#公式与实现# Jacobi迭代与五点迭代

之前一直不明白Jacobi迭代为什么是五点迭代，今天忽然想到这是二维泊松方程的求解，一切就豁然开朗。

Jacobi迭代基本形式：
[x_i^{k + 1} = \frac{1}{2}\left( {{b_i} - \sum\limits_{j \ne i} {{a_{ij}}x_j^k} } \right)]
详细推导见之前博客的引用链接。

对于二维泊松方程，x、y方向采用相同的步长，在x、y方向同时采用中心差分离散可得：
[{\left. {\frac{{{\partial ^2}u(x,y)}}{{\partial {x^2}}}} \right|{({x_i},{x_j})}} \approx \frac{{2u({x_i},{y_j}) - u({x{i - 1}},{y_j}) - u({x_{i - 1}},{y_j})}}{{{h^2}}}]
[{\left. {\frac{{{\partial ^2}u(x,y)}}{{\partial {y^2}}}} \right|{({x_i},{x_j})}} \approx \frac{{2u({x_i},{y_j}) - u({x_i},{y{j - 1}}) - u({x_i},{y_{j + 1}})}}{{{h^2}}}]
带入二维Poisson方程即得Poisson方程在
[\left( {{x_i},{y_j}} \right)]
点的近似离散方程
[4{u_{i,j}} - {u_{i - 1,j}} - {u_{i + 1,j}} - {u_{i,j - 1}} - {u_{i,j + 1}} = {h^2}{f_{i,j}}]
其中
[{f_{i,j}} = f({x_i},{y_j})]
，
[{u_{i,j}}]为[u({x_i},{y_j})]
的近似。