树和二叉树

一、树的定义

树（Tree）是 n（n>=0）个结点的有限集，它或为空树（n = 0）; 或为非空树，对于非空树 T：

（1）有且仅有一个称之为根的结点；

（2）除根结点以外的其余结点可分为 m（m>0）个互不相交的有限集 T₁, T₂ , …T_m，其中每 一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（SubTree）。

树的结构定义是一个递归的定义，即在树的定义中又用到树的定义，它道出了树的固有特性。

树还可有其他的表示形式：

二、树的基本术语

（1）结点：树中的一个独立单元。包含一个数据元素及若于指向其子树的分支。

（2）结点的度：结点拥有的子树数称为结点的度。

（3）树的度：树的度是树内各结点度的最大值。

（4） 叶子： 度为 0 的结点称为叶子或终端结点。

（5） 非终端结点：度不为 0 的结点称为非终端结点或分支结点。除根结点之外，非终端结点 也称为内部结点。

（6）双亲和孩子：结点的子树的根称为该结点的孩子，相应地，该结点称为孩子的双亲。

（7） 兄弟：同一个双亲的孩子之间互称兄弟。

（8） 祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。

（9） 子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙。

（10）层次：结点的层次从根开始定义起，根为 第一层，根的孩子为第二层。树中任一结点的 层次等与其双亲结点的层次加 1。

（11）堂兄弟：双亲在同 一层的结点互为堂兄弟。

（12）树的深度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度。

（13）有序树和无序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换）， 则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的 称为最后一个孩子。

（14）森林：是 m（m >= 0）棵互不相交的树的集合。对树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。由此，也可以用森林和树相互递归的定义来描述树。

就逻辑结构而言，任何一棵树都是一个二元组 Tree =（root , F） , 其中root是数据元素，称作树的根结点； F 是 m（m>=0）棵树的森林，F =（T₁ , T₂, …, T_m）, 其中T_i = （r_i，F_i）称作根 root的第 i 棵子树；当m != 0时，在树根和其子树森林之间存在下列关系：

RF = { <root, r_i>  i = 1, 2, …，m, m > 0 }

这个定义将有助于得到森林和树与二叉树之间转换的递归定义。

三、二叉树的定义

二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个结点所构成的集合，它或为空树（n = 0）; 或为非空树，对于非空树 T:

（1） 有且仅有一个称之为根的结点；

（2）除根结点以外的其余结点分为两个互不相交的子集 T₁ 和 T₂, 分别称为 T 的左子树和右子树，且 T₁ 和 T₂ 本身又都是二叉树。

二叉树与树一样具有递归性质，二叉树与树的区别主要有以下两点：

（1）二叉树每个结点至多只有两棵子树（即二叉树中不存在度大于 2 的结点）；

（2）二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

二叉树的递归定义表明二叉树或为空，或是由一个根结点加上两棵分别称为左子树和右子树 的、互不相交的二叉树组成。由于这两棵子树也是二叉树，则由二叉树的定义，它们也可以是空树。由此，二叉树可以有 5 种基本形态：

 四、二叉树的性质

性质 1 在二叉树的第 i 层上至多有 2^i-1 个结点（i >= 1）。

性质 2 深度为 k 的 二叉树至多有 2^k - 1 个结点 （k >= 1）。

性质 3 对任何一棵二叉树 T, 如果其终端结点数为 n₀，度为2的结点数为 n₂,则 n₀ = n₂ + 1。

证明：设 n₁ 为二叉树 T 中度为1的结点数。因为二叉树中所有结点的度均小于或等于 2, 所以其结点总数为：

n = n₀ + n₁ + n₂ 　　①

 

再看二叉树中的分支数。除了根结点外，其余结点都有一个分支进入，设B为分支总数，则 n = B+1。

由于这些分支是由度为 1 或 2 的结点射出的，所以又有 B = n₁ + 2n_2。于是得：

n = n₁ + 2n₂ + 1　　②

由式①和式②得：

n₀ = n₂ + 1

满二叉树：深度为k且含有 2^k -1 个结点的二叉树。 图（a）所示是一棵深度为4 的满二叉树。

满二叉树的特点是：每一层上的结点数都是最大结点数，即每一层l的结点数都具有最大 值 2^i-1。

可以对满二叉树的结点进行连续编号， 约定编号从根结点起， 自上而下， 自左至右。 由此可引出完全二叉树的定义。

完全二叉树：深度为 k 的， 有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 k 的满 二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时，称之为完全二叉树。

图（b）所示为一棵深度为 4 的完全二叉树。

完全二叉树的特点是：

（1）叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；

（2）对任一结点， 若其右分支下的子孙的最大层次为 i， 则其左分支下的子孙的最大层次必为 i 或 i + 1。

图中（c）和（d） 不是完全二叉树。 完全二叉树在很多场合下出现，性质 4 和性质 5 是完全二叉树的两个重要特性。

性质 4 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log₂n⌋ + 1。

证明：假设深度为 k, 则根据性质 2 和完全二叉树的定义有

2^k-1 - 1 < n <= 2^k - 1 或 2^k-1 <= n < 2^k

于是 k-1 <= log₂n < k, 因为 k 是整数，所以 k = ⌊log₂n⌋ + 1。

性质 5 如果对一棵有 n 个结点的完全二叉树（其深度为 ⌊log₂n⌋ + 1） 的结点按层序编号（从 第 1 层到第 ⌊log₂n⌋ + 1 层， 每层从左到右），

则对任一结点i（1 <= i <= n）, 有

（1）如果 i = 1, 则结点 i 是二叉树的根，无双亲；如果 i > 1，则其双亲 PARENT（i）是结 点 ⌊i/2⌋。

（2）如果 2i > n, 则结点 i 无左孩子（结点 i 为叶子结点）；否则其左孩子LCHILD1（i）是结点 2i。

（3）如果 2i + 1 > n, 则结点无右孩子；否则其右孩子RCHILD（i）是结点 2i + 1。

五、遍历序列确定二叉树

在先序序列中，第一个结点一定是二叉树 的根结点。另一方面，中序遍历是先遍历左子树，然后访问根结点，最后再遍历右子树。这样， 根结点在中序序列中必然将中序序列分割成两个子序列，前一个子序列是根结点的左子树的中序 序列， 而后一个子序列是根结点的右子树的中序序列。 根据这两个子序列， 在先序序列中找到对 应的左子序列和右子序列。在先序序列中，左子序列的第一个结点是左子树的根结点，右子序列 的第一个结点是右子树的根结点。这样，就确定了二叉树的三个结点。同时，左子树和右子树的 根结点又可以分别把左子序列和右子序列划分成两个子序列，如此递归下去， 当取尽先序序列中 的结点时，便可以得到一棵二叉树。

（1） 由后序遍历特征，根结点必在后序序列尾部。

（2） 由中序遍历特征，根结点必在 其中间，而且其左部必全部是左子树子孙， 其右 部必全部是右子树子孙。

（3）由中序遍历特征，第一个结点一定是二叉树 的根结点。