自然数幂之和

先说结论，即函数

\[f_k(m)=\sum\limits_{i=1}^mi^k \]

最高次项为k+1次。很玄学对吧，于是到题解里康了一眼，然后整个人都不好了……

开始还能试着推两步，到后来直接放弃。以后再说。但所幸题解里还有一种我看得懂的做法，虽然似乎并不严谨但对我这种蒟蒻来说已经足够了。

前置结论：对于最高次为\(k\)次的函数\(f\)，\(f(x)-f(x-1)\)是一个 \(k-1\) 次的多项式。

这个很好证。设：

\[f(x)=\sum\limits_{i=0}^ku_ix^i \]

为了证明差值是一个k-1次的多项式，只需要证明这个差值里 \(x^k\) 项会被完全抵消。

\[u_ix^k-u_i(x-1)^k\\=u_i(x^k-(x-1)^k)\\=u_i(x^k-\sum\limits_{j=0}^k\dbinom{k}{j}x^j) \]

因为\(\dbinom{k}{k}=1\)，所以括号内的 \(x^k\) 次项会被抵消。前置结论正确。

有了这个前置结论再看那个函数

\[f(x)=\sum\limits_{i=1}^xi^k \]

有\(f(x)-f(x-1)=x^k\)，差值是个 \(k\) 次多项式，所以原函数是一个 \(k+1\) 次的函数。大概也许或者是这样的，但评论里也说了这种证法不够严谨。

管他那么多呢！

哼。