数据结构之—树

一、树的定义及一些基本术语

树：树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构

树的一些基本术语：

• 结点(node)——树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支
• 结点的度(degree)——结点拥有的子树数
• 树的度——一棵树中最大的结点度数
• 叶子(leaf)——度为0的结点
• 孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子
• 双亲(parents)——孩子结点的上层结点
• 兄弟(sibling)——同一双亲的孩子
• 结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层……
• 树的深度(depth)/高度——树中结点的最大层次数
• 森林(forest)——m(m0)棵互不相交的树的集合
• 子孙——一个结点所有子树中的结点。
• 祖先——从根结点到达某结点路径上的所有结点。
• 有序树/无序树——如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，即交换了某结点各子树的相对位置， 则构成不同的树，那么称该树为有序树。反之，为无序树。
• 基本形态

二、二叉树(重点)

• 定义:二叉树是n>=0个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左、右子树的互不相交的二叉树构成
• 特点:度为2的有序树
• 基本形态

• 性质:
  • 二叉树第i层最多2^i-1个结点(i>=1)
  • 深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)
  • 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。 或：二叉树的叶子结点数等于双分支结点数加1。
• 满二叉树:一颗深度为K且结点数为2^k-1的树，即除了最后一层都没有空孩子且只有最后一层有且全为叶结点
• 完全二叉树：
  • 定义：深度为k， 有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应。
  • 特点：深度为k的完全二叉树第1~k-1层必定为满二叉树，第k层的叶结点必定集中在左边
  • 性质：具有n个结点的完全二叉树的深度为 $|log$₂(n+1)|或$|log$₂n|+1
• 完全二叉树和满二叉树最主要的区别在于最后一层是否完整，(注：满二叉树是特殊的完全二叉树)

三、二叉树的遍历

遍历:如何按某条搜索路径访问二叉树中的每个顶点，使每个节点被访问一次且仅被访问一次

常见方法:

• 先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树
• 中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树
• 后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点
• 按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点

用一张图来解释