拉格朗日乘子法

参考     拉格朗日乘子法如何理解？          拉格朗日乘子法

基本的拉格朗日乘子法就是求函数 f(x1,x2,...) 在约束条件 g(x1,x2,...)=0 下的极值的方法。
其主要思想是将约束条件函数与原函数联立，从而求出使原函数取得极值的各个变量的解。
 
计算过程：
1. 假设需要求极值的目标函数 (objective function) 为 f(x,y)，限制条件为φ(x,y)=M
2. 设
3. 定义一个新函数
4. 用偏导数方法列出方程：
5. 求出 x,y,λ的值，代入即可得到目标函数的极值
如何理解：
代数法：

求一个多元函数 f(x,y,z,...) 在条件 g(x,y,z,...)=a 下的极值, 实际上是求前者在后者定义域下的极值。

而求函数 L(r,x,y,z,...)=f(x,y,z,...)+r*(g(x,y,z,...)-a) 的无条件极值，极值存在的条 件为L 的所有偏导数等于 0。

关键的一点来了，由于 r 也是 L 的变量，所以 L 对 r 的偏导数为 0 相当于要求 g(x,y,z,...)-a=0

这恰好使 L(r,x,y,z,...) 的除 r 外的所有变量被限制在 g(x,y,z,...) 的定义域内。

而在这个定义域内，显然 g-a 恒等于 0，于是有 L=f ，求 f 的有条件极值问题被转化为求 L 的无条件极值问题。

 

几何法1：

这个可以比较直观的解释。

想象一下，目标函数f(x,y)是一座山的高度，约束g(x,y)=C是镶嵌在山上的一条曲线如下图。


你为了找到曲线上的最低点，就从最低的等高线（0 那条）开始网上数。数到第三条，等高线终于和曲线有交点了（如上图所示）。因为比这条等高线低的地方都不在约束范围内，所以这肯定是这条约束曲线的最低点了。

而且约束曲线在这里不可能和等高线相交，一定是相切。因为如果是相交的话，如下图所示，那么曲线一定会有一部分在 B 区域，但是 B 区域比等高线低，这是不可能的。


两条曲线相切，意味着他们在这点的法线平行，也就是法向量只差一个任意的常数乘子（取为-\lambda）：\nabla f(x,y)=-\lambda \nabla g(x,y), 我们把这个式子的右边移到左边，并把常数移进微分算子，就得到\nabla (f(x,y)+\lambda g(x,y))=0。
把这个式子重新解释一下，这个就是函数f(x,y)+\lambda g(x,y)无约束情况下极值点的充分条件。
 
几何法2：

拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier）有很直观的几何意义。
举个 2 维的例子来说明：
假设有自变量 x 和 y，给定约束条件 g(x,y)=c，要求 f(x,y) 在约束 g 下的极值。

我们可以画出 f 的等高线图，如下图。此时，约束 g=c 由于只有一个自由度，因此也是图中的一条曲线（红色曲线所示）。显然地，当约束曲线 g=c 与某一条等高线 f=d1 相切时，函数 f 取得极值。
两曲线相切等价于两曲线在切点处拥有共线的法向量。因此可得函数 f(x,y) 与 g(x,y) 在切点处的梯度（gradient）成正比。
于是我们便可以列出方程组求解切点的坐标 (x,y)，进而得到函数 f 的极值。

posted @ 2018-01-22 21:35  dahu1  Views(403)  Comments(0)  Edit  收藏  举报