【清华集训2016】如何优雅地求和

首先，这种形式肯定是把组合数消掉一点，然后后面再二项式定理处理一下。但是怎么搞呢？

开始尝试了拉格朗日插值，但是有一项非常毒瘤。（我甚至少抄一项推出了 \(O(n)\) 的式子……）

要消掉组合数一定是与阶乘有关的形式。连续点值启发着我们使用下降幂。众所周知，点值转下降幂系数只需要卷上一个 \(e^{-x}\) 即可。

这时候考虑只用式子里代入下降幂：

\[\begin{align*} & \sum_{k=0}^n k^{\underline{m}} \binom{n}{k} x^k \left( 1 - x \right) ^ {n - k} \\ =& \sum_{k=0}^n \frac{k!}{\left(k-m\right)!} \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!} x^k \left( 1 - x \right) ^ {n - k} \\ =& \sum_{k=0}^n \frac{n!}{\left(n-m\right)!} \frac{\left(n - m\right)!}{\left(k-m\right)!\left(n-k\right)!} x^k \left( 1 - x \right) ^ {n - k} \\ =& n^{\underline{m}} x^m \sum_{k=0}^n \binom{n - m}{n-k} x^{k-m} \left( 1 - x \right) ^ {n - k} \\ =& n^{\underline{m}} x^m \sum_{k=0}^n \left(1 - x + x\right) ^ {n - m} \\ =& n^{\underline{m}} x^m \end{align*} \]

容易计算。所以瓶颈就在转下降幂。如果实现好的话 \(O(n^2)\) 也是可以的。

#include <bits/stdc++.h>

const int mod = 998244353;
const int MAXN = 20010; 
typedef long long LL;
void reduce(int & x) { x += x >> 31 & mod; }
int mul(int a, int b) { return (LL) a * b % mod; }
int fastpow(int a, int b) {
	int res = 1; a %= mod;
	for (; b; b >>= 1, a = mul(a, a)) if (b & 1) res = mul(res, a);
	return res;
}
int A[MAXN], inv[MAXN], fac[MAXN], B[MAXN];
int n, m, X;
int inv2[MAXN];
int main() {
	inv[0] = inv[1] = fac[0] = fac[1] = 1;
	for (int i = 2; i != MAXN; ++i) {
		fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
		inv[i] = mul(inv[mod % i], mod - mod / i);
	}
	inv2[0] = 1, inv2[1] = mod - 1;
	for (int i = 2; i != MAXN; ++i) {
		inv[i] = mul(inv[i - 1], inv[i]);
		reduce(inv2[i] = i & 1 ? mod - inv[i] : inv[i]);
	}
	std::cin >> n >> m >> X; ++m;
	for (int i = 0; i < m; ++i) std::cin >> A[i], A[i] = mul(A[i], inv[i]);
	for (int i = 0, t; i < m; ++i)
		for (int j = 0; i + j < m; ++j)
			reduce(B[i + j] += (LL) A[i] * inv2[j] % mod - mod);
	for (int i = 0; i < m; ++i) A[i] = mul(A[i], fac[i]);
	int now = 1, ans = 0;
	for (int i = 0; i < m; ++i) {
		reduce(ans += (LL) fastpow(X, i) * now % mod * B[i] % mod - mod);
		now = mul(now, n - i);
	}
	std::cout << ans << std::endl;
	return 0;
}