时间复杂度 - 简单易懂

本文对时间复杂度进行简单的讲解，主要在于简单易懂。

一、算法效率的度量方法

1、事后统计方法

计算机 运行设计好的 测试算法的 程序和数据，得到运行时间。

缺陷：花时间 写 算法的测试程序。

测试用的计算机性能有差别。编译器产生的代码质量。问题的输入规模。

2、事前分析估算方法

依据统计方法对算法进行估算。

一个程序的运行时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模。（问题的输入规模 是指输入量的多少）

 

二、简单分析

先看两端代码（本文demo是新建一个playground来写的，用的swift），我们求1到n的和，可以用for循环从1加到n，也可以用公式：(n + 1) * n / 2 来算。如下：

1、第一种算法：

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2、第二种算法：

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3、分析

上面两种算法，第一种要执行100次，而第二种只用执行一次。很明显，第二种要比第一种效率更高。那么到底怎么来表示这两种算法的效率呢，那就是时间复杂度。

算法的复杂度 不是精确的定位需要执行多少次，比如你在第二种算法中打印一万次日志，那第二种算法是不是就不好了呢。 我们看的不是具体执行的行数，而是第一种循环了多少次，而第二种只需要一次执行。

如果看具体执行多少次语句，就要考虑编译器优化等问题，语言的优劣，无关代码等。

所以算法的复杂度 侧重研究算法随着 输入规模扩大 而增长的一个抽象。不计 变量声明、打印日志、循环索引的递增和循环终止的条件 等。

在分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量和输入模式 关联起来。

上面2种方法随着n的增大，执行的时间比 分别增长了n倍，和没有变。所以我们可以理解为他们的复杂度分别为n 和 1。

如果两个嵌套for循环的话，效率又是多少呢？如下：

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上面这个 外面每执行一次，里面就执行n次。所以效率是n*n。

 

三、算法的复杂度如何分析

上面只是简单的说了3个例子，下面我们说下算法复杂度的分析方法。

1、忽略 加法常数

A算法： 2n+3

B算法：3n+1

当n不断变大的时候：2n+3 基本和 2n 相同。 3n+1和 3n 基本相同。后面的加法常数 基本没有影响。

所以时间复杂度要 忽略 加法常数。

2、忽略 相乘常数

4n 和 2n^2

当n不断变大的时候：

其实 就是 n 和 n^2 的趋势结果。

所以：于最高次项相乘的常数 并不重要，也可以忽略。不影响算法比较。

3、保留最高次项

2n^2+3n+1 和 2n^3+3n+1：

其实就是 n^2 和 n^3 的趋势结果。

最高次项的 指数，函数随着n的增长，结果也会变得增长特别快。

4、保留最高项阶数

2n^2+3n+1 和 2n^2 ，当n变大，这两个值几乎相同。

判断算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高项）的阶数。

四、算法时间复杂度

1、算法时间复杂度 的定义

下面是官方的定义，大家看看，如果觉得不好理解，就往下面看就好了。

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n) 是关于问题规模n的函数。

进而分析T(n)随n的变化情况而确定T（n）的数量级。

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度。记作：T(n)＝O(f(n))

它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。 其中 f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用 大写O() 体现时间复杂度 的记法， 称为：大O记法。

随着输入规模 n 的增大，T（n）增长最慢的算法为最优算法。

文章开始的 三个求和算法的例子 (1 、 n 、n^2 )的时间复杂度 分别为： O(1) , O(n) , O(n^2)

2、如何分析一个算法的时间复杂度

2.1、用常数1 取代运行时间中的所有加法常数。

2.2、最修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项

2.3、如果最高阶存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

 

五、实战分析

1、 下面代码的时间复杂度是多少？

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是 O(4) ？

是错的。只有O(1)。没有O(2)、O(3)、O(4).

T(n) 是关于问题规模n的函数。print 和 n 是没有关系的。所以答案是O(1)。

2、分析下面代码的时间复杂度

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执行的次数：

n+(n-1)+(n-2)+….+1 = n(n+1)/2

分解：

n(n+1)/2 ＝ n^2

根据刚才的 策略：

只保留最高项：所以 n/2 这项去掉。

去除与最高项相乘的常数：最终为： O(n^2)

3、对阶数

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如果 有 X个2 相乘 后 >= n ， 则会退出循环。

于是由 2^X = n 得到： X = log(2)n 。

所以 这个时间复杂度为 O(logn)

在各种不同算法中，若算法中语句执行次数为一个常数，则时间复杂度为O(1)。

另外，在时间频度不相同时，时间复杂度有可能相同，如T(n)=n2+3n+4与T(n)=4n2+2n+1它们的频度不同，但时间复杂度相同，都为O(n2)。

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：常数阶O(1),对数阶O(log2n),线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n2)，立方阶O(n3),...， k次方阶O(nk),指数阶O(2n)。随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

4、最好、最差、平均 复杂度

举例：在冒泡排序中，如果给的数据本来就是排好序的，那么用冒泡排序 只需要执行n次就可以完成。也就是最好时间复杂度为 O(n)。

一般我们说的算法复杂度的平均 就是最差的情况。也就是O(n2)。

所以 冒泡排序 的 最差、平均 时间复杂度： O(n2) 。最好时间复杂度： O(n)