元素。这里的第 $j$ 大要求 $b$ 不可以与第 $k(k<j)$ 大的元素相同。因为我们的目标是避免和 $b_{p_1},b_{p_2}$ 相同，所以只需要记录前三大。对于每一个 $i$ 都 $O(n)$ 做一遍。

接下来在枚举 $p_1,p_2$ 的过程中，找到 $(p_2,n]$ 下标范围内 $c$ 最大的，且 $b$ 与 $b_{p_1},b_{p_2}$ 不同那一个元素，一定出现在 $su{f}_{p_2,j}(1\le j\le 3)$ 中。

时间复杂度 $O(n^2)$ 。

$m=4$

考虑枚举 $p_2,p_3$ ，接下来就是找到一个 $p_1,p_4$ ，他们的 $b$ 不和 $b_{p_2},b_{p_3}$ 。还是考虑 $m=3$ 时的错误想法，直接找 $c$ 最大的，然后处理 $b$ 相同的情况。

我们沿用 $su{f}_{i,j}$ 的定义，但是 $j$ 要取到 $4$ ,因为有 $4$ 个数。

再定义 $pr{e}_{i,j}$ 表示 $[1,i)$ 下标范围内，满足 $a\le a_i$ 的数中，$c$ 第 $j$ 大的元素，要求 $b$ 不可以第 $k(k<j)$ 大的相同。

接下来在枚举 $p_2,p_3$ 之后，一定存在一组解满足 $p_1\in pr{e}_i,p_4\in su{f}_j$ 。时间复杂度 $O(n^2)$ 。

$m=5$

首先沿用 $pre,suf$ 数组，但是维护到第 $5$ 大，因为会选出 $5$ 个数。

这个时候我们枚举 $p_2,p_4$ ，那么 $p_1,p_5$ 就可以利用 $pr{e}_{p_2},su{f}_{p_4}$ 选出来，问题在于 $p_3$ 。

实际上，想要求出 $p_3$ 可能得取值，就需要维护一个数组 $f_{i,j,k_1}$ 表示下标在 $(i,j)$ 范围内满足 $a_i\le a\le a_j$ 的情况下，$c$ 第 $k_1$ 大的元素，但是要求 $b$ 不与 $k_2<k_1$ 的相同。如果对于每一个 $i,j$ 都维护出这个数组就是时间复杂度 $O(n^3)$ 的了，不可以接受。我们考虑固定一个 $i$ ，然后 $j$ 从小到大枚举，这个时候下标的限制就可以满足，还剩下 $a$ 的限制。可以利用权值线段树，将 $f$ 看做一个结构体就可以。

这样子可以通过 $f_{p_1,p_2}$ 选出 $p_3$ 。

表面上，这个时间复杂度是光鲜的 $O(n^2\log n)$ ，但是我不会告诉你实际时间是 $O(m^3{n}^2+m^2{n}^2\log n)$ 。

这个时间复杂度想要通过是十分极限的，所以我推荐你添加如下两种优化：

• 精细化实现，例如在枚举 $p_1,p_3,p_5$ 的过程中，一旦发现有 $b$ 相同立马跳出循环。

• 线段树改写树状数组，因为是前缀问题。

#include<bits/stdc++.h>
//#define int long long
using namespace std;
namespace fastIO{
	inline int read(){
		int x=0,f=1;char ch=getchar();
		while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-f;ch=getchar();}
		while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
		return x*f;
	}
	int buf[20],TOT;
	inline void print(int x,char ch=' '){
		if(x<0) putchar('-'),x=-x;
		else if(x==0) buf[++TOT]=0;
		for(int i=x;i;i/=10) buf[++TOT]=i%10;
		do{putchar(buf[TOT]+'0');}while(--TOT);
		putchar(ch);
	}
}
using namespace fastIO;
const int MAXN=3e3+5,inf=1e9;
int n,m,a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
int ans=-1;
struct node{
	int pos[6],val[6];
	node(){
		for(int i=1;i<=5;i++)
			pos[i]=0,val[i]=-inf;
	}
	void insert(int p,int v){
		for(int i=1;i<=5;i++){
			if(v>val[i]){
				int flag=5;
				for(int j=i;j<=5;j++)
					if(pos[j]==p) flag=j;
				for(int j=flag;j>i;j--)
					pos[j]=pos[j-1],val[j]=val[j-1];
				pos[i]=p,val[i]=v;
				break;
			}
			else if(p==pos[i])
				break;
		}
	}
	node friend operator+(const node &a,const node &b){
		node c;
		for(int i=1;i<=5;i++)
			c.insert(a.pos[i],a.val[i]);
		for(int i=1;i<=5;i++)
			c.insert(b.pos[i],b.val[i]);
		return c;
	}
};
node pre[MAXN],suf[MAXN],t[MAXN];
#define lowbit(x) (x&(-x))
void update(int x,pair<int,int> w){
	for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		t[i].insert(w.first,w.second);
}
node query(int x){
	node ans;
	for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
		ans=ans+t[i];
	return ans;
}
signed main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=read();
	if(m==1){
		for(int i=1;i<=n;i++)
			ans=max(ans,c[i]);
		cout<<ans;
	}
	else if(m==2){
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
				if(a[i]<=a[j]&&b[i]!=b[j])
					ans=max(ans,c[i]+c[j]);
		cout<<ans;
	}
	else if(m==3){
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
				if(a[i]<=a[j]) suf[i].insert(b[j],c[j]);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=i+1;j<=n;j++){
				if(a[i]<=a[j]&&b[i]!=b[j]){
					for(int k=1;k<=5;k++){
						if(b[i]==suf[j].pos[k]||b[j]==suf[j].pos[k])
							continue;
						ans=max(ans,c[i]+c[j]+suf[j].val[k]);
					}
				}
			}
		}
		cout<<ans;
	}
	else if(m==4){
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
				if(a[i]<=a[j]) suf[i].insert(b[j],c[j]);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<i;j++)
				if(a[j]<=a[i]) pre[i].insert(b[j],c[j]);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=i+1;j<=n;j++){
				if(a[i]<=a[j]&&b[i]!=b[j]){
					for(int p=1;p<=5;p++){
						if(pre[i].pos[p]==b[i]||pre[i].pos[p]==b[j]) continue;
						for(int q=1;q<=5;q++){
							if(pre[i].pos[p]!=suf[j].pos[q]&&suf[j].pos[q]!=b[i]&&suf[j].pos[q]!=b[j])
								ans=max(ans,c[i]+c[j]+pre[i].val[p]+suf[j].val[q]);
						}
					}
				}
			}
		}
		cout<<ans;
	}
	else if(m==5){
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=i+1;j<=n;j++)
				if(a[i]<=a[j]) suf[i].insert(b[j],c[j]);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			for(int j=1;j<i;j++)
				if(a[j]<=a[i]) pre[i].insert(b[j],c[j]);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++) t[j]=node();
			for(int j=i+2;j<=n;j++){
				if(a[i]<=a[j-1])
					update(a[j-1],make_pair(b[j-1],c[j-1]));
				if(a[i]<=a[j]&&b[i]!=b[j]){
					node tmp=query(a[j]);
					for(int x=1;x<=5;x++){
						int p1=pre[i].pos[x];
						if(!p1) continue;
						if(p1==b[i]||p1==b[j]) continue;
						for(int y=1;y<=5;y++){
							int p2=tmp.pos[y];
							if(!p2) continue;
							if(p2==p1||p2==b[i]||p2==b[j]) continue;
							for(int z=1;z<=5;z++){
								int p3=suf[j].pos[z];
								if(!p3) continue;
								if(p3==p1||p3==p2||p3==b[i]||p3==b[j]) continue;
								ans=max(ans,c[i]+c[j]+pre[i].val[x]+tmp.val[y]+suf[j].val[z]);
								break;
							}
						}
					}
				}
			}
		}
		cout<<ans;
	}
	return 0;
}