矩阵乘法Ⅰ
由于矩阵乘法是本蒟蒻自学的，只学到了一点点皮毛。
矩阵乘法大法大大的好。
说实话，矩阵乘法相较于其它的“数学”部分的知识点要友好太多了，毕竟，现在依然记得当年周老师花了一个晚上时间来证明费马小定理……
数学真他妈不是人玩的东西。但矩阵乘法至少没有那么阴间，个人观点。
如何计算矩阵乘法？举个例子：
官方语言是：
一个\(n\times m\)的矩阵\(A\)和一个\(m\times p\)的矩阵\(B\)，\(A\times B\)的结果\(C\)为：
\( C_{i,j}=\sum_{{1\le k\le m}} A_{ik}\times B_{kj} \)
意思就是第一个矩阵第\(i\)行和第二个矩阵第\(j\)列的元素相乘，作为结果的第\(i\)行第\(j\)列的元素。乘好之后矩阵规模为取第一个的行数第二个的列数。
一句话：前行后列
意思是第一个矩阵拿出的是某一行，第二个矩阵拿出的是某一列。这就要求两个相乘的矩阵，第一个的列数等于第二个的行数。
它的作用（目前我知道的作用）：可以加快某些简单递推式的计算，把原本\(O(n)\)的复杂度降到\(O(\log n)\)。
比如一个经典应用：
已知数列\(a\)满足\(a_i=a_{i-1}+a_{i-2}\)，其中\(a_1=a_2=1\)，给定不超过\(10^9\)的正整数\(n\),\(a_n\)%\((1^9+7)\)的值。
易得：
\(a_i=a_{i-1}+a_{i-2}\)
\(a_{i-1}=a_{i-1}\)
所以：
\( \begin{bmatrix} a_i\\ a_{i-1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} a_{i-1}\\ a_{i-2} \end{bmatrix} \)
又因为矩阵乘法满足结合律，所以：
\( \begin{bmatrix} a_n\\ a_{n-1} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}^{n-2}\times \begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix} \)
然后就可以用快速幂来做了
模板：斐波那契数列
#include<cstdio>
#define int long long
const int mod=1e9+7;
struct node{
int a[3][3];
}newone;
inline node cheng(node s1,node s2){
node re=newone;
for(int i=1;i<=2;i++){
for(int j=1;j<=2;j++){
for(int k=1;k<=2;k++){
re.a[i][j]+=s1.a[i][k]*s2.a[k][j];
re.a[i][j]%=mod;
}
}
}
return re;
}
node qpow(node s1,int s2){
if(s2==1)return s1;
node re=qpow(s1,s2>>1);
re=cheng(re,re);
if(s2&1)re=cheng(re,s1);
return re;
}
signed main(){
int m;
scanf("%lld",&m);
node fir=newone;
fir.a[1][1]=fir.a[1][2]=fir.a[2][1]=1;
if(m<=2){
printf("1");
return 0;
}
node sm=qpow(fir,m-2);
printf("%lld",(sm.a[1][1]+sm.a[1][2])%mod);
return 0;
}
模板2：【模板】矩阵快速幂
AC代码：
#include<cstdio>
#define int long long
const int mod=1e9+7;
const int M=105;
int m;
struct node{
int a[M][M];
}newone,fir;
inline node cheng(node s1,node s2){
node re=newone;
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
for(int k=1;k<=m;k++){
re.a[i][j]+=s1.a[i][k]*s2.a[k][j];
re.a[i][j]%=mod;
}
}
}
return re;
}
node qpow(node s1,int s2){
if(s2==1)return s1;
node re=qpow(s1,s2>>1);
re=cheng(re,re);
if(s2&1)re=cheng(re,s1);
return re;
}
signed main(){
int n;
scanf("%lld%lld",&m,&n);
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%lld",&fir.a[i][j]);
}
}
node ans=qpow(fir,n);
for(int i=1;i<=m;i++){
for(int j=1;j<=m;j++){
printf("%lld ",ans.a[i][j]);
}
putchar('\n');
}
return 0;
}
