虚树

对于一株树，如果我们需要在一株n个结点组成的树上做树上DP，但是其中仅有m个结点需要特殊处理。显然我们可以在原树上做一次完整的树上DP，其时间复杂度为O(n)。但是有的时候m远小于n，且这种请求可能不止发生一次，那么我们将无法在给定时间内完成任务。

实际上每次DP真正涉及到的结点数并不多，其仅为m个结点以及m个结点中任意两个结点的lca。所以如果我们能借助这些m个结点和结点对所指出的lca按照树中的祖先后代关系重组一株新树，树的大小将大幅缩小，这样就能完成任务了，而新建立的树称为虚树。

说一下流程：

1.首先我们对树进行先序遍历，并按照结点访问的顺序记录结点属性dfn，dfn越小表示其在先序遍历时越早被访问。这部分时间复杂度为O(n)。

2.之后我们利用st或树上倍增算法对树进行预处理，这部分时间复杂度为O(nlog2n)。

3.之后我们处理所有的请求，对每个请求建立虚树，并在虚树上做DP操作。

建立虚树的流程如下：

1.选取所有特殊结点，并加入到列表中。

2.对列表按照dfn属性进行从小到大排序。

3.将每个列表中的特殊结点与与其左右相邻的特殊结点之间的lca加入到列表中。

4.重新按照dfn属性排序列表。

5.建立一个栈，将列表中dfn属性最小（下标最小）的结点加入到栈中。

6.之后从前到后遍历列表中的剩余元素。弹出栈尾所有非当前遍历元素祖先的结点，并将当前遍历元素的虚树父亲设为栈尾元素，之后将当前遍历元素加入到栈尾。重复这个过程。

 

先说明建立虚树的步骤3会将任意两个特殊结点的lca加入到虚树中。考虑a，b，c为三个前后相邻的特殊结点。很显然lca(a,b)与lca(b,c)有祖先后代关系，因为二者均为b的祖先，且lca(a,c)=lca(lca(a,b),lca(b,c))。故利用传递性我们能保证任意两个特殊结点的lca都被加入到了列表中。

而第5步，我们建立栈并将dfn属性最小的结点加入到栈中，若栈尾元素不是当前遍历元素的祖先结点，而当前遍历元素一定处于栈中，则表示栈尾元素所代表的子树已经建立完毕，我们将其弹出则表示不会有新的结点追加到其后。（这都是dfn的性质）

 

很显然对于m个特殊结点，我们仅仅选出了拥有2m-1个结点，即我们建立的树相对于问题的规模是线性的。