核函数逻辑回归

1、表示定理的证明

如果你求解的是L2-regularized的问题，那么一定有一个最好的w可以表示成z的线性组合：

如何来证明这件事情呢？ 
我们将w分成两个部分，分别为w的平行部分（由zn展开的那个空间的向量来构成）和w的垂直部分（与zn展开表示的向量垂直的向量）。 
我们希望最后完全没有w的垂直部分。 
将最优的那个w与zn相乘其实和w的平行部分和zn相乘得到的结果是一样的，因为w的垂直部分与zn相乘为0，所以得到的err是一样的。 
对于最佳解wTw，其包含w的平行部分的平方和w的垂直部分的平方，如果使用反证法，假设w的垂直部分不是0，那么，wTw必将大于w的平行部分的平方，但是最小解wTw却比w的平行部分的平方还大，这与我们的假设是矛盾的，所以就证明了w的垂直部分为0。 
这样就证明了w的最佳解可以被z线性表达。

通过上面的证明，我们知道只要是求解L2的线性模型，就可以使用核技巧。

 

2、 将核函数用于逻辑回归

　　

我们先得到要求解的表达式，然后用zn和βn的线性组合的方式表示最佳的w，代入到原始的式子中，就可以通过求βn代替求w了。

这就得到了一个没有约束条件的最佳化问题，我们可以通过梯度下降的方法来求解βn。这就是核逻辑回归问题。