【题解】U405180 计算平方和

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\(\mathbf{Part\ 1}\) 题目大意 \(/\ \mathbf{Item\ content}\)

题目链接

共有 \(T\) 组数据。给定 \(L,R\) ，请你计算 \(L^2+(L+1)^2+(L+2)^2+\cdots+(R-2)^2+(R-1)^2\) 。

对于 \(100\%\) 的数据：\(1\le T\le 10^6,\ 1\le L\le R\le 10^{12}\) 。

\(\mathbf{Part\ 2}\) 题解 \(/\ \mathbf{Solution}\)

首先我们看一下数据范围（见上）。首先 \(T\le10^6\) ，那么算法的时间复杂度总体只可以是 \(O(n)\) ，每一组数据的计算的时间复杂度就只能是 \(O(1)\) 。然后是 \(L\le R\le 10^{12}\) ，这个就是这道题目的难点，也是这道题为什么难度是 \(\colorbox{yellow}{普及/提高-}\) 的原因了。这个数据的计算结果开到 \(\text{long long}\) 也不行。所以这就考虑到了我们日常的积累。\(\text{C}\) + + 中有一个整数类型是完全可以支持这个数据结构的，那就是 \(\text{__int128}\) 。我们先来一起了解一下这个数据结构。

\(\mathbf{Part\ 2.1}\text{ C}\) + + 神奇整数类型之 \(\text{__int128 }/\ \mathbf{C}\) + + \(\mathbf{Magic\ integer\ type}\text{ __int128}\)

\(\text{__int128}\) 就是占用了 \(128\) 字节的整数存储类型。由于是二进制，范围就是 \(-2^{127}\sim2^{127}-1\) ，如果使用了 \(\text{unsigned __int128}\) ，则范围变成 \(0 \sim 2^{128}-1\) ，即约 \(39\) 位数，这在一定程度上可以替代高精度运算实现大数运算，而且操作难度更低，所以在数据范围不超过的情况下，都可以使 \(\text{__int128}\) 。

由于 \(\text{__int128}\) 只能实现四则运算，不能用 \(\text{cin,cout,scanf,printf}\) 输入输出，我们首先应该写个快读和快写的函数。

\(\mathbf{Part\ 2.1.1}\) 快读 \(/\ \mathbf{fast\ read}\)

快读模板（函数 \(\text{read}\) ）

__int128 read() {
    __int128 x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {
        if(c=='-') {
          f=-1;
          c=getchar();
        }
    }
    while(c>='0'&&c<='9') {
        x=x*10+c-'0';
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}

\(\mathbf{Part\ 2.1.2}\) 快写 \(/\ \mathbf{fast\ write}\)

快写模板（函数 \(\text{print}\) ）

void print(__int128 x) {
     if(x<0) {
       putchar('-');
       x=-x;
     }
     if(x>9) {
       print(x/10);
     }
     putchar(x%10+'0');
}

解决完了数据类型的问题，我们该想想算法。怎样在 \(O(1)\) 的时间复杂度内计算 \(L^2+(L+1)^2+(L+2)^2+\cdots+(R-2)^2+(R-1)^2\) 呢？我相信，聪明的你一定想到了数学。让我们一起在评论区打出 数学好闪，拜谢数学！ 这几个字（怎么说说就说出这种话）！ 让我们来探索一下数学的奥秘！

\(\mathbf{Part\ 2.2}\) 平方和公式 \(/\ \mathbf{Sum\ of\ squares formula}\)

首先我们知道一个基础公式（这里我就不再赘述，不会的同学可以自行去网上查找）：

\[1^2+2^2+3^2+\cdots+(n-2)^2+(n-1)^2+n^2=\frac{n\times(n+1)\times(2\times n+1)}6 \]

然后我们知道，线段的某个区域的长度是这么求的。

|_____________________________________________|
\(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ L\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R\)

\[L\sim R=R-L+1 \]

这个结论我们不难想到也可以运用到平方和公式上。我们可以下此结论：

设 \(L^2+(L+1)^2+(L+2)^2+\cdots+(R-2)^2+(R-1)^2=\text{sum}(L,R)\) ，则 \(\text{sum}(L,R)=\text{sum}(1,R)-\text{sum}(1,L)+L^2\) 。

更详细的推导：

\(\ \ \ \ \text{sum}(L,R)\)

\(=\text{sum}(1,R)-\text{sum}(1,L)+L^2\)

\(=\frac{R\times(R+1)\times(2\times R+1)}6-\frac{L\times(L+1)\times(2\times L+1)}6+L^2\)

好了，推完了，结论就是：

\[L^2+(L+1)^2+(L+2)^2+\cdots+(R-2)^2+(R-1)^2=\frac{R\times(R+1)\times(2\times R+1)}6-\frac{L\times(L+1)\times(2\times L+1)}6+L^2 \]

这样就可以在 \(O(1)\) 内计算平方和了。我厉不厉害？

有了这些方法，我们所有的问题就迎刃而解了！最后献出 \(\text{std}\) 代码和标准时空。

\(\mathbf{Part\ 2.3}\) \(\text{std}\) 代码和标准时空 \(/\ \mathbf{Std\ code\ and\ standard\ space-time}\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
__int128 x;
__int128 read() {
	__int128 num=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {
		if(c=='-') {
			f=-1;
		}
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9') {
		num=num*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return f*num;
}
void print(__int128 num) {
	if(x<0) {
		putchar('-');
		x*=-1;
	}
	int ans[55]={},top=0;
	do {
		ans[top++]=num%10;
		num/=10;
	} while(num);
	while(top) {
		putchar(ans[--top]+'0');
	}
}
int main() {
	int t;
	cin>>t;
	while(t--) {
		__int128 L=read(),R=read();
		print(((R*(R+1)*(2*R+1))/6)-((L*(L+1)*(2*L+1))/6)+(L*L));
		putchar('\n');
	}
	return 0;
}
时间 \(/\ \mathbf{Time}\) 空间 \(/\ \mathbf{Memory}\) 代码长度 \(/\ \mathbf{Code\ length}\) 语言 \(/\ \mathbf{Language}\)
\(\text{2.17s}\) \(\text{684.00KB}\) \(\text{659B}\) \(\text{C++14 (GCC 9) O2}\)
posted @ 2024-02-05 15:19  daiyulong  阅读(54)  评论(1)  编辑  收藏  举报