太空飞行计划问题

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最大权闭合子图学习笔记。

何为最大权闭合子图？假如有一个有向图且点有点权，希望选择一个点集使得集合内每一个点的后继都在集合内，这就构成了一个闭合子图；在这些闭合子图中选择点权之和最大的点集，这个集合就是最大权闭合子图。

如何求解呢？考虑建立超级源点和超级汇点，源点向每个正点权的点连一条点权的边，每个负点权的点往汇点连接一条负点权的边，原图中的边边权重新赋值为正无穷，然后跑网络流，用正点权之和减去网络流跑出来的答案就是最大权闭合子图的点权和。

正确性呢？可以直接转化成最小割问题。首先由于原图中的边全部赋值为正无穷不可能被断掉，所以被断掉的只可能是两边的边。而每一条边的通断都对应着一个点的选择与否，正点的边未被割掉或者负点的边被割掉就是对应的点被选择了，由于最小割的性质，只有所有正点过去的负点边都被割掉了才能形成一个割，这也就满足了闭合子图的性质。而闭合子图的权值和会等于正点权点权和-未被选择的正点点权和-被选择的负点点权相反数之和。前者固定，后二者的和就是割的大小，这样一来选择最小割就可以保证答案的最大。

至于构造解，可以考虑最小割等于最大流的证明方法，从超级源点遍历非0边，所有遍历到的点都是被选择的点（与补集相连的边集就是最小割）。

至于本题的解法就很明了了，很明显的最大权闭合子图板子，套用上面的方法即可。

#include<bits/stdc++.h>
//#define feyn
#define int long long
const int N=500;
const int M=1000010;
const int maxn=1e12;
using namespace std;
inline bool read(int &wh){
	wh=0;int f=1;char w=getchar();
	while(w<'0'||w>'9'){if(w=='-')f=-1;w=getchar();}
	while(w>='0'&&w<='9'){wh=wh*10+w-'0';w=getchar();}
	wh*=f;return w=='r'||w=='\n';
}
inline int min(int s1,int s2){
	return s1<s2?s1:s2;
}

int m,n,a[N],b[N],ss,tt,cnt;
struct edge{
	int t,v,next;
}e[M];
int head[N],esum=1;
inline void adde(int fr,int to,int val){
	e[++esum]=(edge){to,val,head[fr]};head[fr]=esum;
}
inline void add(int fr,int to,int val){
	//printf("%lld %lld %lld\n",fr,to,val);
	adde(fr,to,val);adde(to,fr,0);
}

int nt,t[N],d[N],q[N],ll,rr;
inline bool check(){
	nt++;t[q[ll=rr=1]=ss]=nt;d[ss]=1;
	while(ll<=rr){
		int wh=q[ll++];
		for(int i=head[wh],th;i;i=e[i].next){
			if(e[i].v==0||t[th=e[i].t]==nt)continue;
			d[th]=d[wh]+1;t[th]=nt;q[++rr]=th;
		}
	}
	return t[tt]==nt;
}
inline int dinic(int wh,int val){
	if(wh==tt)return val;
	int used=0;
	for(int i=head[wh],th;i;i=e[i].next){
		if(e[i].v==0||d[th=e[i].t]!=d[wh]+1)continue;
		int now=dinic(th,min(val,e[i].v));
		if(now)used+=now,val-=now,e[i].v-=now,e[i^1].v+=now;
		if(val==0)break;
	}
	if(val)d[wh]=-1;return used;
}

int pa[N],pb[N],cnt1,cnt2;
bool vis[N];
void dfs(int wh){
	if(wh>=a[1]&&wh<=a[m])pa[++cnt1]=wh-a[1]+1;
	if(wh>=b[1]&&wh<=b[n])pb[++cnt2]=wh-b[1]+1;
	vis[wh]=true;
	for(int i=head[wh],th;i;i=e[i].next){
		if(e[i].v==0||vis[th=e[i].t])continue;dfs(th);
	}
}

signed main(){
	
	#ifdef feyn
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	
	ss=++cnt;tt=++cnt;
	read(m);read(n);
	int s1,sum=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=++cnt;
	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=++cnt;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		read(s1);sum+=s1;add(ss,a[i],s1);
		while(true){
			bool ok=read(s1);
			add(a[i],b[s1],maxn);
			if(ok)break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		read(s1);add(b[i],tt,s1);
	}
	int ans=0;
	while(check())ans+=dinic(ss,maxn);
	dfs(ss);sort(pa+1,pa+cnt1+1);sort(pb+1,pb+cnt2+1);
	for(int i=1;i<=cnt1;i++)printf("%d ",pa[i]);printf("\n");
	for(int i=1;i<=cnt2;i++)printf("%d ",pb[i]);printf("\n");
	printf("%lld",sum-ans);
	
	return 0;
}