【模板】拉格朗日插值

link

开始学习数学了……

众所周知拉格朗日插值可以解决如下问题：给定N个点，可以在$O(N^2)$的时间内求出过这些点的次数和项数都为N-1的多项式，并且求出该多项式在另一个自变量下的取值。

拉格朗日插值的思想是构造。用一句经典的话来说，假如我们有N个项数和次数都为N-1的函数 $g_1,g_2\dots g_N$ ，并且函数 $g_i$ 满足

$$g_i(x_j)=\{\begin{array}{ll}0& j\ne i\\ 1& j=i\end{array}(j\in [1,N])$$

于是可以发现，假如有函数

$$f=\sum _{i=1}^N{g}_i\times y_i$$

那么显然这个函数的次数和项数都符合条件，而且某个$x_i$只可能在$g_i$时有$y_i$的贡献，其它时候都被0掉了，所以这个函数是满足上述条件的，也就是说这样构造出的函数是合法的。

但是那个 $g$ 函数又应当如何构造呢？根据奇怪的因式定理可以尝试构造函数 $r$：

$$r_i=\prod _{j=1}^N(x-x_j)(j\ne i)$$

那么这个函数 $r$ 就可以满足上面那个0的条件。那1的条件呢？直接除以一个一样的式子不就好啦。于是：

$$g_i=\frac{r_i}{r_i}=\frac{\prod _{j=1}^N(x-x_j)}{\prod _{j=1}^N(x_i-x_j)}=\prod _{j=1}^N\frac{x-x_j}{x_i-x_j}(j\ne i)$$

合起来就可以得到最终的结论：

$$f=\sum _{i=1}^N{y}_i\times \prod _{j=1}^N\frac{x-x_j}{x_i-x_j}(j\ne i)$$

然后发现可以直接带值进行计算。代码挺好写的，有几个地方需要注意一下：

• 除法部分确实需要用逆元，但为了少求几次可以考虑全部乘起来之后再一次性搞定。
• 关于取模，最后答案可能是负数，这就意味着必须要用馍加馍的方法把它强行搞成正数。连Wa三次得出的教训。

#include<cstdio>
#define zczc
#define int long long
const int mod=998244353;
const int N=2010;
inline void read(int &wh){
	wh=0;int f=1;char w=getchar();
	while(w<'0'||w>'9'){if(w=='-')f=-1;w=getchar();}
	while(w>='0'&&w<='9'){wh=wh*10+w-'0';w=getchar();}
	wh*=f;return;
}

int m,w,ans,x[N],y[N];

inline int pow(int s1,int s2){
	if(s2==1)return s1;if(s2==0)return 1;
	int an=pow(s1,s2>>1);
	if(s2&1)return an*an%mod*s1%mod;
	else return an*an%mod;
}

signed main(){
	
	#ifdef zczc
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	
	read(m);read(w);
	for(int i=1;i<=m;i++){read(x[i]);read(y[i]);}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a=y[i],b=1;
		for(int j=1;j<=m;j++){
			if(i==j)continue;
			a*=w-x[j];a%=mod;
			b*=x[i]-x[j];b%=mod;
		}
		ans+=a*pow(b,mod-2)%mod;ans%=mod;
	}
	printf("%lld",(ans+mod)%mod);
	
	return 0;
}