似然函数理解

最近要更新一批基础概念，也是一种巩固复习。
参考 似然函数 Likelihood function

理论

在数理统计学中，似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数，表示模型参数中的似然性。似然函数在统计推断中有重大作用，如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性” 与 “或然性” 或 “概率” 意思相近，都是指某种事件发生的可能性，但是在统计学中，“似然性” 和 “或然性” 或 “概率” 又有明确的区分。概率用于在已知一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果，而似然性则是用于在已知某些观测所得到的结果时，对有关事物的性质的参数进行估计。

B的条件下发生A，概率用来描述事件A的可能性，似然用来描述事件A发生时，这个条件B的可能性有多大

在这种意义上，似然函数可以理解为条件概率的逆反。在已知某个参数 B 时，事件 A 会发生的概率写作：

利用贝叶斯定理，

因此，我们可以反过来构造表示似然性的方法：已知有事件 A 发生，运用似然函数，我们估计参数 B 的可能性。形式上，似然函数也是一种条件概率函数，但我们关注的变量改变了：

注意到这里并不要求似然函数满足归一性：
。一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有，都可以有似然函数：

给定输出 x 时，关于参数θ的似然函数 L(θ|x)（在数值上）等于给定参数θ后变量 X 的概率：

注意，这里虽然在写法上是一样的，但是似然函数的参数是θ，似然函数是θ的函数，计算的是这个参数θ的可能性，
求概率的话，我们关注的是x，但是这里我们关注的是似然

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例子

两次投掷都正面朝上时的似然函数
考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说，已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是，便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说，投两次都是正面朝上的概率是 0.25。用条件概率表示，就是：

其中 H 表示正面朝上。
在统计学中，我们关心的是在已知一系列投掷的结果时，关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。
我们可以建立一个统计模型：假设硬币投出时会有p(H) 的概率正面朝上，而有1-p(H) 的概率反面朝上。
这时，条件概率可以改写成似然函数：

也就是说，对于取定的似然函数，在观测到两次投掷都是正面朝上时，p(H)=0.5 的似然性是 0.25（这并不表示当观测到两次正面朝上时p(H)=0.5 的概率是 0.25）。
如果考虑p(H)=0.6，那么似然函数的值也会改变。

三次投掷中头两次正面朝上，第三次反面朝上时的似然函数

注意到似然函数的值变大了。
这说明，如果参数p(H) 的取值变成 0.6 的话，结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设p(H)=0.5 时更大。也就是说，参数p(H) 取成 0.6 要比取成 0.5 更有说服力，更为 “合理”。总之，似然函数的重要性不是它的具体取值，而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数，如果存在一个参数值，使得它的函数值达到最大的话，那么这个值就是最为 “合理” 的参数值。
在这个例子中，似然函数实际上等于：

如果取p(H)=1，那么似然函数达到最大值 1。也就是说，当连续观测到两次正面朝上时，假设硬币投掷时正面朝上的概率为 1 是最合理的。
类似地，如果观测到的是三次投掷硬币，头两次正面朝上，第三次反面朝上，那么似然函数将会是：
， 其中 T 表示反面朝上，0<=p(H)<=1。
这时候，似然函数的最大值将会在p(H)=2/3的时候取到。也就是说，当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上时，估计硬币投掷时正面朝上的概率p(H)=2/3是最合理的。