损失函数/代价函数目标函数

如何找出幸福感最强的人？什么人幸福感最强，是既有钱（拟合较好，不是最有钱）又活得轻松（模型复杂度低，简简单单生活）的中层阶级。

首先给出结论：损失函数和代价函数是同一个东西，目标函数是一个与他们相关但更广的概念，对于目标函数来说在有约束条件下的最小化就是损失函数（loss function）。

举个例子解释一下:（图片来自 Andrew Ng Machine Learning 公开课视频）

上面三个图的函数依次为 $f_{1}(x)$ , $f_{2}(x)$ , $f_{3}(x)$ 。我们是想用这三个函数分别来拟合 Price，Price 的真实值记为 $Y$ 。

我们给定 $x$ ，这三个函数都会输出一个 $f(X)$ , 这个输出的 $f(X)$ 与真实值 $Y$ 可能是相同的，也可能是不同的，为了表示我们拟合的好坏，我们就用一个函数来度量拟合的程度，比如：

$L(Y,f(X)) = (Y-f(X))^2$ ，这个函数就称为损失函数 (loss function)，或者叫代价函数 (cost function)。损失函数越小，就代表模型拟合的越好。

那是不是我们的目标就只是让 loss function 越小越好呢？还不是。

这个时候还有一个概念叫风险函数 (risk function)。风险函数是损失函数的期望，这是由于我们输入输出的 $(X,Y)$ 遵循一个联合分布，但是这个联合分布是未知的，所以无法计算。但是我们是有历史数据的，就是我们的训练集， $f(X)$ 关于训练集的平均损失称作经验风险 (empirical risk)，即 $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i}))$ ，所以我们的目标就是最小化 $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i}))$ ，称为经验风险最小化。

到这里完了吗？还没有。

如果到这一步就完了的话，那我们看上面的图，那肯定是最右面的 $f_3(x)$ 的经验风险函数最小了，因为它对历史的数据拟合的最好嘛。但是我们从图上来看 $f_3(x)$ 肯定不是最好的，因为它过度学习历史数据，导致它在真正预测时效果会很不好，这种情况称为过拟合 (over-fitting)。

为什么会造成这种结果？大白话说就是它的函数太复杂了，都有四次方了，这就引出了下面的概念，我们不仅要让经验风险最小化，还要让结构风险最小化。这个时候就定义了一个函数 $J(f)$ ，这个函数专门用来度量模型的复杂度，在机器学习中也叫正则化 (regularization)。常用的有 $L_1$ , $L_2$ 范数。