征途

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决策单调性的另一种写法。似乎仍然可以使用斜率优化但我没去写。

方程不重要，我的那个“方差一瞥”已经写得很清楚了，说一下决策单调性的第二种写法吧。这种写法适用于：

\[f[x]=\min\limits_{i=0}^{x-1}\{g(i)+w[i,x]\} \]

其中\(g(i)\)是一个与\(f[i]\)无关的函数。可以发现这个过程可以是离线的，毕竟先求谁再求谁对答案没有影响。于是就可以考虑分治。

用\(solve(wl,wr,l,r)\)来表示我们希望求区间[wl,wr]的答案，它们决策点的区间为[l,r]。我们可以考虑暴力求出\(\frac{wl+wr}{2}\)的答案，由于决策单调不减，那么[wl,mid-1]的决策点范围肯定是[l,k(mid)]，右边同理。由于这种写法具有分治特性，它的复杂度大概是\(O(NlogN)\)（不知道会不会被卡哦）。

另外这种题目也要满足那个奇怪不等式才能生效。本题中你会发现它的w函数仍然是个开口朝上的二次函数，套用van具装箱的解释它也是满足条件的。

#include<cstdio>
#include<cstring>
//#define zczc
#define int long long
const int N=3010;
inline void read(int &wh){
    wh=0;int f=1;char w=getchar();
    while(w<'0'||w>'9'){if(w=='-')f=-1;w=getchar();}
    while(w<='9'&&w>='0'){wh=wh*10+w-'0';w=getchar();}
    wh*=f;return;
}

int m,n,a[N],s[N],f[N][N];
void solve(int x,int wl,int wr,int l,int r){
	if(wl>wr)return;
	int mid=wl+wr>>1,pl;
	for(int i=l;i<=r&&i<=mid;i++){
		int now=f[x-1][i]+(s[mid]-s[i])*(s[mid]-s[i]);
		if(now<f[x][mid])f[x][mid]=now,pl=i;
	}
	solve(x,wl,mid-1,l,pl);
	solve(x,mid+1,wr,pl,r);
}

signed main(){
	
	#ifdef zczc
	freopen("in.txt","r",stdin);
	#endif
	
	read(m);read(n);memset(f,0x3f,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=m;i++)read(a[i]),s[i]=s[i-1]+a[i];
	for(int i=1;i<=m;i++)f[1][i]=s[i]*s[i];
	for(int i=2;i<=n;i++)solve(i,1,m,0,m-1);
	printf("%lld",-s[m]*s[m]+n*f[n][m]);
	
	return 0;
}