约瑟夫环问题详解 (c++)

 

问题描述：

已知n个人（以编号0，2，3...n-1分别表示）围坐在一起。从编号为0的人开始报数，数到k的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到k的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列，最后一个出列的人为胜利者。求胜利者编号.

 

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历史背景：

Wikipedia: 这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫斯命名的，它是1世纪的一名犹太历史学家。

他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。

他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。

约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个.

 

问题分析：解决该问题有两种思路，第一种：通过建立循环链表来模拟这个过程

　　　　　　　　　　　　　　    第二种：通过递归方式（数学归纳将问题转化为数学问题）

 

由于递归方式，代码更简洁，下面首先以递归方式来解决问题

 

——————递归实现：

 

例如 对 m= 10,k=3

　　　0　　1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9　　(*)

　　   0　　1　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9 　  (* 循环下去)

转化为：　　　　　　　3　　4　　5　　6　　7　　8　　9　　0　　1　　(* 循环下去）

　　　　

 　　　　　　　　　　　 0　　1　　2　　3　　4　　5　　6　　7　　8

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　  m=10,k=3 去掉一个元素之后，变成了一个m=9,k=3的约瑟夫环问题

　　　　　　　　　　 并且有如下关系 

　　　　　　　　　　 3 = (0+3)%10   4 = （1+3）%10 　　... 0 = (3+7)%10

　　　　　　　　　即 3 = (0+k)% m    4 =  (1+k) % m       ... 0  = (3+k) % m

　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　m =10,k =3 设约瑟夫环最后一个出列的人为 Joseph(10,3),那么存在如下关系

　　　　　　　　　　Joseph(10,3) = (Joseph(9,3)+k) %m;

　　　　　　　　　　...

　　　　　　　　　　Joseph(n,k) = (Joseph(n-1,k)+k) % n （n>1）;

　　　　　　　　

C++实现如下： 

递归方法一：

int Joseph(int m,int k)
{
    if(m<=0||k<=0)
    {
        cout<<"error!"<<endl;
        return -1;
    }else
    {
        if(m==1)
        {
            return 0;
        }else
        {
            return ((Joseph(m-1,k)+k)%m);
        }
    }
}

 

 递归方法二：如果输出整个出队的顺序

int Joseph(int m,int k,int i)
{
    if(m<=0||k<=0||m<i)
    {
        cout<<"error"<<endl;
        return -1;

    }else
    {
        if(i==1)
        {
            return (m+k-1)%m;
        }else
        {
            return ((Joseph(m-1,k,i-1)+k)%m);
        }
    }
}

 

程序运行结果如下：

int main()
{   
    cout<<"递归方法一"<<endl;
    cout << Joseph(6,3) << endl;
    cout<<"递归方法二"<<endl;
    for(int i=1;i<=6;i++)
    {
        cout<<Joseph(6,3,i)<<endl;
    }
    getchar();
    return 0;
}

 

 结果：

 

 ——————循环链表实现：

 

建立节点数据结构：循环链表

 

struct Node
{
    int data;
    Node * next;
};

struct LinkedList
{
    Node *pHead;
    Node *pTail;
    int len;
};

 

建立循环链表

//建立个节点
Node * GetNode(int i)
{
    Node * p = (Node *)malloc(sizeof(Node));
    if(p!=NULL&&i>=0)
    {
        p->data = i;
        p->next = NULL;
        return p;

    }else
    {

        cout<<"error"<<endl;
        exit(-1);
        return NULL;
    }
}

//建立链表
LinkedList* CreateLinkedList(int i)
{
    Node* node = GetNode(0);
    LinkedList *head = (LinkedList*)malloc(sizeof(LinkedList));
    if(head == NULL)
    {
        cout<<"CreateLinkedList:memory error"<<endl;
        exit(-1);
        return NULL;
    }
    if(i<=0)
    {
        cout<<"CreateLinkedList: error"<<endl;
        exit(-1);
        return NULL;
    }

    head->pHead = node;
    head->pTail = node;
    head->len = 1;
    if(i==1)
    {
        node->next = node;
    }else
    {
        Node *p = head->pHead;
        for(int j=1;j<=i-1;j++)
        {
            Node* node = GetNode(j);
            node->data = j;
            p->next = node;
            p=p->next;
            head->len++;
        }
        head->pTail = p;
        p->next = head->pHead;
    }
    return head;

}

 

删除节点：

//删除节点
void RemoveNode(LinkedList*head,Node *deleNode)
{
    Node* p = head->pHead;
    cout<<deleNode->data<<endl;
    if(p!=NULL){
        if(head->len>1){
            do
            {
                if(p->data==deleNode->data)
                {
                    if(p==head->pHead)
                    {
                        head->pHead = p->next;
                    }
                    if(p==head->pTail)
                    {
                        head->pTail = p->next;
                    }
                    p->data = p->next->data;
                    p->next = p->next->next;
                    head->len--;
                    return;

                }else{
                    p=p->next;
                }
            }while(p!=head->pHead);
        }else
        {
            cout<<"error";
            exit(-1);
            return;
        }
    }else
    {
        return;
    }
}

 

约瑟夫模拟：

int Joseph(int m,int k)
{
    if(m<=0||k<=0)
    {
        cout<<"error:input"<<endl;
        return -1;
    }
    LinkedList* list = CreateLinkedList(m);
    //Print_List(list);
    Node * p = list->pHead;

    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        if(list->len ==1)
        {
            return p->data;
        }
        if(i==k)
        {
            RemoveNode(list,p);
            i = 1;
        }
        p=p->next;
    }
    return 0;

}

 

程序运行结果如下：

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    
    
    cout<<"循环列表"<<endl;
    cout<<Joseph(6,3)<<endl;
    getchar();
    return 0;
}