【集训队作业2018】复读机

即使是一道菜题，也掩盖不了窝生成函数弱的事实。

窝看到题目只想到了DP，还是生成函数不够熟。然后直到神仙WWJ提醒我用生成函数……

首先是排列，那就可以写成指数型生成函数的优美形式。直接表示成exp吧，然后d的倍数就用单位根性质来处理。

所以实际上就是求 \([x^n] (\frac{\sum_{i=0}^{D - 1} e^{\omega_{D}^{i} x}}{D})^K\)

显然可以把底下的 \(D^K\) 提出来，此时求上面那个东西。

怎么求第 \(n\) 项系数啊？

这时候可以发现 \(D\) 大的时候 \(K\) 小了（然后只看了最后一条范围就被坑了）

于是发现可以暴力二项式展开！

枚举 \(i\) 次单位根的个数，复杂度 \(O(K^{D - 1})\)，

然后剩下的东西根据指数函数的性质可以合并成一项 \(e^{Cx}\) ，此时系数只是一个快速幂的事情了。

单位根的事情就随便求一个丢上去好了。

#include <bits/stdc++.h>

const int mod = 19491001;
const int MAXN = 500010;
typedef long long LL;
int mul(int a, int b) { return (LL) a * b % mod; }
void reduce(int & x) { x += x >> 31 & mod; }
int fastpow(int a, int b) {
	int res = 1;
	for (; b; b >>= 1, a = mul(a, a)) if (b & 1) res = mul(res, a);
	return res;
}
int n, K, D, fac[MAXN], inv[MAXN];
int C(int a, int b) { return (LL) fac[a] * inv[b] % mod * inv[a - b] % mod; }
int pr[3], ans;
void dfs(int S, int rest, int sum, int way) {
	if (S == D - 1) {
		reduce(sum += mul(pr[S], rest) - mod);
		reduce(ans += mul(fastpow(sum, n), way) - mod);
		return ;
	}
	for (int i = 0; i <= rest; ++i)
		dfs(S + 1, rest - i, (sum + (LL) pr[S] * i) % mod, mul(way, C(rest, i)));
}
int main() {
	std::cin >> n >> K >> D;
	fac[0] = fac[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= K; ++i) {
		fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
		inv[i] = mul(inv[mod % i], mod - mod / i);
	}
	for (int i = 2; i <= K; ++i)
		inv[i] = mul(inv[i - 1], inv[i]);
	pr[0] = 1;
	if (D == 2) pr[1] = mod - 1;
	if (D == 3) pr[1] = 663067, pr[2] = mul(pr[1], pr[1]);
	dfs(0, K, 0, 1);
	ans = mul(ans, fastpow(D, mod - 1 - K));
	std::cout << ans << std::endl;
	return 0;
}