自然数幂之和

先说结论，即函数

$$f_k(m)=\sum _{i=1}^m{i}^k$$

最高次项为k+1次。很玄学对吧，于是到题解里康了一眼，然后整个人都不好了……

开始还能试着推两步，到后来直接放弃。以后再说。但所幸题解里还有一种我看得懂的做法，虽然似乎并不严谨但对我这种蒟蒻来说已经足够了。

前置结论：对于最高次为$k$次的函数$f$，$f(x)-f(x-1)$是一个 $k-1$ 次的多项式。

这个很好证。设：

$$f(x)=\sum _{i=0}^k{u}_i{x}^i$$

为了证明差值是一个k-1次的多项式，只需要证明这个差值里 $x^k$ 项会被完全抵消。

$$\begin{gathered} u_i{x}^k-u_i(x-1{)}^k \\ =u_i(x^k-(x-1{)}^k) \\ =u_i(x^k-\sum _{j=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{j})}{x}^j) \end{gathered}$$

因为${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{k})}=1$，所以括号内的 $x^k$ 次项会被抵消。前置结论正确。

有了这个前置结论再看那个函数

$$f(x)=\sum _{i=1}^x{i}^k$$

有$f(x)-f(x-1)=x^k$，差值是个 $k$ 次多项式，所以原函数是一个 $k+1$ 次的函数。大概也许或者是这样的，但评论里也说了这种证法不够严谨。

管他那么多呢！

哼。