[NOI2002] 荒岛野人

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二十年前的NOI是如此淳朴……

题并不难，主要是我对扩欧理解不深，再加上许久没写了，于是乎写得一塌糊涂……

考虑枚举洞穴个数 \(k\) ，并验证个数是否合法，很明显可以列出式子（假如两个野人 \(s\) 年后相遇）：

\[c_1+p_1s\equiv c_2+p_2s\pmod{k} \]

变形可得：

\[(p_1-p_2)s-rk=c_2-c_1 \]

可以发现这就是一个 \(a=p_1-p_2,b=k,c=c_2-c_1\) 的不定方程，需要判断的就是 \(x\) 是否比两个人的寿命都要短。

首先可以肯定的是 \(c\equiv0\pmod{\gcd(a,b)}\) 不成立时方程无解，那么野人永远不可能相遇，显然合法，接下来就考虑如何处理其他情况：

假设 \(g=\gcd(a,b)\) ，那么方程可以转化为 \(\frac{a}{g}x+\frac{b}{g}y=\frac{c}{g}\) ，其中 \(\gcd(a',b')=1\)。

\[a'x_0+b'y_0=1 \]

此时应该先利用\(x_0,b'\)求出最小整数解之后再用以下公式。注意 \(b'<0\) 时要取相反数，否则求出来的东西会是负的。

\[a'(x_0c')+b'(y_0c')=c' \]

最终的答案就是 \(x_0c'\) 。别的没什么了，就是要保证洞穴数要大于最大编号。

#include<cstdio>
#define zczc
#define int long long
const int N=105;
inline void read(int &wh){
    wh=0;int f=1;char w=getchar();
    while(w<'0'||w>'9'){if(w=='-')f=-1;w=getchar();}
    while(w<='9'&&w>='0'){wh=wh*10+w-'0';w=getchar();}
    wh*=f;return;
}

int m,c[N],p[N],l[N];

int x,y;
inline int exgcd(int a,int b){
	if(b==0){x=1,y=0;return a;}
	int re=exgcd(b,a%b);
	int xx=x,yy=y;
	x=yy,y=xx-a/b*yy;
	return re;
}
bool check(int wh){
	for(int i=1;i<m;i++){
		if(wh<c[i]-1)return false;
		for(int j=i+1;j<=m;j++){
			if(wh<c[j]-1)return false;
			int a=p[i]-p[j],b=wh,cc=c[j]-c[i];
			int g=exgcd(a,b);
			if(cc%g)continue;
			a/=g,b/=g,cc/=g;
			if(b<0)b=-b;
			x=(x*cc%b+b)%b;
			if(x<=l[i]&&x<=l[j])return false;
		}
	}
	return true;
}

signed main(){
	
	#ifdef zczc
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	
	read(m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		read(c[i]);read(p[i]);read(l[i]);
	}
	for(int i=1;;i++){
		if(check(i)){
			printf("%lld\n",i);
			return 0;
		}
	}
	
	return 0;
}